坐标系与参数方程

关于坐标系与参数方程第1页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三一、直角坐标系第2页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三1º

数轴(直线坐标系)：2º

平面直角坐标系：3º空间直角坐标系：任意点P实数x确定有序实数对(x,y)确定有序实数组(x,y,z)确定建立坐标系目的是确定点的位置.创建坐标系的基本原则：

(1)任意一点都有确定的坐标与它对应；

(2)依据一个点的坐标就能确定此点的位置.求出此点在该坐标系中的坐标.直角坐标系第3页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为2的正六边形的顶点.ABCDEFOxyOxyABCDEF第4页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例2、某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地位于A村的正西方向1km

处，试问：修建高速公路和计划需要修改吗？解决问题的关键：确定遗址W与高速公路BC的相对位置.WABC4506005001000OxyOy第5页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例3、求证：三角形的外心、重心、垂心在一条直线上。ABCGHDxyO第6页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第7页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第8页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.第9页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三PBACxyo第10页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第11页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第12页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。总结第13页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三二、极坐标系第14页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三问题2：如何刻画这些点的位置？情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：请问到复旦中学怎么走？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题情境第15页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三请分析这句话，他告诉了问路人什么？从这向南走200米！出发点方向距离

在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境2：请问到复旦中学怎么走？第16页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向。（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.XO极坐标系第17页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。XOM极点的极坐标为(0,),

可为任意值.思考:

对比直角坐标系，比较异同。要素：________________________________________；(2)平面内点的极坐标用_____表示.极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向(,)第18页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)4C(2,)2D(5,)56E(4.5,)F(6,)43G(7,)531第19页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三[小结]由极坐标描点的步骤：

(1)先按极角找到点所在射线；

(2)在此射线上按极径描点.思考:

①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？第20页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的表达式？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。极径相同，不同的是极角.第21页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.第22页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否在极坐标系中解题。第23页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三

在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的情况下，也允许取负值(<0):当<0时如何规定(,)对应的点的位置？°Ox当<0时，点M(,)的位置规定：))||•M(,)°OxM(-2,)56)56¬¬点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||•M(-2,)565、关于负极径小结：从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.第24页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三。Ox425654531162332A(-4,0)C(-2,)2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)6(-4,-)3F•A•B•C•D•E•F[小结](,)(,2k+)(-,+)(-,+(2k+1))都是同一点的极坐标.1第25页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三思考:

极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各

坐标中,不是M点的坐标的是()

(A)(10,)(B)(-10,-)(C)(10,-)(D)(10,)433532323D第26页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例3、已知点Q(,)，分别按下列条件求出点P的坐标：

(1)P是点Q关于极点O的对称点；

(2)P是点Q关于直线的对称点；

(3)P是点Q关于极轴的对称点；

(4)将OQ旋转900后得到OP。

注意点M的极坐标具有多值性.第27页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三[3]一点的极坐标有否统一的表达式？[1]建立一个极坐标系需要哪些要素?极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，(因为极角有无数个).有，（ρ，2kπ+θ）总结第28页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1:

极坐标系是怎样定义的?问题2:

极坐标系与直角坐标系有何异同?问题3:平面内的一个点的直角坐标是(1,)，这个点如何用极坐标表示?极坐标与直角坐标的互化第29页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位。点M的直角坐标为θ设点M的极坐标为(ρ,θ)M的极坐标为(2,π/3)第30页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)x=ρcosq,y=ρsinq

互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)第31页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三练习1：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。第32页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例2、把下列点的直角坐标化成极坐标：(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)练习2:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.A（3,-），B（1，）,C（5，0），D（0，-2），E（-3，-3）总结：点的直角坐标化成极坐标的步骤，极角是如何确定的？第33页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例3、已知两点A(2,π/3),B(3,π/2)，求AB两点间的距离.oxAB第34页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？3、求曲线方程的步骤。知识回顾：求曲线的极坐标方程

在直角坐标平面上,曲线可以用x、y的二元方程f(x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。

同理，在极坐标平面上,曲线也可以用关于r、q的二元方程f(r,q)＝0来表示,这种方程称为曲线的极坐标方程。第35页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三定义：一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(r,q)＝0

；

反之,极坐标适合方程f(r,q)＝0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.例：以极点O为圆心,1为半径的圆上任意一点极径为1，反过来，极径为1的点都在这个圆上。因此,以极点为圆心,1为半径的圆的方程：又例：过极点O倾斜角为300的直线：思考：上述两例的方程是唯一的吗？你还能再写出一个？定义：第36页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。由于点的极坐标表示不唯一，导致曲线的极坐标方程也不唯一。

如：以极点O为圆心，1为半径的圆可以用方程r=1表示，也可以用方程r=-1表示.说明：第37页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例1、求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程解：如图，在直线l

上任取一点P(r,q)，连结OP,则OP＝r

，∠POA＝q在Rt△POA中，由于OPcosq=OA，所以rcosq=2,所以rcosq=2为所求直线的极坐标方程。θOxρP(ρ,θ)A(2,0)类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。变式训练1：已知点P的极坐标为(1,π)，那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。求极坐标方程：第38页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例2、求圆心在C(r,0),半径为r的圆的极坐标方程。解：如图所示，则|OP|＝|OA|cos∠POA

所以，所求圆的极坐标方程为r＝2rcosq设P(r,q)为圆上任意一点，由于OP⊥AP即r＝2rcosq|OA|=2r，∠POA＝q第39页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三变式训练2：求圆心在C(r,π/2),半径为r的圆的极坐标方程。解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（２r,π/2)。设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ在Rt△POA中，由于cos∠POA=|OP|/|OA|，所以ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。第40页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三特别地,

我们知道,在直角坐标系中，x=k(k为常数)表示一条平行于y轴的直线；y=k(k为常数)表示一条平行于x轴的直线。

我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，r＝k(k为常数)表示圆心在极点、半径为k的圆；θ＝k(k为常数)表示极角为k的一条直线（过极点）。第41页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(r,q)第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标r、q表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程。求曲线极坐标方程的基本步骤：第42页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例3、互化下列方程（1）化在直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程；（2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-π/3)为直角坐标方程。两种方程的互化：第43页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程：

(1)rcosq=4(2)r=5(3)r=2rsinq（1）解：把代入上式，得它的直角坐标方程x=4把r

2=x2+y2代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=25变式训练：（2）解：两边同时平方，得r

2=25（3）解：两边同时乘以r，得r

2=2rrsinq，把r2=x2+y2,rsinq=y代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=2ry

即x2+(y-r)2=r2第44页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三2、把极坐标方程化为直角坐标方程：第45页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三3、把直角坐标方程化为极坐标方程：第46页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三1.在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置.2.极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法.①②总结第47页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三三、常见曲线的极坐标方程第48页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三思考1：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为____;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为______x=3x=32、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为____x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。

与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程f(,)=0

，再化简并讨论。思考2:怎样求曲线的极坐标方程？直线的极坐标方程第49页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例1、求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程。oMx﹚解：如图，所求的射线上任一点的极角都是π/4，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为引申1：求过极点,倾角为5π/4的射线的极坐标方程。引申2：求过极点,倾角为π/4的直线的极坐标方程。第50页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或原因在ρ≥0第51页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程。ox﹚AM解：第52页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三3、设点A的极坐标为(a,0)，直线l过点A且与极轴所成的角为α,求直线l

的极坐标方程。解：如图，设点M(ρ,θ),为直线l上异于A的点,连接OM，在△MOA中有

﹚oMxA即显然A点也满足上方程.第53页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：第54页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例4、设点P的极坐标(ρ0,θ0,)，直线l过点P且与极轴所成的角为α,求直线l的极坐标方程。oxMP﹚﹚解：如图，设点M(ρ,θ)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，在△MOP中有显然点P的坐标也是它的解。第55页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三练习：第56页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三xC(a,0)O如图,半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？探究1.定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。

则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。圆的极坐标方程第57页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？例2、若圆心的坐标为M(ρ0,θ0)，圆的半径为r，求圆的方程。OMPx第58页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。练习1、求下列圆的极坐标方程(１)圆心在极点，半径为2；

(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)圆心在(a,/2)，半径为a；

(４)圆心在Ｃ(0

,０)，半径为r

＝2

＝2acos

＝2asin

2-2

0

cos(-０)

+0

2-r2=0第59页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三辨析:圆心在不同位置时圆极坐标方程和特征.第60页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例4、以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()C例3、极坐标方程分别是＝cosθ和＝sinθ

的两个圆的圆心距是多少?第61页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例5、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。练习3、在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,

/6),半径r=3①求圆C的极坐标方程。②若Q点在圆C上运动,P在QO的延长线上,且OQ:OP=3:2,求动点P的轨迹方程。第62页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三例6、椭圆上两点A,B，O为坐标原点，且（1）求证：为定值；（2）若O到AB距离为d，求证：d为定值；（3）求三角形AOB面积的取值范围。第63页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三曲线极坐标方程总结第64页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第65页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三题型分析第66页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三解析：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.第67页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第68页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第69页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第70页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第71页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第72页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三(2)曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交点个数是2.第73页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第74页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第75页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三答案：4第76页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三8、(2011·广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．第77页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第78页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三

第二讲

参数方程第79页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三知识梳理第80页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第81页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第82页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三题型分析第83页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第84页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第85页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三第86页，讲稿共123页，2023年5月2日，星期三消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x