吉林省长春市谢家乡中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

吉林省长春市谢家乡中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足，当时，，若在区间上，方程只有一个解，则实数的取值范围为(

)A.

B.

C.

D.(－1,1)参考答案：A2.已知两个球的表面积之比为1：3，则这两个球的体积之比为()A．1：9 B．1：3C．1：3 D．1：参考答案：B3.已知点，则线段的垂直平分线的方程为：A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知函数y=xm2-5m+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3B．3C．2D．1参考答案：A幂函数为偶函数，且在递减，∴，且是偶数，由得，又由题设m是整数，故m的值可能为2或3，验证知m=2或者3时，都能保证是偶数，故m=2或者3即所求．故选：A5.关于x的不等式的解集为（

）A.[0,2] B.(0,2]C.(－∞,0)∪[2,+∞) D.(－∞,0)∪(2,+∞)参考答案：B【分析】将不等式化为，等价于，解出即可。【详解】由原式得且，解集为，故选：B。【点睛】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：；；；.6.若sinα<0且tanα>0，则α的终边在()A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限参考答案：C略7.设函数

，若，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D略9.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角为：A．

B．

C．

D．参考答案：A10.A

二次函数与指数函数的图象，只有可能是下列中的哪个选项参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=（1，2），=（﹣3，2），当k=

时，（1）k+与﹣3垂直；当k=

时，（2）k+与﹣3平行．参考答案：19；．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标运算可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由垂直和平行关系分别可得k的方程，解方程可得答案．【解答】解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2），∴k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4）∵k+与﹣3垂直，∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0，解得k=19；（2）由（1）知k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4）∵k+与﹣3平行，∴﹣4（k﹣3）=10（2k+2），解得k=﹣故答案为：19；．12.（4分）函数的单调递增区间是，

．参考答案：[kπ+≤x≤kπ+，]，k∈Z考点： 正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 利用正弦函数的单调性进行求解即可．解答： ∵=﹣sin（3x﹣）∴由2kπ≤3x﹣≤2kπ，k∈Z，即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为，k∈Z，故答案为[kπ+≤x≤kπ+，]，k∈Z点评： 本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据正弦函数的单调性是解决本题的关键．13.已知函数（其中a为大于1的常数），且对于恒成立，则实数的取值范围是

▲

．

参考答案：14.已知元素在映射下的象是，则在下的原象是

．参考答案：15.（5分）设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于

．参考答案：考点： 三角函数的周期性及其求法；运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 先根据函数的周期性可以得到=f（）=f（），再代入到函数解析式中即可求出答案．解答： ∵，最小正周期为=f（）=f（）=sin=故答案为：点评： 本题主要考查函数周期性的应用，考查计算能力．16.已知，则

．参考答案：17.函数的单调增区间为

▲

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数=（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）f（x），---------------------------3分由题意知，最小正周期，，所以，∴.

----------------6分（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.所以

-------------------------9分令，∵,∴，-----------------------10分，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，-------------------------11分由正弦函数的图像可知或，∴或.

------------12分19.（12分）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，﹣2）、（5，2）、（﹣3，0），点N在AC上，且，AM与BN的交点为P，求：（1）点P分向量所成的比λ的值；（2）P点坐标．参考答案：20.（14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．参考答案：考点： 函数模型的选择与应用．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由题设：投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化等价于4f（x）≥6，利用分段函数，建立不等式，即可求得结论；（2）由题意，?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，由函数y是分段函数，故分段建立不等式组，从而解出m的值．解答： （1）由题设：投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化等价于4f（x）≥6…（2分）∴f（x）≥，∴或

…（4分）∴0＜x≤6，亦即：如果投放的药剂质量为m=4，自来水达到有效净化一共可持续6天；

…（8分）（2）由题设：?x∈（0，7]，6≤mf（x）≤18，m＞0，…（10分）∵f（x）=，∴?x∈（0，4]，6≤mlog2（x+4）≤18，且?x∈（4，7]，6≤≤18，…（12分）∴且，…（14分）∴5≤m≤6，亦即：投放的药剂质量m的取值范围为．…（16分）点评： 本题考查了分段函数模型的灵活应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）不使用计算器，计算下列各题：（1）；（2）.参考答案：（1）原式=………………4分=…………………6分（2）原式=

………………9分=

.…………12分22.已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f