福建省莆田市涵江区第三中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

福建省莆田市涵江区第三中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则的图象大致为（

）参考答案：B考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.2.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（A）

（B）（C）（D）

,参考答案：B因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.3.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（

）A.B.C.D.

参考答案：D.根据第一个条件框易知M是在圆内的点数，N是在圆外的点数，而空白处是要填写圆周率的计算公式，由几何概型的概念知，所以.故选D.4.已知角的终边经过点,且,则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.设函数的定义域为I，则“在I上的最大值为M”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数最值的性质进行判断即可．【详解】若“在I上的最大值为M”则“”成立，函数恒成立，则“在I上的最大值不是2，即必要性不成立，则“在I上的最大值为M”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数最值的定义和性质是解决本题的关键．6.已知实数满足条件，则使不等式成立的点的区域的面积为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），再作直线，可行域内满足不等式的区域是，其中，．故选A．考点：二元一次不等式组表示的平面区域．7.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，该球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是（A）

（B）

（C）8

（D）24参考答案：C略8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），在区间上是增函数，且函数y=f（x﹣3）为奇函数，则（）A．f（﹣31）＜f（84）＜f（13） B．f（84）＜f（13）＜f（﹣31） C．f（13）＜f（84）＜f（﹣31） D．f（﹣31）＜f（13）＜f（84）参考答案：A【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由f（x﹣3）=﹣f（x）分析可得f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）为周期为6的周期函数，由函数y=f（x﹣3）为奇函数，分析可得f（x）=f（﹣6﹣x），结合函数的周期性可得有f（x）=﹣f（﹣x），函数f（x）为奇函数；结合函数在上是增函数分析可得函数f（x）在[﹣，]上为增函数；进而分析可得f（84）=f（14×6+0）=f（0），f（﹣31）=f（﹣1﹣5×6）=f（﹣1），f（13）=f（1+2×6）=f（1），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），则有f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）为周期为6的周期函数，若函数y=f（x﹣3）为奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣3，0）成中心对称，则有f（x）=f（﹣6﹣x），又由函数的周期为6，则有f（x）=﹣f（﹣x），函数f（x）为奇函数；又由函数在区间上是增函数，则函数f（x）在[﹣，]上为增函数，f（84）=f（14×6+0）=f（0），f（﹣31）=f（﹣1﹣5×6）=f（﹣1），f（13）=f（1+2×6）=f（1），则有f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣31）＜f（84）＜f（13）；故选：A．9.定义：F（x，y）=yx（x＞0，y＞0），已知数列{an}满足：an=（n∈N*），若对任意正整数n，都有an≥ak（k∈N*）成立，则ak的值为（）A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性．【分析】根据题意可求得数列{an}的通项公式，进而求得，根据2n2﹣（n+1）2=（n﹣1）2﹣2，进而可知当n≥3时，（n﹣1）2﹣2＞0，推断出当n≥3时数列单调增，n＜3时，数列单调减，进而可知n=3时an取到最小值求得数列的最小值，进而可知ak的值．【解答】解：∵F（x，y）=yx（x＞0，y＞0），∴an==∴==，∵2n2﹣（n+1）2=（n﹣1）2﹣2，当n≥3时，（n﹣1）2﹣2＞0，∴当n≥3时an+1＞an；当，n＜3时，（n﹣1）2﹣2＜O，所以当n＜3时an+1＜an．∴当n=3时an取到最小值为f（3）=故选D【点评】本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．10.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x?ex，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B． C．1 D．2参考答案：D【考点】导数的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=ex（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=ex（x2+），∴f′（x）=ex（x2+）+x?ex，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知||=1，||=2，|+|=，则与的夹角为

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得向量a，b的数量积，再由向量夹角公式，即可计算得到．解答： 解：由||=1，||=2，|+|=，即有（+）2=3，++2=3，1+4+2=3，即有=﹣1，由cos＜，＞===﹣，且0≤＜＞≤π，则与的夹角为．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，以及向量夹角公式的运用，属于基础题．12.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论：①该食品在的保鲜时间是8小时；②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是____.参考答案：①④13.已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则

.参考答案：-2.14.在△中，，，则的最大值为

参考答案：。在△中，由正弦定理得，∴，。∴，因此的最大值为。15.已知集合，，则．参考答案：16..已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A.3

B.

1

C.2

D.4

参考答案：C略17.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线，其焦点到准线的距离为。,（1）试求抛物线的方程；（2）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值．参考答案：解：（1）（2）设，则直线的方程为令，得，，且两直线斜率存在，，即，整理得，又在直线上，则与共线，得由（1）、（2）得，，或（舍）所求的最小值为。略19.函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）（Ⅰ）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；（Ⅱ）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质．【分析】（I）f（x）=．由0＜m≤4，可得，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，由于h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，可得h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上单调递减，可得|t|＜4，解出即可．【解答】解：（I）f（x）=．当0＜m＜4时，，∴函数f（x）在上时单调递减，在上单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得最小值，=﹣．当m=4时，=2，函数f（x）在[0，2]内单调递减，∴当x==2时，函数f（x）取得最小值，=﹣=﹣1．综上可得：g（m）=﹣．（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，∵h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，∴h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|t|＜4，解得﹣4＜t＜4，且t≠0．∴t的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．20.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且