高中数学章末质量检测二第八章向量的数量积与三角恒等变换新人教B版必修第三册

章末质量检测(二)第八章向量的数量积与三角恒等变换(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，a⊥(a＋b)，则x＝()A．－1 B．1C．3 D．－32．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝()A．1B．eq\r(2)C．2D．44．已知θ为第二象限角，且coseq\f(θ,2)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A．－1B．eq\f(1,2)C．1D．25．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(7,9)6．三角形ABC中，若C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为()A．tanA·tanB>1B．tanA·tanB<1C．tanA·tanB＝1D．不能确定7．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则下列结论中正确的是()A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2πB．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1C．将f(x)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)的图象D．将f(x)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)的图象8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2(eq\f(π,4)－eq\f(B,2))＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是()A．m<1B．m>－3C．m<3D．m>1二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列计算正确的是()A．eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1B．1－2sin275°＝eq\f(\r(3),2)C．cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝eq\f(\r(2),2)D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝eq\f(5,4)10．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论不正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))11．函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的单调递增区间有()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(13π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(19π,12)，\f(25π,12)))12．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，则()A．eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)B．β<eq\f(π,4)<αC．eq\f(π,4)<α<βD．eq\f(π,4)<β<α三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,3)，则cos(2x－2y)＝________．14．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．16．若eq\f(π,2)<α<π，0<β<eq\f(π,2)，且sin(α＋eq\f(π,8))＝eq\f(\r(5),5)，cos(β＋eq\f(3π,8))＝－eq\f(3,5)，则cos(α＋β)＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，求eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的值．18．(12分)(1)求值：eq\f(sin65°＋sin15°sin10°,sin25°－cos15°cos80°)；(2)已知sinθ＋2cosθ＝0，求eq\f(cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ)的值．19．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d?20．(12分)已知ω>0，a＝(2sinωx＋cosωx，2sinωx－cosωx)，b＝(sinωx，cosωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是eq\f(π,2).(1)求ω的值．(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．21．(12分)在△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求证：△ABC为等腰三角形；(2)若|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，且B∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，求eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范围．22．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x＋m).(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x∈[0，eq\f(π,6)]时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．章末质量检测(二)第八章向量的数量积与三角恒等变换1．解析：由题设，a＋b＝(x＋1，2)，又a⊥(a＋b)，所以(x＋1)×1＋2×1＝x＋3＝0，即x＝－3.答案：D2．解析：∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cosθ>0，∴θ是第四象限的角．答案：D3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±eq\r(3).所以a＝(1，±eq\r(3)).所以|a|＝eq\r(1＋（±\r(3)）2)＝2.答案：C4．解析：∵θ为第二象限角，∴eq\f(θ,2)为第一或第三象限角．∵coseq\f(θ,2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(θ,2)为第三象限角且sineq\f(θ,2)＝－eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝1.故选C.答案：C5．解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－1＝－eq\f(7,9).答案：A6．解析：在三角形ABC中，因为C>90°，所以A，B都为锐角．则有tanA>0，tanB>0，tanC<0，又因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)<0，易知1－tanA·tanB>0，即tanA·tanB<1.答案：B7．解析：因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx，所以y＝f(x)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝cosxsinx＝eq\f(1,2)sin2x，所以其周期T＝eq\f(2π,2)＝π，最大值是eq\f(1,2)，故排除A，B；很明显，将f(x)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度后得到g(x)＝cos(x－eq\f(π,2))的图象．答案：D8．解析：f(B)＝4sinBcos2(eq\f(π,4)－eq\f(B,2))＋cos2B＝4sinBeq\f(1＋cos（\f(π,2)－B）,2)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.因为f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．因为0<B<π，所以0<sinB≤1.所以－1<2sinB－1≤1，故m>1.答案：D9．解析：对于选项A，eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1；对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2)；对于选项C，cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝(cos2eq\f(π,8)＋sin2eq\f(π,8))(cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：ACD10．解析：在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误；又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|·cos120°＝－1，B，C错误；因为(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，D正确．答案：ABC11．解析：f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，即函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)，当k＝0时，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))，当k＝1时，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))，当k＝2时，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(19π,12)，\f(25π,12))).故选ACD.答案：ACD12．解析：因为α为锐角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)>0，所以eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，所以α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，所以β<eq\f(π,4)<α.答案：AB13．解析：由cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,3)，可知cos(x－y)＝eq\f(1,3)，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)14．解析：因为向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(,10)，所以eq\r(4a2＋b2－4a·b)＝eq\r(10)，化为4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，化为|b|2－2eq\r(2)|b|－6＝0，因为|b|≥0，解得|b|＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≤－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴θ＝〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))16．解析：因为sin(α＋eq\f(π,8))＝eq\f(\r(5),5)，且eq\f(π,2)<α<π，所以cos(α＋eq\f(π,8))＝－eq\f(2\r(5),5).因为cos(β＋eq\f(3π,8))＝－eq\f(3,5)，且0<β<eq\f(π,2)，所以sin(β＋eq\f(3π,8))＝eq\f(4,5).因为α＋eq\f(π,8)＋β＋eq\f(3π,8)＝α＋β＋eq\f(π,2)，所以cos(α＋β)＝sin(α＋β＋eq\f(π,2))，即cos(α＋β)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋\f(π,8)）＋（β＋\f(3π,8)）))＝eq\f(\r(5),5)×(－eq\f(3,5))－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(4,5)＝－eq\f(11\r(5),25).答案：－eq\f(11\r(5),25)17.解析：如图，由AM＝3，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，可知|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2.∵M为BC的中点，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(PA,\s\up6(→))2＝－|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＝－4.18．解析：(1)原式＝eq\f(sin（80°－15°）＋sin15°sin10°,sin（15°＋10°）－cos15°cos80°)＝eq\f(sin80°cos15°,sin15°cos10°)＝eq\f(cos15°,sin15°)＝2＋eq\r(3).(2)由sinθ＋2cosθ＝0，得sinθ＝－2cosθ，又cosθ≠0，则tanθ＝－2，所以eq\f(cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ)＝eq\f(cos2θ－sin2θ－2sinθcosθ,sin2θ＋2cos2θ)＝eq\f(1－tan2θ－2tanθ,tan2θ＋2)＝eq\f(1－（－2）2－2×（－2）,（－2）2＋2)＝eq\f(1,6).19．解析：(1)因为c∥d，所以c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b).又a，b不共线，所以k＝λ，1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1.))即c＝－d，故c与d反向．(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos60°，又c⊥d，故(k－1)a2＋eq\f(1－k,2)a2＝0，即(k－1)＋eq\f(1－k,2)＝0，解得k＝1.20．解析：f(x)＝a·b＝(2sinωx＋cosωx)sinωx＋(2sinωx－cosωx)cosωx＝2sin2ωx＋3sinωxcosωx－cos2ωx＝1－cos2ωx＋eq\f(3,2)sin2ωx－eq\f(1,2)(1＋cos2ωx)＝eq\f(3,2)(sin2ωx－cos2ωx)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(2),2)sin(2ωx－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是eq\f(π,2)，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.(2)f(x)＝eq\f(3\r(,2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).因为x∈[0，eq\f(π,2)]，所以(2x－eq\f(π,4))∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，则当2x－eq\f(π,4)＝－eq\f(π,4)，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(3π,8)时，f(x)取得最大值eq\f(3\r(2)＋1,2).21．解析：(1)证明：因为eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\