高中数学第十一章立体几何初步11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线课件新人教B版必修第四册

11．3.1平行直线与异面直线新知初探·自主学习课堂探究·素养提升课程标准1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的关系，了解以下基本事实和定理．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同那么这两个角相等．2．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养．新知初探·自主学习

互相平行传递性a∥c对应平行相同相等状元随笔思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？[提示]相等或互补．

相交直线平行直线异面直线状元随笔思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[提示]不对，是不同在任何一个平面内．知识点五空间四边形1．空间四边形的定义：顺次连接____________所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点．2．空间四边形的对角线：连接__________________称为空间四边形的对角线．不共面的4点不相邻顶点间的线段状元随笔(1)空间四边形与四面体是一回事吗？[提示]不是一回事．空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形，空间四边形不是四面体．(2)梯形是空间四边形吗？[提示]不是．因为梯形是一个平面图形，它的四个顶点在一个平面上，所以它不是空间四边形．基

础

自

测1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(

)A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案：B解析：因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(

)A．平行或异面 B．相交或异面C．异面 D．相交答案：B

3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．相交解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(

)A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空间四边形答案：B

课堂探究·素养提升题型1空间两条直线的位置关系概念的理解例1

下列说法中，正确的是(

)A．空间中没有交点的两条直线是平行直线B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线也相交C．空间四条直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d且a∥d，则b∥cD．分别在两个平面内的直线是平行直线【答案】

C

跟踪训练1

分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(

)A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案：D题型2基本事实4、等角定理的应用例2

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】

(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)证法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.证法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.状元随笔(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．方法归纳1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

状元随笔(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等．(2)只需证明C，H，F，E四点共面，即可推出C，D，F，E四点共面．题型3空间两直线位置关系的判定例3

(1)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．平行异面相交异面【解析】

根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C

“异面”．同理，直线AB与直线B1C

“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．(2)已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明．【解析】

直线a与c的位置关系有三种，如图所示．直线a与c可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图②所示)，还可能异面(如图③所示)．状元随笔选择恰当的平面作为衬托，画出可能出现的情况．方法归纳(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．(2)判定