数学建模排队论模型

排队论模型

朱建青（苏州科技学院信息与计算科学系）排队论模型

一、排队论的基本概念

二、单通道等待制排队问题（M／M／1排队系统）三、多通道等待制排队问题（M／M／c排队系统）

一、排队论的基本概念（一）排队过程

1.排队系统

“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。

在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可能要等待到可以利用服务台的时候为止。

排队系统队列除了有形的还有无形的。

排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词可以从不同的角度去理解。排队系统顾客服务台上、下班的工人乘公共汽车工人公共汽车病人到医院看病病人医生高炮击退敌机敌机高炮机器发生故障需要维修机器修理工

在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此，系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系统。

各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。(1)输入过程输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应包括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。

2.排队系统的组成和特征

排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。

1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另求服务。

2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机服务，成批服务等。

3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排队，若排队的位置已满就离去。

(2)排队规则

服务机构主要指服务台的数目，多个服务台进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务时间服从什么分布等。

(3)服务机构1.窝排队残模型怒的分帆类引进建了排众队模吗型分记类符律号，毁现已丛广泛吹采用公，这遥里仅次针对主并列刃的服搜务台挪。记X：顾客苏到达山的时士间间膝隔分若布；Y：服务则时间踢的分材布；Z：服务呈台数然。则支排队成模型而：X／穷Y／逗Z。常用碧的记章号：M—薄—负指熊数分疮布；D—足—确定股型；Ek惕——哗k阶爱榜尔朗戏（Er损la滑ng望）分布仅；GI微——一般纲相互锣独立缠的随场机分始布，G—轰—一般臭随机钢分布杨。这贩里主仪要讨泽论M／艰M／坛1，支M／帅M／守C。（二腥）排未队模朴型的栋分类召及数法量指窄标(1俩)队幸长队长畅是指毫系统刺中的言顾客暗数(治包括炸排队絮等候贯和正猴在接艺受服福务的台顾客集数)办；等耽待队颈长是全指系炼统中蹲等待巡寿服务辞的顾撑客数轨。无瞒论是似队长丝式还是霞等待孕队长苍，都嫁是顾血客和缴服务咏机构飘最关请心的迅数量季指标俯，特誓别是得对系搁统设训计者胞来说雷，尤继为重帅要，哪因为械它涉杯及到撇系统鸣等待晚空间千的大乳小。2.季排队浅模型撕的数董量指肤标逗留吴时间厅是指厨一顾浇客从尺进入万系统汽起一嘱直到膜接受叼服务亿后离坊开系啊统为鹅止所窃花费杨的时辜间；架等待次时间交是指册一顾旁客从绒进入答系统贷起到陷接受叛服务蒜时所部花费体的时耳间。外显然衰，一仆个顾晨客的寄逗留柴时间霞等于述其等述待时些间与手接受仿服务纳的时雷间之胳和。浸逗留蛇时间块与等椒待时找间对饮顾客笋来说盈是最含关心党的，鸦因为薄每个水顾客受都希品望自姓己用拢于排弱队等墨待的撇时间校愈短耗愈好礼。(2皂)逗献留时旱间忙期草是指翅从顾液客到魔达空规闲服斜务机乒构起芳到服么务机终构再怜次为刊空闲屑为止硬的这裁段时北间，再即服宴务机研构连灶续繁徒忙的敌时间删长度换。这认是服干务机摘构最前关心械的数楚量指逮标，绝因为帮它直肉接关淋系到突服务亮员的想工作蜘强度幅，与受忙期灭相对唇应的侮是闲假期，独即为老服务大机构凤连续赏保持耀空闲浩的时换间长未度。筋显然惰，在担排队杂系统谱中，规忙期毯与闲胸期是洗交错岁出现通的。(3古)忙丘期1.怕最简集单流等与Po析is痕so伏n过程记随匠机过窜程｛x（禾t）菠：t确≥0已｝为时卸间［愤0，t］内流招(事废件)霜发生邀的次编数，纱例如买对于来随机选到来瓦某电漫话交降换台带的呼华叫，泡以x（笑t）表示转该交测换台酱在［秀0，t］这段涂时间创内收今到呼乓叫的寨次数攻；若乎是服千务机祝构，紫可以樱用x（签t）表示茄该机夜构在巡寿［0论，t］时间渗内来镇到的炉顾客爆数。（三敏）Po鉴is里so熔n流与搅指数修分布最简单流应具有以下特征称(1)流具有平衡性对任何和,的分布只取决于而与无关。(2)流具有无后效性对互不交接的时间区间序列，是一组相互独立的随机变量。(3)流具有普通性即在时间内，事件发生多于1次的概率为

。

定理1设是最简单流，则对任何和都有我们把满足这一分布规律的随机过程称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别取得故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。2.Po惑is恼so腹n流的雀发生缝时间榴间隔骄分布

当流(过程)构成Poisson过程时，就称为Poisson流。设流发生的时刻依次为,…，发生的时间间隔记为，其中。定理2事件流为Poisson流的充要条件是的流发生时间间隔相互独立，且服从相同的负指数分布，即3.高负指求数分垄布的Ma在rk警ov特性定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从负指数分布的充要条件是：对任何，都有上式可改写为：对任何，都有如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大于岁，则再活x年的概率与以前的(年)无关，所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当且仅当非负随机变量服从负指数分布时才具有。例1

设某一服务系统的输入流是Poisson流，平均每3分钟进入5名顾客，试计算：(1)12分钟内进入15名顾客的概率；(2)输入时间间隔大于1分钟的概率。解(1)由于，在［0，t］内进入k名顾客的概率于是12分钟内进入15名顾客的概率(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布则所求概率为对于暴单通社道等安待制妈排队禽问题狡主要净讨论秆输入吧过程戒为Po船is患so股n流，肺服务哈时间己服从笨负指匆数分殊布，陕单服缸务台谢的情头形，愧即M／戚M／诊1排队昼系统赌。（一螺）标绞准模矩型即为M／从M／侧1／恳∞排队服系统固。所锈谓标纳准模墓型，某就是夸顾客青的输傻入流过是参蝇数为λ的Po键is绞so第n流，疼每个活顾客拳的服饺务时事间是耕相互掌独立史的且小服从箭参数梦为μ的负司指数牺分布影，单全个服川务台帮且系雾统的成容量拔无限透(排滑队模瞒型分字类第轿四个萍表示绕系统巴中允迅许的质最大沾顾客赌数)万。二、拖单通厉道等穴待制旺排队犁问题（M／缝M／米1排队双系统碰）1.荣系统也的Ma贝rk歉ov特性

考虑随机过程，其中为时刻时排队系统中的顾客数。对于任何条件概率由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，则无论在处取何值，上式条件概率仅依赖于的值和区间的长度，即

直观地说，如果知道现在时刻时系统的顾客数状况，那么从概率意义上来说，将来时刻时系统的顾客数状况，与过去时刻时顾客数的状况无关。这个特性就是随机过程的Markov特性。我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这个时刻的状态。根据系统状态的Markov特性，容易研究在时间区间内系统状态的转移概率，为研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。

记时刻t系统处于状态n的概率利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时间区间内，新进入或离开顾客个数有以下结果：内没有顾客进入内新进入一名顾客内多于一名顾客进入内没有顾客离开内有一名顾客离开内多于一名顾客离开2.排队系统的稳态解

当时有导出满足的微分方程组故满足的微分方程组对

对于系统的稳定状态情形，与t无关，故，记，从而有对于上述差分方程，利用归纳法不难求得记刮为岔排队迈系统猫的来干往强胆度，铸当时，雄由束可障得

由于构成概率分布，则，从而级数必须收敛，故有。M／永M／冰1／史∞系统君的数娃量指煮标

(1)稳定状态下系统中顾客数的数学期望的定义为被称为系统中顾客的平均数，简称平均队长。

稳定状态下系统中等待服务顾客数的数学期望，简称平均等待队长。

(2)顾客在系统中的平均逗留时间则顾客在系统中的平均等待时间

可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μ-λ的负指数分布。

与是衡量排队系统质量的很重要的效率度量，它们之间有着有趣的联系：上式称为Little公式。对M／M／1／∞排队系统，它有着明显的直观意义：从平均意义来说，表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系统时间内来到的新的顾客数；表明系统中处于等待状态的顾客数，等于一个顾客的等待时间内来到的新顾客数。

Little公式(3)稳定状态下忙期的数学期望由此可见，一个忙期中所服务顾客的平均数为忙忙例2（病清人候给诊问近题）岂某单秃位医上院的化一个狼科室合有一紧位医恶生值测班，踪蝶经长较期观民察，畜每小覆时平驳均有舱4个冠病人卫，医弃生每奖小时崖平均匪可诊瞧断5坛人，居病人凑的到闹来服兴从Po疲is青so烂n流，爷诊病犬时间镰服从劳负指隆数分焰布，斩试分爪析该瓶科室演的工锣作状集况，济如要痛求9谦9%眉以上说的病游人有络座，黎该科垒室至候少设咳多少国座位祥?如而果该脊单位卸每天浴24馅小时挥上班锡，病缠人因俗看病贫1小架时而冻耽误匪工作幕单位功要损详失3刮0元亩，这丝式样单敢位平段均损蹲失多经少元悠?如漂果该廊科室吼提高警看病原速度繁，每退小时冠平均症可诊给6人航，单阵位每蓝天可周减少境损失科多少干?可缝减少午多少垫座位完?

解：

由题意可知，则该科室平均有病人数(人)该科室平均等待的病人数（人)看一次病平均所需的时间（小时)看一次病平均所需的等待时间(小时)医生的忙期(小时)一个忙期中平均看病人数

(人)忙忙

为了满足99%以上的病人有座，设科室应设m个座位，即：P｛医务室病人数≤m｝≥0.99

故该设20个座位。该单位24小时上班，平均每天有4×24＝96人看病，看病所占的总时间为1×96＝96小时，所以因看病平均每天损失30×96＝2880(元)。

若医生诊病速度提高到每小时6人，即μ＝6、＝2／3，类似于上面的计算，有以下结果：（人），（人）(小时)，（小时)这样单位每天损失：30×0.5×96＝1440（元），比原来减少1440元，此时只需座位：

即11个座位，比原来减少9个座位。（二蛾）系削统容忍量有挖限的拨模型

即为M／M／1／N排队系统。考虑排队系统的容量为N，即若系统已有N个顾客，则再来新顾客即被拒绝进入系统。对于n＝N，与M／M／1／∞相类似，，有对于n＝N，

即满足微分方程在稳态情况下，，，则则由，可得系统喘的各鸡项指欺标由于有容量的限制，顾客实际进入系统的速率不是λ，而是(有效到达率)，因而Little公式成立：三、渐多通狡道等誉待制派排队宝问题（M掀／M揪／c排队降系统染）