苏教版八年级上册《全等三角形常见模型》与《全等三角形动点问题》

《全等三角形常见模型》与《全等三角形动点问题》一．全等三角形常见模型：Eg1.【手拉手模型】：【例】：【问题背景】广场上，小明和妈妈在散步，看见人们在跳广场舞，我们把其中一对抽出来，用数学模型来表示：如图所示.这种模型叫做“手拉手”【深入研究】（1）如图,△ABC和△CDE都是等腰三角形,且∠ACB=∠DCE，求证：BD=AF（2）第二天，小明很开心地把自己的结论和老师探讨，老师夸了小明，同时给了小明另一个思考问题：如图，两个正方形ABCD、DEGF，连接AG和CE，二者交于点H，求证：DH平分∠AHE.【跟踪练习】：（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．①如图1，试说明：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOC=；如图2，∠BOC=；如图3，∠BOC=；（2）如图4，AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O，试猜想：图4中∠BOC=．（用含n的式子表示）Eg2.【倍长中线模型】：【例】：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.【跟踪练习】：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.Eg3.【截长补短模型】：【例】：已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD【跟踪练习】：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDEg4.【一线三等角模型】：【例】：（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．【跟踪练习1】：已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．

【跟踪练习2】：(1)观察推理:如图①，在中，,直线过点，点在直线的同侧，，垂足分别为.求证:.(2)类比探究:如图②，在中，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积.(3)拓展提升:如图③，在中，，点在上，且，动点从点沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转120°得到线段.要使点恰好落在射线上，求点运动的时间.Eg5.【半角模型】：【例】：（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？【跟踪练习1】：在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD，∠DBC＝∠BCD＝30°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）观察图1，图2，试探究：当点M、N边AB、AC上时，BM、NC、MN之间存在的数量关系，不需证明；（2）当M、N分别在射线AB、射线CA上时，尝试在图3中画出图形，根据图形进一步探索BM、NC、MN之间的数量关系．并证明你的结论【跟踪练习2】：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法如下：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是____________．【探索延伸】如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图③，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，求出△DEF的周长．Eg6.【角平分线模型】：【例】：（1）如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，AD是角平分线.若CD=4，AC=12，AB=15。求三角形的ABC的面积；（2）如图，在三角形ABC中，∠ABE=2∠DEB，AD是角平分线，BE⊥AD于点E，求证：∠C=∠EBD；（3）如图，在三角形ABC中，AD是外角角平分线，P是AD上异于A的一点，试比较PB+CP和AC+AB的大小关系，并说明理由.【跟踪练习1】：如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC【跟踪练习2】BCDEA21：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2求证：BCDEA21Eg7.【对角互补模型】：【例】：如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP+∠ACP=180º，求证：PB+PC=PAPPBCA【跟踪练习1】：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：【跟踪练习2】.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE=二．全等三角形动态变化问题：1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，动点E从A点出发沿着AC匀速运动到终点C，动点F从C点出发沿着CB匀速运动到终点B，他们同时出发并同时到达终点，连结DE，DF，EF，在运动过程中。(1)请分析△DEF形状变化(2)若AB=4，四边形ECFD的面积是否发生变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请简要说说它是如何变化的.如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接