增分微课(一)多维度探究数形结合思想在函数中的应用

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函数增分微课(一)多维度探究数形结合思想在函数中的应用类型一绝对值函数

类型二函数的迭代问题类型三

复合二次函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c

题组训练类型一绝对值函数

涉及绝对值函数的问题常见的有两种情况:一是含绝对值的函数图像的画法;二是含绝对值的函数的零点及相关方程的实数根个数问题.两类问题都需要通过数形结合、分类讨论等思想进行处理.例1(1)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列结论错误的是(

)A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B.函数f(x)的图像关于直线x=2对称C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.函数f(x)有且仅有两个零点[思路点拨]画出函数f(x)=|ln|2-x||的图像,逐一分析题目中四个结论的对错,可得答案.例1(1)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列结论错误的是(

)A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B.函数f(x)的图像关于直线x=2对称C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.函数f(x)有且仅有两个零点C[解析]函数f(x)=|ln|2-x||的图像如图所示,由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A中结论正确;函数f(x)的图像关于直线x=2对称,B中结论正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2不一定等于4,C中结论错误;函数f(x)有且仅有两个零点,D中结论正确.故选C.

D

①当0<k<1时,函数f(x),g(x)的图像有两个交点,即方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根;②当k=1时,函数f(x),g(x)的图像有一个交点,即方程f(x)=g(x)有一个实数根;D

③当1<k<4时,函数f(x),g(x)的图像有两个交点,即方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根;④当k≤0时,函数f(x),g(x)的图像有一个交点,即方程f(x)=g(x)有一个实数根.综上,实数k的取值范围是0<k<1或1<k<4.故选D.D[总结反思]含绝对值的函数问题最根本的方法就是找到绝对值的零点,然后消去绝对值,转化为分段函数,分段画出函数的图像.熟练掌握数形结合的思想、分类讨论思想及把问题等价转化是解题的关键.变式题(1)关于函数f(x)=|x2-1|,给出下列结论:①f(x)是偶函数;②若函数y=f(x)-m有四个零点,则实数m的取值范围是(0,1);③f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;④若f(a)=f(b)(0<a<b),则0<ab<1.其中正确的是(

)A.①② B.③④C.①③④ D.①②④D[解析]作出函数f(x)=|x2-1|的图像如图所示,由f(-x)=f(x),可知f(x)是偶函数,故①正确;若函数y=f(x)-m有四个零点,如图作出直线y=m,由图像可知实数m的取值范围是(0,1),故②正确;变式题(1)关于函数f(x)=|x2-1|,给出下列结论:①f(x)是偶函数;②若函数y=f(x)-m有四个零点,则实数m的取值范围是(0,1);③f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;④若f(a)=f(b)(0<a<b),则0<ab<1.其中正确的是(

)A.①② B.③④C.①③④ D.①②④D由图像可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故③错误;若f(a)=f(b)(0<a<b),则1-a2=b2-1,即a2+b2=2,a2+b2>2ab,即0<ab<1,故④正确.故选D.

A

A

类型二

函数的迭代问题

迭代是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了逼近所需目标或结果.每一次对过程的重复称为一次“迭代”,而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值.我们常见的函数迭代问题有两种形式:一是二阶迭代函数y=f[f(x)];二是f(x+a)=kf(x)形式.

[思路点拨]根据条件f(x+1)=2f(x),准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,作出相应的图像,精准运算得到结果.

B

B

B

[思路点拨]令f(x)=t,则函数的零点问题转化为方程f(t)=-1的解的问题.

4

4[总结反思](1)对于二阶迭代函数y=f[f(x)]问题,通常是用换元法,设t=f(x),这样就转化为两个一阶函数y=f(t)与t=f(x)的有关问题,结合图像进行具体分析;(2)形如f(x+a)=kf(x)的迭代问题,一般是结合定义区间,分段写出相应函数的解析式,结合图像及相应运算进行求解.变式题(1)[2019·宜昌1月调研]

已知函数f(x)=x2+(a-1)x-a,若函数g(x)=f[f(x)]有且仅有两个零点,则实数a的取值集合为

.

{-1}[解析]由题可得f(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1),令f(x)=t,则函数g(x)=f[f(x)]可化为y=f(t),令f(t)=0,解得t=1或t=-a,即f(x)=1或f(x)=-a.因为函数g(x)=f[f(x)]有且仅有两个零点,所以f(x)=1与f(x)=-a共有两个不同的实数解.f(x)=-a可化为x2+(a-1)x=0,即f(x)=-a的根为x1=0或x2=1-a.又f(x)=1显然有两个不同的实数解,要使得f(x)=1与f(x)=-a共有两个不同的实数解,则两方程的根必须相同.即-a=1时,才可以使得f(x)=-a的两根与f(x)=1的两根相同.故实数a的取值集合为{-1}.

类型三

复合二次函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c

复合二次函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c问题大多以函数的图像为背景,涉及方程根的个数、函数零点的个数、参数的取值范围等问题,突出数形结合思想、函数与方程思想.考查运算求解、逻辑思维、分析与解决问题的能力.解决这类问题的基本思想为由外到里,以二次函数的基本理论为基础,把里层函数f(x)看成整体,通过研究二次函数的性质转化为函数f(x)的性质,再对f(x)进行研究.

[解析]当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f'(x)=12x2-12x,所以当0<x<1时,f(x)单调递减,当x>1时,f(x)单调递增,故f(x)在x=1处取得极小值,也为最小值-1,且f(0)=1,作出函数f(x)的图像如图所示,A

A

[思路点拨]作出函数f(x)的简图,结合图像可得.

[解析]作出函数f(x)的图像如图所示,设f(x)=a,当a≥1时,方程f(x)=a有两个根;当a<1时,方程f(x)=a有一个根.所以当关于x的方程[f(x)]2+2f(x)+m=0有三个不同的实根时,a2+2a+m=0的两根一个比1大,一个比1小,所以1+2+m<0,即m<-3.当m=-3时,f(x)=1或f(x)=-3符合题意.综上可得m≤-3.(-∞,-3][总结反思]对于方程a[f(x)]2+bf(x)+c=0解的个数(或函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c零点个数)问题,一般采用换元法,设t=f(x),根据t的取值或范围,再利用函数f(x)的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定.注意数形结合思想、分类讨论思想的应用.变式题

(1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数是(

)A.3 B.4C.5 D.6A[解析]由题意得f'(x)=3x2+2ax+b,则x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根,由3[f(x)]2+2af(x)+b=0,知两个f(x)使得等式成立,又x1=f(x1),所以当x2>x1=f(x1)时,其函数大致图像如图①所示,则有3个交点.当x2<x1=f(x1)时,其函数大致图像如图②所示,有3个交点.所以两种情况都有3个交点,故选A.

(-∞,-2)

题组训练

D

D

D[解析]当x∈[-2,-1)时,f(x)=x+2;当x∈[-1,0]时,f(x)=-x;又当x>0时,f(x)=2f(x-2),所以可作出函数f(x)在[-2,4]内的图像如图所示,

D

B[解析]解方程[f(x)]2+mf(x)-1-m=0得,f(x)=1或f(x)=-m-1.解f(x)=1,得x=0,故方程f(x)=-m-1有3个不为0的根.

B

B

D

D

D作出函数f(x)与g(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,两个函数的图像有10个交点,即函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上零点的个数是10,故选D.

A[解析]令t=f(x),则方程[f(x)]2-2f(x)+a=0可转化为t2-2t+a=0,设方程t2-2t+a=0的两个根分别为t1,t2,则方程[f(x)]2-2f(x)+a=0有4个不相等的实根等价于y=f(x)的图像与直线y=t1,y=t2的交点共4个.

A

A

B[解析]设x=t为y=f(x)的零点,即f(t)=0,由f(x)与f[f(x)]的零点相同可知f[f(t)]=0,∴f(0)=0,又f(0)=a,则a=0,∴f(x)=-x2+2bx.令f(x)=0,解得x1=0,x2=2b.当b=0时,f(x)仅有一个零点x=0,符合题意;

B当b≠0时,f[f(x)]=-(-x2+2bx)2+2b(-x2+2bx)=(-x2+2bx)(x2-2bx+2b),∴x2-2bx+2b=0无实根