函数的奇偶性优秀

关于函数的奇偶性优秀第1页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三复习回顾初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形，那么什么是轴对称图形和中心对称图形呢？轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。第2页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？怎样用函数的解析式来描述这种特征呢？f(-3)

f(3)f(-2)

f(2)f(-1)

f(1)f(x)=x2f(x)=|x|

实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.===f(-3)

f(3)f(-2)

f(2)f(-1)

f(1)===第3页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.偶函数的图象关于y轴对称第4页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三观察函数f(x)=x和的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)

实际上，对于R内任意的一个x,都有f(－x)=－x=－f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)第5页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－

f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称第6页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例1、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R ∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数第7页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三3.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（如果定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶，下面的步骤就不用）2）确定f(－x)与f(x)的关系；3）作出相应结论：若f(－x)=f(x)

或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)

或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．第8页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三注意：

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.对于定义域里任意一个x都成立；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．例如y=x2,x∈[-1，2]为非奇非偶函数第9页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即

若f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)

成立.

若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x)

成立.4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.5.若奇函数在x=0时有定义,则必有f(0)=0第10页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三6.存在既是奇函数又是偶函数的函数。7.函数按照奇偶性可以分为：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四类。第11页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三4.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：

a、简化函数图象的画法.b、判断函数的奇偶性第12页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略第13页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三xy0相等若y=f(x)是奇函数呢?第14页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三课堂练习1.判断下列函数的奇偶性：第15页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三2.若f(x)在R上为偶函数,当x∈(－∞,0)时,f(x)=x－x4;则当x∈(0,＋∞)时,f(x)=

.

－x－x4第16页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(－x)=－f(x)

f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)

f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数