切线的判定与性质

关于切线的判定与性质第1页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

知识回顾相切d=r．Ｏl┐dr唯一的公共点判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?1、和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。１、切线和圆只有一个公共点。２、圆心到切线的距离等于半径。切线具有什么性质？定义法：数量法（d=r

）：第2页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

问题:如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA

，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？lAOdr条件一：直线l经过半径OA的外端点A条件二：直线l垂直于半径OAd=r相切切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。第3页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三Ol

A∵OA⊥l∴l是⊙O的切线。几何符号表达：切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。OA是半径，于A第4页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:

(1)直线经过半径的外端;

(2)直线与这半径垂直。OrA第5页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:

归纳切线的判定方法1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。第6页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．

1.当你在下雨天快速转动雨伞时,水滴顺着伞的什么方向飞出去的？2.砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?生活中的数学第7页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三改变切线判定定理的题设与结论

如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。O．l思考？A∵直线l切⊙O于点Ａ，∴ＯＡ⊥l几何符号表达：第8页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三１、圆的切线和圆只有一个公共点。２、圆心到切线的距离等于半径。３、圆的切线垂直于过切点的半径。切线的性质归纳第9页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点,直线l1、l2有怎样的位置关系？·OABl1l2l1∥l2证明:∵

l1是⊙O切线，l2是⊙O切线，∴l1⊥OA，l2⊥OB.∴

l1∥l2.小试牛刀：第10页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连接OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∴AB是⊙O的切线。第11页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB,OE⊥AC∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。第12页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线与圆有公共点,则连接这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点,连半径,证垂直。用判定定理证。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。用数量法（d=r）证。连接OC（交点C已给出）过O作OE⊥AC于E（交点E未给出）OBACOABCDE第13页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三1、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP无交点,作垂直,证半径。有交点,连半径,证垂直

练一练第14页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三1、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC无交点,作垂直,证半径。

练一练证明：过O作OC⊥AB于C∵OA＝OB,OC⊥AB

。

在Rt△AOC中,∠A＝30°,

OA＝10∴OC=5。又∵⊙O的半径为5∴PE为⊙0的切线。∴∠AOC=∠AOB＝60°

。第15页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三证明：连接OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP

练一练有交点,连半径,证垂直第16页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D,∠B＝30°,OB=6cm,求BCCOBD〖例3〗解：连接OC∵

CB切⊙O于C,∴

OC⊥BC。在R