湖南省岳阳市楼区第二中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省岳阳市楼区第二中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于x=对称参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2?（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D2.若，且为第二象限角，则A． B．

C．

D．参考答案：B略3.黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，…，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(

)A．A=30°，B=45° B． C．B=60°，c=3 D．C=75°，A=45°参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】综合题．【分析】A、由选项中的条件A和B的度数，求出sinA和sinB的值，由a的值，利用正弦定理即可求出b的值，作出判断；B、由c，cosC及a的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断；C、由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断；D、由A和C的度数求出B的度数，利用a，sinA和sinB的值，根据正弦定理即可求出b的值，作出判断．【解答】解：A、由a=2，sin30=，sin45=，根据正弦定理得：b==2≠，故此选项错误；B、由a=2，c=1，cosC=，利用余弦定理得：1=4+b2﹣b，即3b2﹣2b+9=0，∵△=4﹣108=﹣104＜0，所以此方程无解，故此选项错误；C、由a=2，c=3，cosB=，根据余弦定理得：b2=13﹣6=7，解得b=≠，故此选项错误；D、由B=180°﹣75°﹣45°=60°，又a=2，根据正弦定理得：=，则b=，故此选项正确，所以选项D可以作为这个习题的其余已知条件．故选D【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值及三角形的内角和定理，是一道中档题．4.右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为（

）

A．16

B．16C．64+16

D．16+参考答案：D5.已知椭圆的两个焦点分别是,P是椭圆上的一个动点,如果延长到Q,使得,那么动点Q的轨迹是(

)Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．射线Ｄ．直线参考答案：A6.

参考答案：B略7.函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2200元参考答案：C考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由购买一件家用电器共节省330元可知，该家电的标价应超过200元，进一步分析应超过500元，根据两段价格的优惠和等于330元列式即可求得该家电在商场的标价．解答：解：由题意知，若该家电大于200元但不超过500元，优惠的钱数为300﹣300×0.9=30元，因为该家电优惠330元，所以该家电一定超过500元，设该家电在商场的标价为x元，则优惠钱数为（300﹣300×0.9）+（x﹣500）×（1﹣0.8）=330．解得：x=2000．所以，若某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为2000元．故选C．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，解答的关键是明确如何计算优惠数额，每一段的优惠数等于标价数减去实际支付数，属中档题．9.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2 B． C． D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2故选：D．10.复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数（其中i为虚数单位），则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：A【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简i（2﹣i），再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵i（2﹣i）=1+2i，又复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数，∴z=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，

上顶点为，若，则该椭圆的离心率是

.参考答案：12.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|＜）的部分图象如图所示，且线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，则函数f（x）的解析式为

．参考答案：f（x）=sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数图象可得A，又由题意，可求T，利用周期公式可求ω，由f（）=sin（+φ）=，结合范围|φ|＜，可求φ的值，即可得解函数解析式．【解答】解：由函数图象可得，A=，因为：线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，所以：PQ==4，所以可得：T==4，解得：ω=，由于：点（，）在函数图象上，可得：f（）=sin（+φ）=，即：sin（+φ）=1，解得：+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ+，k∈Z，又因为：|φ|＜，所以，解得：φ=．故答案为：f（x）=sin（x+）．13.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14.等比数列{an}的各项均为正数，且a4=a2?a5，3a5+2a4=1，则Tn=a1a2…an的最大值为．参考答案：27【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a4=a2?a5，得即a4=q，再结合已知条件求出等比数列的通项公式，进一步求出Tn=a1a2…an的最大值即可．【解答】解：由a4=a2?a5，得即a4=q．∴3即a4=q=．∴．则Tn=a1a2…an的最大值为：．故答案为：27．15.设是实数．若函数是定义在上的奇函数,但不是偶函数,则函数的递增区间为

参考答案：[-1,1]16.将参数方程（为参数,）化成普通方程为

______．参考答案：略17.曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）《选修4——4:坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.设圆C与直线l交于点，，且.（I）求中点的极坐标；（II）求||＋||的值.参考答案：由，得，即.

…………3分将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝4，即，，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以,

…………6分（I），，点的极坐标为.

………………8分（II）又直线l过点，故由上式及参数t的几何意义得=＝.

.........10分19.（本小题12分）已知函为偶函数，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为三角形的一个内角，求满足的的值.参考答案：．解：（Ⅰ）

由为偶函数得

又

（Ⅱ）由得,又为三角形内角，

略20.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，………………3分∴该同学被淘汰的概率．……６分（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．………………8分∴的分布列为123P……１０分∴……１２分21.如图，椭圆C1：+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求实数b的值；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E．①证明：?=0；②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若=λ，求λ的取值范围．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，从而得证；②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1，同理可得S2，进而可得比值，由此可得λ的取值范围．【解答】（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2=2

…（3分）∴b=1

…（4分）（2）①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…（7分）又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMAkMB=×==﹣1…（9分）故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

…（10分）②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1，）…（12分）同理可得点B的坐标为．于是==直线的方程为y=k1x﹣1，代入椭圆方程，消去y，可得（）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x=，则点D的坐标为；

…（14分）同理可得点E的坐标于是S2==因此，…（16分）又由点A，B的坐标可知，k==，平方后代入上式，所以λ=故λ的取值范围为[）．

…（18分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．22.已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，恒成立，试求θ的取值范围。参考答案：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，

则

cosθ=f(1)>0,s