黑龙江省哈尔滨市光华中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市光华中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．

B． C．

D．参考答案：A2.下列命题中正确命题的个数是(

)（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08(4)曲线与所围成图形的面积是

A.2

B.3

C.4

D.1参考答案：A略3.已知函数的图象经过区域，则a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12B．16C．D．参考答案：A5.已知圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与直线y=kx+3相交于A，B两点，若，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，0]参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】当时，求得圆心到直线的距离，列出不等式，由此求得k的范围．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣6y+9=0即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，当|AB|=2时，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离为d====1，故当|AB|≥2时，d=≤1，求得﹣≤k≤，故选：B．6.已知直线（不全为），两点，，若，且，则直线(

)A．与直线不相交

B．与线段的延长线相交C．与线段的延长线相交

D．与线段相交参考答案：B略7.若函数在(0,1)上为增函数，则a的取值范围为（ ）A．

B．

C.

D．参考答案：D依题意可得对恒成立.令（）.即对恒成立.设，.当时，解得.当时，∵，，∴对恒成立.综上，的取值范围为.

8.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是A. B.C. D.参考答案：B略9.数列的首项为3，为等差数列且若b3=－2，b2=12，则a8=

A．0

B．3

C．8

D．11参考答案：B10.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中不含项的系数的和为

.参考答案：012.直线与圆相交于点、，则||=

．参考答案：略13.已知三边a，b，c的长都是整数，且，如果，则符合条件的三角形共有

▲

个（结果用m表示）．参考答案：14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为

．参考答案：由题意，△ABF2的周长为32，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=32﹣4a，∴，∴，令，则，...........................令m=，则当m=时，的最大值为故答案为：

15.已知集合参考答案：,，所以16.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．参考答案：【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点．B9【答案解析】604解析：y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x=16无根即当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，由f（x）+f（x+5）=16，即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]在x∈[0，4]函数有两个零点，在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，在x∈（2004，2013]共有两个零点，综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604故答案为：604【思路点拨】根据y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，f（x）=x2﹣2x=16无根，可得x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，且x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．【题文】17.运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.这次行车总费用关于的表达式

；当=

时，这次行车的总费用最低。参考答案：解析:（1）设行车所用时间为

,所以，这次行车总费用y关于x的表达式是

（或：）（2）

仅当时，上述不等式中等号成立三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630

（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.参考答案：；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，,,.所以的分布列为123

所以的数学期望为.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．19.已知椭圆方程＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x2﹣5x+2=0的根，（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率为方程2x2﹣5x+2=0的根，求出e，再由题意列a，b，c的等量关系列出方程组，求解即可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），联立，解得P点的坐标，又B（2，0），直线PB的斜率为，求出PB直线方程为：，进一步求出M，N点的坐标，则线段MN的最小值可求．【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+2=0的根为x=2或x=，又离心率e∈（0，1），∴x=2舍去．由题意列a，b，c的等量关系为：，解得a=2，b=．∴椭圆的标准方程：；（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），联立，得：（3+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣12）=0，则x1=﹣2，x2=m是其方程的两个根，∴﹣2m=，∴，代入y=k（x+2），得，∴，又B（2，0）∴直线PB的斜率为，∴PB直线方程为：，又直线AP，BP与直线x=4相交于M，N两点，∴，，当且仅当时“=”成立，解得满足题意，∴线段MN的最小值为6．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程的求法，解答此题的关键是仔细计算，是中档题．20.（13分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：累积净化量（克）（3，5]（5，8]（8，12]12以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共24台，在（5，6]之间共4台，从而落在（5，8]之间共28台，由此能估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰好有1台等级为P2的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，∴n==100，由频率分布直方图的性质得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，解得x=0.06．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共：0.12×2×100=24台，又∵在（5，6]之间共4台，∴落在（5，8]之间共28台，∴估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，∴恰好有1台等级为P2的概率P（B）=．【点评】本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．21.(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.参考答案：证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．

………5分又AMì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

………2分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F为PC的中点，所以EF∥NP．…………5分又NPì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

……………2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又ADì平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．

………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PDì平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQì平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因为EFì平面EQF，所以EF∥平面PAD．

………………2分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点.所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥A