山东省日照市第四中学高三数学理模拟试题含解析

山东省日照市第四中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】是增函数，所以，即，，，所以,故选：D【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答.2.若，且，则下列不等式成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略3.已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，3] C．（0，] D．（0，]∪[3，]参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】利用选择题的特点，借助题中答案的端点值判断，当△PBC在平面α内时，它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，再求出P不在平面α内时的部分范围，结合选项得答案．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的高为h，在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=×，当h=时，PE=，PB==，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=3?PE=＞3，又PE==＞3，∴h2＞6，∴h＞．由选项可知B符合，故选：B．4.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+∞）上单调递减的函数是

A．y=x3

B．y=

C．y=2|x|

D．y=cosx参考答案：B5.已知函数，，则y=f(x)－c有两个零点，则C的取值范围是（

）A．（－，1）（16，＋∞）

B．[－，－1]（4，＋∞）C．[－，－1）（16，＋∞）

D．（－，－1]（16，＋∞）参考答案：D6.已知≤0,≤0,是的充分条件，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知为等比数列，，，则（

）

A.7

B.5

C.－5

D.－7参考答案：D

8.若过点的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，由圆心到直线的距离等于半径求得k的范围，即可求得该直线的倾斜角的取值范围．解答： 解：当过点的直线与圆x2+y2=4相切时，设斜率为k，则此直线方程为y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=0或k=，故直线的倾斜角的取值范围是，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．B．64－4πC．64－6πD．64－8π参考答案：B10.若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．

参考答案：A考点:几何概型．专题:概率与统计．分析:易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．点评:本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.α,β是两个平面，m,n是两条线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有

.（填写所有正确命题的编号）参考答案：②③④

12.已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF//BC，实数x，y满足的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则取最大值时，2x+y的值为________.参考答案：由题意知，，当且仅当时取等号，此时点P在EF的中点，所以，由向量加法的四边形法则可得，，，所以，即，又，所以，所以。13.已知直线与圆相交于两点，则=

▲

．参考答案：14.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为_____________.参考答案：略15.设奇函数f(x)的定义域为[-5，5]。若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是___________.参考答案：（-2，0）∪（2，5]略16.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如下图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.参考答案：1317.函数的最大值是＿＿＿＿＿＿.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）设的公比为，则有或（舍）.则，，

.

即数列和的通项公式为，.

（Ⅱ），令,所以,

如果是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以.

当或时,,不合题意;

当或时,,符合题意.

所以,当或时,即或时,是数列中的项.

19.已知函数f（x）=x﹣aex，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣ex，f'（x）=1﹣ex．切线的斜率k=f'（0）=0，切点（0，f（0）），即可求得切线方程．（Ⅱ）由f（x）=x﹣aex，得f'（x）=1﹣aex．分a≤0，a＞求出函数f（x）的单调区间，结合图象求解．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣ex，f'（x）=1﹣ex．当x=0时，y=﹣1，又f'（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1．…（4分）（Ⅱ）由f（x）=x﹣aex，得f'（x）=1﹣aex．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．当x=a时，f（a）=a﹣aea=a（1﹣ea）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；

…（8分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣ae﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点．…（12分）【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数求切线方程，函数图象与横轴交点问题．属于中档题．20.（12分）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．参考答案：解：（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.

21.在极坐标系中，已知曲线C1：和曲线C2：，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值.参考答案：(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，∵，∴过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极