初中数学线段的长短比较-题型练习

专题4.3线段的长短比较-重难点题型

【人教版】

?亦*一史三

【知识点线段的长短比较】

（1）两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.

【题型1线段的和差】

【例1】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，C是线段AB的中点，。是CB上一点，下列说法中错误的是（）

I111

ACDR

A.CD=AC-BDB.CD=*BCC.CD=-BDD.CD=AD-BC

【解题思路】根据CD=BC-BD和CD=A£>-AC两种情况和AC=8C对各选项分析后即不难选出答案.

【解答过程】解：是线段的中点，

：.AC^BC=

A、CD=BC-BD=AC-BD，故本选项正确；

B、。不一定是8C的中点，故C0=^C不一定成立；

C、CD=BC-BD=^AB-BD,故本选项正确.

。、CD=A£>-AC=AD-BC,故本选项正确;

故选：B.

【变式1-1］（2021秋•荔湾区期末）延长线段AB到C,使反向延长AC到。，使A£>=基C,

若AB=8c，"，则CD=18cm.

【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CQ的长度.

【解答过程】解：如图，BC=^AB=4,AC=AB+BC=S+4=\2cm,

1

AD=^AC=6,CD=AD+AC=12+6=\Scm.

故答案为18.

••••

nARc

【变式1-2］（2021春•长兴县月考）如图，在线段A8上有C、。两点，CD长度为1cm,A8长为整数，

则以A,B,C,。为端点的所有线段长度和不可能为（）

।______________।_____।_____________।

ACDB

A.16cmB.21cmC.22cmD.31cm

【解题思路】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+D3+AO+C8+AB,然后根据8=1,

线段A8的长度是一个正整数，可以解答本题.

【解答过程】解：由题意可得，

图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB=

CAC+CD+DB）+（AD+CB）+AB^AB+AB+CD+AB^3AB+CD,

...以A、B、C、。为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1,

...以A、B、C、。为端点的所有线段长度和不可能为21.

故选：B.

【变式1-3］（2021秋•天津期末）如图，B,C两点把线段分成2：5：3三部分，M为4。的中点，BM

=6cm.求CM和AC的长.

ABMCD

【解题思路】设A8=2XC〃7,BC=5xcm,CD=3xcm,求出AO=IOxcm,根据m为4。的中点求出AM=

DM=5xcm,列出方程，求出X,即可求出答案.

【解答过程】解：设AB=2xcw,BC=5xcm,CD=3xcm,

则AD=AB+BC+CD^lOxcm,

为AQ的中点，

2

：.AM=DM=^AD=5xcm9

'：BM=AM-AB=6cm,

5x-2x=6,

解得：x=2,

即AD=l(kc〃2=20cm,DM=5xcm=1Ocm,CD=3xcm=6cm,

•・CM=DM-CD=10cm-6cm=4cm.

【题型2线段中点的有关计算】

【例2】(2021春•松北区期末)如图，点G是A8的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下

列式子不成立的是()

AMGCN~~B

1

A.MN=GBB.CN"(AG-GC)

11

C.GN=^(BG+GC)D.MN=*Q4C+GC)

【解题思路】由中点的定义综合讨论，••验证得出结论.

【解答过程】解：A、I,点G是A8的中点，点M是AC的中点，点N是8C的中点，

：.GB=^AB,MC=^AC,NC=1»C,

：.MN=MC+NC=-AC+^/iC=^AB,

:.MN=GB,故A选项不符合题意；

B、♦.•点G是AB的中点，

."G=BG,

：.AG-GC=BG-GC=BC,

1

■:NC=”C,

.,.7VC=1(AG-GO,故B选项不符合题意；

C、'：BG+GC=BN+NC+CG+GC=2CN+2CG=2GN,

:.GN=3(BG+GC),故C选项不符合题意；

。、,:MN='B,AB^AC+CB,

3

:.MN=3(AC+C8),

..•题中没有信息说明GC=BC,

：.MN=i(AC+GC)不一定成立，故。选项符合题意.

故选：D.

【变式2-1](2021秋•邵阳县期末)如图，点C、力是线段4B上任意两点，点例是4c的中点，点N是

08的中点，若AB=a,MN=b,则线段C£＞的长是()

111III

/MCDNB

1

A.2b-aB.2(a-h)C.a-hD.—(a+6)

2

【解题思路】先由AB-MN=a-b,得AM+BN=a-b,再根据中点的性质得AC+8O=2a-2b,最后由

CD=AB-(AC+BD)即可求出结果.

【解答过程】解：MN=b,

：.AB-MN=a-h,

:・AM+BN=a-b,

•.•点M是AC的中点，点N是。8的中点，

：.AM=MC,BN=DN,

：.AC+BD^AM+MC+BN+DN^2(AM+BN)=2Ca-b)=2a-2b.

：.CD=AB-(AC+BD)=〃-(2a-2b)=26-a.

故选：A.

【变式2-2](2021秋•奉化区校级期末)两根木条，一根长\Qcrn,另一根长12°",将它们一端重合且放

在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为()

A.\cmB.WemC.\cm或IlanD.2CMJ或Ilan

【解题思路】设较长的木条为A3,较短的木条为8C,根据中点定义求出8M、8N的长度，然后分两种

情况：①BC不在A8匕时，MN=BM+BN,②2C在4?上时，MN=BM-BN,分别代入数据进行计算即

可得解.

【解答过程】解：如图，设较长的木条为AB=12C/M,较短的木条为BC=10cm,

N分别为48、8c的中点，

BM~6cm,BN—5cm,

①如图1,BC不在AB上时，MN=BM+BN=6+5=Hem,

4

②如图2,8c在A8上时，MN=BM-BN=6-5=lcm,

综上所述，两根木条的中点间的距离是1。“或11a”，

故选：C.

II------------1II

AMBNC

图1

IIa・，

4cMNB

图2

【变式2-3](2021秋•江岸区校级月考)如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操

作：分别取线段AM和AN的中点MLM；第二次操作：分别取线段AM1和4M的中点M2,M；第三

次操作：分别取线段AM2和4V2的中点M3,N3;……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的

所有线段之和M1M+M2N2+…+MioMo=()

~~K也芯M飞3^^M

1111inio10

A.20(-+—+—+•­•+—)B.20+与C.20-3D.20+3

2222321029210210

【解题思路】根据线段中点定义先求出MM的长度，再由MiM的长度求出M2N2的长度，从而找到

的规律，即可求出结果.

【解答过程】解：：线段MN=2O,线段AM和4N的中点Mi,M,

：.MiN\=AM\-AN\

=^AM-^AN

=2(AM-AN)

1

=*MN

1

=^x20

=10.

•・•线段AMi和AM的中点M2,N2；

:.M?N?=AM2-AN?

=^AMi-^ANi

=5(AM]-ANi)

5

=|A/INI

=1x1x20

=—yx20

22

=5.

发现规律：

1

MnN〃=/X20

/.MiN\+M2N2+,••+Mi0N10

1111

=2x20+-^2x20+x20+…+jox20

1111

=20(1+-7+―7+…+—TT)

22223210

故选：A.

【题型3线段n等分点的有关计算】

【例3】(2021春•东平县期末)如图，已知AB和C。的公共部分BO=%B=/CD,线段AB,CO的中点

E,尸之间的距离是10。“，则A8的长是12cm.

1nilI1

AEDBFC

【解题思路】设8D=x,则AB=3x,CZ)=4x,由中点的定义可得EF=9(3x+4x)=10,即可求解x值，

进而可求得AB的长.

【解答过程】解：设

■:BD=！AB=1CD,

・"8=3x,CD=4xf

•・•线段A8,CD的中点E,尸之间的距离是10o〃，

EF=BE+BF=/8+-CD-BD=g(AB+CD)-BD=1(3.r+4.r)-x=10cm,

解得x=4,

.'.AB=3x=l2(cm).

故答案为12cM.

【变式3-1](2021春•奉贤区期末)如图，已知8。=16c机，8。=|48,点C是线段8。的中点，那么AC

6

=32cm.

AD—C~B

【解题思路】先由BD=16cm,BD=铲8知AB=|BD=40cw,再由点C是线段BD的中点知BC=^BD

=8的，根据AC=48-8c求解可得答案.

【解答过程】解：：BO=16C〃3BD=|AZJ,

.•.AB=|5D=|xl6=40(cw),

又：点C是线段BD的中点，

1

：.BC=^BD=Scm,

则4C=AB-8C=40-8=32(cm),

故答案为：32.

【变式3-2](2021秋•宝鸡期末)如图，P是线段48上一点，AB=ncm,M、N两点分别从P、8出发以

lcm/s.3cvn/s的速度同时向左运动(M在线段4P上，N在线段BP上)，运动时间为fs.

IIIII

AMP.VB

(1)若M、N运动Is时，且PN=34M,求AP的长；

(2)若M、N运动到任一时刻时，总有PN=3AM,4P的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若

变化，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，。是直线AB上一点，且AQ=PQ+8Q,求尸。的长.

【解题思路】(1)由AM+MP+PN+8N=A8,列出方程可求4W的长，即可求解；

(2)由线段的和差关系可求解；

(3)由题设画出图示，根据A。-8Q=PQ求得AQ=PQ+3Q；然后求得AP=8Q,从而求得尸。与AB

的关系.

【解答过程】解：⑴根据M、N的运动速度可知：BN=3cm,PM=\cm,

；AM+MP+PN+BN=AB,且PN=3AM,

...AM+1+3AM+3=12,

*.AP=3cmx

(2)长度不发生变化,

7

理由如下：

根据M、N的运动速度可知：BN=3PM,

;AM+MP+PN+BN=AB,且PN=3AM,

・・・4AA/+4PM=12,

•'.AP=3ctn,

(3)如图：

।____।_______i______l

APQB

9：AQ=PQ+BQ,AQ=AP^PQ,

：.AP=BQf

：.PQ=AB-AP-BQ=6cm；

当点0在A8的延长线上时，

AQ1-AP=PQf,

所以AQ'-BQ1=PQ=AB=\2cm.

综上所述，PQ=6cin或12cm.

【变式3-3](2021秋•甘井子区期末)已知，点。是射线AB上的点，线段A8=4mBD=nAB(0<n<l),

点C是线段AQ的中点.

(1)如图1,若点。在线段AB上，当a=l,时，求线段8的长；

(2)如图2,若点。在线段AB的延长线上，当时，求线段CC的长；(用含〃的式子表示)

(3)若点。在射线AB上，请直接写出线段C£>的长2”-2”“或2〃+2"4.(用含a和"的式子表示)

ACDBAC_BD~

图1图2

【解题思路】(1)根题意求得A8与8。的长，利用线段间数量关系求得的长，然后根据线段中点

定义求CO的长；

(2)解题思路同第(1)问；

(3)利用(1)(2)间的解题思路，分点。在线段AB和48延长线上两种情况分类解答.

【解答过程】解：(1)'：a=l,n=\,

，4B=4a=4,

8

BD=nAB=夕8=2,

.*.A£>=AB-80=4-2=2,

•••点C是线段的中点，

：.CD=^AD=1.

(2)'：n=I，AB=4a,

1

：.BD=nAB=^AB=2af

AD=ABJfBD=4〃+2〃=6a,

1

：.CD=^AD=3a.

(3)①当点。在线段AB上时，

*：AB=4afBD=nAB=4ncb

：.AD=AB-BD=4a-4M

・，・CD=^AD=*(4a-4na)=2a~Ina.

②当点D在线段AB延长线上时，

\'AB=4atBD=nAB=4na1

：.AD=AB+BD=4a+4naf

：.CD=^AD=1(4a+4na)=2a+2na.

综上，线段CO的长为：2a-或24+2”a.

故答案为：2a-2na或2a+2na.

【题型4线段的数量关系】

【例4】(2021秋•江门期末)如图，点B在线段4C上，。是AC的中点.若BC=b,则BD=()

42BDc

111111

bbcb

----Q----Q-

2-2aB.222D.2

【解题思路】根据已知条件可得AC=A8+8C="+b,由。是AC的中点，可得CD=yC,由题意可知

BD=BC-CD,代入计算即可得出答案.

【解答过程】解：；AB=a,BC=b,

：.AC=AB+BC=a+b,

9

•.♦。是AC的中点，

111

CD—=2。+36，

♦：BC=b,

：.BD=BC-CD=b-（|cz+!b）=^b-|a.

故选：A.

【变式4-1］（2021秋•沙湾区期末）如图，已知A,B,C,。是同一直线上的四点，看图填空：AC=4B

+BC,BD=AD-AB,AC<AD.

~4RC5

【解题思路】从图上可以直观的看出各线段的关系及大小.

【解答过程】解：由图可知各线段的关系为AC=AB+BC,BD^AD-AB,AC<AD.

故答案为A8；A8；AD.

【变式4-2］（2021春•莱阳市期末）线段AB的长为2c〃?，延长到点C,使AC=3AB,再延长8A到点

。，使BD=28C,则线段C£>的长为12cm.

【解题思路】根据已知分别得出8C,的长，即可得出线段CD的长.

【解答过程】解：：线段A8=2tro,延长AB到C,使AC=348,再延长BA至Q,使8D=28C,

I______________II__________I

DABC

BC=2AB=4C〃3BD=4AB=8cni,

：.AD=BD-AB^3>AB=6cm

：.CD=AD+AB+BC=6+2+4=\2（cm）,

故答案为：12.

【变式4-3］（2021秋•成都期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC,点。，E在直线AB上，点。在点E

的左侧.

若AB=15,DE=6,线段OE在线段AB上移动.

①如图1,当E为2c中点时，求AO的长；

②点尸（异于A,B,C点）在线段A3上，AF=3AD,CF=3,求AO的长；

•-------•-------0---1--••-------------•------•

ADCEBACB

图1备用图

【解题思路】根据已知条件得到8c=5,AC=\0,

10

①由线段中点的定义得到CE=2.5,求得8=3.5,由线段的和差得到AD=AC-8=10-3.5=65

②如图1,当点尸在点。的右侧时，当点尸在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；

【解答过程】解：・・,4C=28CA3=15,

：.BC=5,AC=10,

①YE为BC中点，

：.CE=2.5,

,:DE=6,

，CD=3.5,

：.AD=AC-CD=10-3.5=6.5；

②如图1,

•--------------•----------•------•••

ADCEFB

图1

当点尸在点C的右侧时，

\"CF=3,BC=5,

：.AF=AC+CF=\3,

113

：.AD=^AF=~

当点尸在点。的左侧时，

•♦•♦♦•

ADpECB

图2

'.'AC=10,CF=3,

:・AF=AC-CF=1,

：.AF=3AD=7f

7

・・・AO=（；

137

综上所述，AD的长为二或不

【题型5两点之间线段最短】

【例5】（2021春•莱州市期末）如图，A,。两村相距6kmB,。两村相距5Am.现要建一个自来水厂,

使得该厂到四个村的距离之和最小.下列说法正确的是（）

11

,C

B.

•D

A.自来水厂应建在AC的中点

B.自来水厂应建在8。的延长线上

C.自来水厂到四个村的距离之和最小为Wkm

D.自来水厂到四个村的距离之和可能小于

【解题思路】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最

小，就要使它在AC与8。的交点处.

【解答过程】解：如图所示，连接AC,8。交于点E,在平面内任取一点E,连接AE1,BE,CE,DE,

'：AE+CE^AC,BE+DE^BD,

J.AE+CE+BE+DEBD+AC^Ukm,

当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为Uh”,

【变式5-1］（2021秋•丛台区校级期末）下列生活，生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；

②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽

可能沿着直线AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释

的现象有（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

【解题思路】①②根据“两点确定一条直线”解释，③④根据两点之间线段最短解释.

【解答过程】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确

定同一行树所在的直线根据“两点确定一条直线”，

故选：A.

12

【变式5-2]（2021秋•兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点4沿表面爬行到顶点C处，有多

条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是两点之间，线段最短.

【解题思路】根据连接两点的所有线中，线段最短的公理解答.

【解答过程】解：•••蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，

只有4c是直线段，

...沿4C爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短.

故答案为：两点之间，线段最短.

【变式5-3]（2021秋•渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面就

两个情景请你作出评判.

情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来

说明这个问题.

情景二：A、B是河流/两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，间抽水站修在什么地方

才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点尸的位置，并说明你的理由：

R•

你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？

【解题思路】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接A8,使48两点同在一

条直线上，与河流的交点既是最佳位置.

【解答过程】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条宜线上，两点之间的所有连线中，线段最短;

情景二：（需画出图形，并标明P点位置）

13

/p

理由：两点之间的所有连线中，线段最短.

赞同情景二中运用知识的做法.应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价.

【题型6两点间的距离】

【例6】（2021秋•罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、8两点所表示的有理数分别是x,y,且|x|=3,|y|

=1,则4,B两点间的距离是（）

A.4B.2C.4或2D.以上都不对

【解题思路】先根据绝对值的性质求出x,y的值，再分两种情况讨论，当x与），是同号时和x与y是异

号时，然后根据距离公式即可求出答案.

【解答过程】解：；凶=3,

.'.x=±3.

"1=1，

-*.y=±L

•••当x与y是同号时，A、8两点间的距离是2；

当x与y是异号时，A、8两点间的距离是4：

；.A、B两点间的距离是2或4；

故选：C.

【变式6-1］（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知点4、点8是直线上的两点，点C在线段AB上，且

BC=4厘米.点P、点。是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点。的速度为2厘米/秒.点

P、。分别从点C、点8同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段P。的长为5厘米.

ACB1

【解题思路】由于8c=4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，当线段尸。的长为

5厘米时，可分三种情况进行讨论：①点P向左、点Q向右运动；②点P、Q都向右运动：③点P、Q

都向左运动；④点P向右、点。向左运动；都可以根据线段PQ的长为5厘米列出方程，解方程即可.

【解答过程】解：设运动时间为/秒.

①如果点尸向左、点。向右运动，由题意，得：f+2f=5-4,解得t=最

②点尸、Q都向右运动，由题意，得：2/-t=5-4,解得7=1；

14

③点P、。都向左运动，由题意，得：2「/=5+4,解得f=9.

④点P向右、点。向左运动，由题意，得：2t-4+t-5,解得r=3.

综上所述，经过1或1或3秒9秒时线段PQ的长为5厘米.

ACB1

【变式6-2］（2021秋•秦淮区期末）直线/上的三个点A、B、C,若满足BC=则称点C是点A关于

点8的“半距点”.如图1,BC=^AB,此时点C就是点4关于点B的一个“半距点”.

若M、N、P三个点在同一条直线加上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN=6cm.

（1）MP=3cm或9cm；

（2）若点G也是直线团上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度.

ABC1

（图1）

（备用图）

【解题思路】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得PN=分两种情况画图求解;

（2）根据点G是线段MP的中点，结合（1）分两种情况即可求线段GN的长度.

【解答过程】解：（1）如图所示：

,/点P是点M关于点N的“半距点”，

：.PN=^MN,

®'：MN=6cm.PiN=3MN=3cm,

：.MP\=MN-P\N=3cm；

②,?MN=6cm.P2N=^MN=3cm,

MP2=MN+P2N=9cm；

；.MP=3cm或9cm；

故答案为：3CT7?或9；

15

-----------------------1-------------m

G2----------P2

(2)如图所示：

①点G\是线段MPi的中点，

13

/.MG\=2MP\=卧HT,

:.G\N=MN・MG\=6*(cm)；

②点G2是线段MP2的中点，

19

・・MG2=2Mp2=卧：〃2,

93

・・・G2N=MN-MG2=6-2=]Gm).

93

线段GN的长度为一cm或；cm.

22

【变式6・3】(2021秋•姜堰区期末)如图，点。在线段上，AC=6cni,CB=4c〃z,点M以lc〃?/s的速

度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2ca/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动(即沿

C-C->8—…运动)，当点M运动到点。时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为fs.

(1)当1=1时，求MN的长；

(2)当[为何值时，点。为线段MN的中点？

(3)若点尸是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如

果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由.

・・・・・•♦•

AMCNBACB

备用图

【解题思路】(1)当f=l时，AM=\cm,CN=2cm,MN=7cm；

(2)由题意，得：AM=tcm,MC=(6-r)cm,根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得

0W/W6,分三种情况：①当0W/W2时，点N从C向8运动，可求得1=2；②当2V/W4时，点N从3

向C运动，求出，=2不合题意；③当4V/W6时，点N从C向B运动,可求得f=竽；

(3)存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与(2)一样分三种情况分别探究即可.

【解答过程】解：(1)当，=1时，AM=\crnfCN=2cm,

：.MC=AC-AM=6-1=5(cm),

:・MN=MC+CN=5+2=7Cem）；

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(2)由题意，得：AM=tan,MC=(6-f)cm,

•••点M运动到点C时，点M、N都停止运动，

①当0WfW2时，点N从C向8运动，CN=2tcm,

•••点C为线段MN的中点，

:.MC=CN,即6-f=2f,

解得:t—2；

②当2<7W4时，点N从8向C运动，BN=(2/-4)cm,CN=4-(2/-4)=(8-2t)cm,

•••点C为线段MN的中点，

：.MC=CN,BP6-r=8-2t,

解得：f=2(舍去)；

③当4<7W6时，点N从C向B运动，CN=(2r-8)cm,

:点C为线段MN的中点，

：.MC=CN,即6-r=2f-8,

解得：仁竽；

综上所述，当f=2或m时，点C为线段MN的中点.

(3)如图2,①当0WfW2时，点N从C向B运动，CN=2tcm,

二•点P是线段CN的中点，

:.CP=^CN—tcm,

：.PM=MC+CP=6-t+t=^6cm,此时，PM的长度保持不变；

②当2<7V4时，点N从8向C运动，CN=(8-2r)cm,

•.•点P是线段CN的中点，

11

：.CP=^CN=1(8-2/)=(4-r)cm,

：.PM=MC+CP=6-t+(4-/)=(10-2Z)cm,此时，PM的长度变化；

③当时，点N从C向8运动，CN=(2z-8)cm,

:点尸是线段CN的中点，

11

：.CP=^CN=^(2r-8)=(r-4)cm,

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：.PM=MC+CP=6-t+（/-4）=2cm,此时，RW的长度保持不变：

综上所述，当0W/W2或4W/W6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6c,"或2cm.

•♦♦♦••

AMCPNB

图2

AMCNB

图1

【题型7简单的线段的长短比较】

【例7】（2021秋•攀枝花校级期中）从A地到8地有两条路，第一条从A地直接到B地，第二条从A地

经过C,。到B地，两条路相比，第一条的长度=第二条的长度（填）

【解题思路】由图可得，大圆的直径为小圆直径的3倍，根据周长C=Tid求出半圆的周长，然后对两个

路径进行比较即可.

【解答过程】解：设小圆的直径为“，则大圆的直径为3d,

则第一条线路的长度为：Tr・3d+2=1.5m/,

第二条线路的长度为：3伍/+2=1.5丘4,

故这两条线路长度一样.

故答案为：=.

【变式7-1］（2021秋•双流区期末）体育课上，小明在点。处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的

M,N,P,。四个点处，则表示他最好成绩的点是（）

A.MB.NC.PD.Q

【解题思路】比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可.

【解答过程】解：由点M、N、P、。所在扇形区域中的位置可知，

OP>ON>OQ>OM,

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故选：c.

【变式7-2］（2021秋•南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻

度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，

将其中的一个端点重合在一起加以比较.

I____________________________________I________________________II1111

ACBADCEB

图①国②

（I）已知线段AB,C是线段AB上一点（如图①）.请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段

AC与BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；

（2）如图②，小明用刻度尺量得AC=4cm,8c=3cw,若。是AC的中点，E是2C的中点，求。E的

长.

【解题思路】（1）先以点A为圆心，以8c的长为半径画圆，此圆与直线A8相交于点8',则线段A8'

的即为线段8c的长：

（2）先根据〃是AC的中点，E是8C的中点求出C。及CE的长，故可得出结论.

【解答过程】解：（1）如图所示：

AIj*CB.

（2）•.•AC=4cro,BC^3cm,。是AC的中点，E是8c的中点，

CD=C=x4=2cin,CE=±8C=X3=1.5CVM,

DE=CD+CE^2+1.5=3.5a”.

【变式7-3］（2021秋•宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a<b<c、abc<0

和a+Hc=0.那么线段AB与BC的大小关系是（）

A.AB>BCB.AB=BCC.AB<BCD.不确定的

【解题思路】先根据a<b<c、岫cVO和“+b+c=0判断出a、b、c•的符号及关系，再根据数轴上两点间

的距离比较出线段AB与BC的大小即可.

【解答过程】解：'：a<b<c,abc<0,a+b+c=O,

：.a<0,b>0,c>0,|a|=6+c,

.\AB=\a-b\=b-a>\a\,BC=\b-c\=c-h<\a\,

：.AB>BC.

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故选:A.

【题型8与线段的长短比较有关的应用】

【例8】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、

45A,且这三个区在一条大道上（4、B、C三点共线），已知AB=1500机，BC=1000m,为了方便职工

上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最

小，那么该停靠点的位置应设在（）

D

♦♦••

ABC

住宅区住宅区住宅区

A.A住宅区B.B住宅区

C.C住宅区D.B、C住宅区中间。处

【解题思路】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答

【解答过程】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20X1500+45X2500=142500m；

当停靠点在8区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15X1500+45X1000=67500〃?；

当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15X2500+20X1000=57500〃?；

当停靠点在。区时，设距离8区x米，

所有员工步行到停靠点路程和是：15X（1500+x）+20X+45（1000-x）=-10x+67500,

由于k=70,所以，x越大，路程之和越小，

/.当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小.

故选：C.

【变式8-1］（2021秋•海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有Ai,A2…A7,七个工厂，各工厂与

公路（图中粗线）之间有小公路连接.现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使

各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是（）

①车站的位置设在C点好于B点；

②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一