初中数学几何初步模块4-2线段和角讲义（含答案解析）

线段和角

题型练

概念：

直线：一条向两端无限延伸的笔直的线，

射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，

线段：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两个点叫线段的端点.

性质：

1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

2.两点确定一条直线.

3.两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.

题型一：直线射线线段的性质

例1.下列说法正确的是（）

4射线以和射线/P是同一条射线B.若AP=BP,则P是线段的中点

C直线〃相交于点尸。两点确定一条直线

【详解】

解：A,射线口和射线N尸不是同一条射线，故本选项错误；

B、如果P、/、8三点不在同一直线上，那么P不是线段的中点，故本选项错误;

C、直线〃的写法不对，故本选项错误；

。、两点确定一条直线，故本选项正确；

故选D

变式1

1.下列说法中，错误的是（）

A.射线48和射线A4是同一条射段B.经过两点只能作一条直线

C.经过一点可以作无数条直线P.两点之间，线段最短

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案.

【详解】解：A,射线N8和射线8/不是同一条射线，故此选项错误，符合题意；

8、经过两点只能作一条直线，正确，不合题意；

C、经过一点可以作无数条直线，正确，不合题意：

。、两点之间，线段最短，正确，不合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关

键.

题型二：直线交点个数问题

〃条直线相交，最多有1+2+3+…+（〃-1）=妁个交点，然后计算求解即可.

例2.平面上有4民。,。四点，经过任意两点画一条直线，最多能画（）条直线.

A.3B.4C.5D.6

【详解】

解：如图，平面上有4民。,。四点，经过任意两点画一条直线,

所有直线有：直线/8、直线4C、直线NQ、直线3C、直线8。、直线C。，共六条,

即最多能画6条直线,

故选：D.

变式2

2.如图，两条直线相交，有一个交点.三条直线相交，最多有三个交点，四条直线

相交，最多有六个交点，当有10条直线相交时，最多有多少个交点（）

A.60B.50C.45D.40

【答案】C

【解析】

【分析】根据交点个数的变化规律:n条直线相交,最多有1+2+3+…+(n-1尸

个交点，然后计算求解即可.

【详解】解：两条直线相交，最多一个交点，

三条直线相交，最多有三个交点，1+2=3="』，

四条直线相交，最多有六个交点，1+2+3=6="

；.n条直线相交,最多有1+2+3+…+(n-1)=殁』个交点,

故10条直线相交，最多有1+2+3+“・+9=10(10-1)=5x9=45个交点,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了图形的变化规律探究，在相交线的基础上，着重培养学生的观

察，猜想归纳的能力，掌握从特殊到一般的方法，找出变化规律是解答的关键.

题型三：线段的和差

当几条线段是首尾相连且位于同一直线上的线段时，线段的和差结果也是一条线段，此时可

以利用延长法和截补法进行计算.

例3.如图，线段/B=5.C,D,E分别为线段(端点48除外)上顺次三个不同的点，

图中所有的线段和等于26,则CE=.

11tII

ACDEB

【详解】

解：由已知得：AC+AD+AE+AB+CD+CE+CB+DE+DB+EB^lb,

即(4C+CB)+(AD+DB)+(AE+EB)+/8+(CD+DE)+CE=AB+AB->rAB+AB

+CE+CE=4/8+2CE=26,

*8=5,

；.4X5+2CE=26,

：.CE=3,

故答案为：3

变式3

3.已知：如图，点在线段上，点。是Z8中点，AC=%B,AB=12.求

线段。。长

ACDB

【答案】2

【解析】

【分析】根据中点的定义以及题意，分别求出线段力。与线段ZC的长度，即可得出

结论.

【详解】•.•。为线段的中点，

.'.AD=—AB-—*12=6,

22

1

,;AC=—AB,

3

1

X12=4,

3

：.CD=AD-AC=6-4=2.

【点睛】本题考查线段中点相关的计算，理解中点的定义，掌握线段中的计算法则

是解题关键.

题型四：线段的中点和〃等分点

点M将线段分成相等的两条线段与M8,点/叫做线段的中点.类似的还有线

段的三等分点、四等分点等.

①线段的中点

例4.1如图，已知/8=10cm,点E、C、。在线段上，且4C=6cm,点E是线段4C

的中点，点。是线段8c的中点.

(1)求8。的长；

(2)求。E的长.

AEC~DB

【详解】

解：(1)V^5=10cm,且4C=6cm.

EDB

:・BC=AB-4c=4cm.

•.,点。是线段BC的中点.

：.BD=CD=-BC=2cm.

2

(2)•••点E是线段/C的中点.

：.EC^-AC=3cm.

2

：.DE=EC+CD^5cm.

变式4.1

4.如图，C是线段上的一点，且Z8=13,C8=5,M、N分别是48、C8的中

点，则线段MN的长是

AM~CNB

【答案】4

【解析】

【分析】根据中点定义可得到CN=BN=；CB,再根据图形可得

NM=BM-BN,即可得到答案.

【详解】解：•.•〃是Z8的中点，

；・AM=BM=-46=6.5,

2

•.•乂是CB的中点，

:.CN=BN=LCB=2.5,

2

:.MN=BM-BN=65-25=4.

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了求两点间的距离，解题的关键是根据条件理清线段之间的

关系.

②线段的〃等分点

例4.2若线段48=12cm,点C是线段的中点，点。是线段4c的三等分点，则线段

8。的长为()

A.2cm或4cmB.8cmC.10cmD.8cm或10cm

【详解】

解：是线段的中点，＞45=12cm,

：.AC=BC=—AB=—X12=6(cm),

22

点。是线段/C的三等分点，

①当/Z)='/C时，如图，

3

ADD'CB

2

8£>=8C+CD=8C+-4C=6+4=10(cm)；

3

2

②当一/c时，如图，

3

BD=BC+CD'=8C+1/C=6+2=8(cm).

3

所以线段BD的长为10cm或8cm,

故选：D.

变式4.2

5.已知线段48=20,点P、。分别是//、N6的中点.

APMQB

(1)如图，当点〃在线段Z8上时，则夕。的长为.

(2)当点M在直线上时，则夕。的长为.

40

【答案】(1).8(2).8或

【解析】

【分析】(1)根据AB的长度以及8M之间的关系，可得出4W和8M的长度,

再由尸、。分别为〃M、N5的中点，即可得出/尸、的长，再利用PQ=/Q-/P

即可得出答案；

(2)由(1)可得当A/在线段上时尸。的值，当A/在线段N8外时，根据41/

和3M的关系可得出两者的长度，再由尸、。分别为ZM、48的中点，即可得出

AP、4。的长，再利用产。=ZQ+ZP即可得出答案.

【详解】解：（1）如图，当点〃在线段N8上时

APMQB

•••AB=2Q,AM=-BM,

4

14

AM=-AB=4,BM=-AB=l6,

55

•・•点P、。分别是/M、4?的中点，

==2,ZQ=；N8=10,

PQ=AQ-AP=10-2=8,

故答案为：8.

(2)由(1)得：当点M在线段上时，2。=8；

当点”在线段N8外时，如图：

MPAQB

vAB=20,AM=—BM,

4

13

AB=BM-AM=BM——BM=-BM=20,

44

“80…20

BM=—,AM=—

33

.・•点P、0分别是4/、的中点，

AP=-AM=

232

尸0=/0+/尸=与+10=*，

40

故答案为：8,—.

【点睛】本题考查线段长度的计算以及中点的应用，解题时注意“数形结合”数学

思想的应用，考虑多种情况分析.

题型五：角的四则运算

角也是一种基本的几何图形.度、分、秒是常用的角的度量单位.

把一个周角360°等分，每一份就是一度的角，记作1°；把1度的角60等分，每份叫做1

分的角，记作1':把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1".

例5.计算：(1)用度表示30°9'36"=.

(2)计算90°18'—40。29'-21。39'=.(结果用度、分、秒表示)

【详解】

解：⑴30°9'36"=30。9.6'=30.16°；

(2)90°18,-40°29,-21°39,

=49。49'-21。39'

=28°10,

变式5

6.计算：70°28'+15。29"=.18°36'2"-7°32'6〃=.

【答案】(1),85。28’29〃(2).11°3'56"

【解析】

【分析】根据角度运算法则求解即可，注意角度的运算中，进率为60.

【详解】70°28'+15°29〃=85°28'29〃；

18。36'2"-7。32'6”=18。35'62"-7°32'6〃=11。3'56"；

故答案为：85。28'29"；11。3'56".

【点睛】本题考查角度的运算，注意运算法则以及进率是解题关键.

题型六：角的比较

角的大小与边的长短没有关系.角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就

越大，相反，张开的越小，角则越小.

常用角的比较方法

1、测量法：即用量角器量两个角的度数，角的度数越大，角越大.

2、叠合法：移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的顶点和一边重合，而其余的边在

重合边的同侧，通过不重合两边的位置来判断两个角的大小.

例6.如图所示，如果NZOO>/BOC,那么下列说法正确的是（)

ANAOBVNCOD

B.ZAOB>ZCOD

CZAOB=ZCOD

D.ZAOB与NCOD的大小关系不能确定

【详解】

解：因为与N80C中都包含/8O。，所以都减去它，不等式仍成立,

ZAOD>ZBOC,

：.ZAOD-ZBOD>ZBOC-ABOD,

即N/O8>/COD

故选艮

变式6

7.如图，下列各式中错误的是（）

A.ZAOC=Z1+Z2B.ZAOC=ZAOD-Z3

C.Z1+Z2=Z3D.ZAOD-Z1-Z3=Z2

【答案】C

【解析】

【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解.

【详解】解：A.ZAOC=Z1+Z2,判断正确，不合题意；

B.ZA0C=ZA0D-Z3,判断正确，不合题意；

C.Z1+Z2=ZAOC,NAOC与N3不一定相等，判断错误，符合题意;

D.NAOD—N1—N3=N2判断正确，不合题意.

故选：c.

【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是

解题关键.

题型七：三角板中的角度

直角三角板一共只有两种：

一种是内角为30°,60°,90°的三角板，另一种是内角为45°,45°,90°的三角板.

在没有做特殊说明的情况下，默认所有三角板均符合以上特征.

例7.将一副直角三角板如图所示放置，使含30。角的三角板的一条直角边和含45。角的三角

板的一条直角边在同一条直线上，则N1的度数为（）

A.75°B.60°C,45°D.85°

【详解】

解：如图，由题意可得：N2=45。，N3=60°

根据三角形的内角和为180。可得：Zl+Z2+Z3=180°

二Z1=180。—N2—N3=180。—45。—60。=75°

故答案选：A

变式7

8.如图，将一副三角板的直角顶点重合，按如图所示摆放，则

NAOD+NBOC=

【答案】180°

【解析】

【分析】利用角的和差转化运算即可.

【详解】解：■:NAOD+NBOC

=NAOB+ZBOD+(ZCOD-ZBOD)

=ZAOB+NBOD+ZCOD-ZBOD

=ZAOB+ZCOD

=90°+90°=180°

故答案为：180°

【点睛】本题主要考查了三角板角度的计算，熟悉掌握三角板的度数是解题的关键.

题型八：角平分线与角的〃等分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.类似的,

还有角的三等分线……

①角平分线

例8.1如图，NAOB=gNBOD,OC平分下列四个等式中正确的是()

®ZBOC=-ZAOB；®ZDOC=2ZBOC；®ZCOB=-ZBOA®ZCOD=3ZCOB.

32;

A.①②B.②③C.③④D.①④

【详解】

解：因为//08=工N80。，

2

所以N/OO,

3

因为0C平分N/O。,

所以4OC=NDOC=-ZAOD,

2

所以NBOC=NZOC-NZOB=LZAOD--ZAOD=-ZAOD=-ZAOB,

2362

故①错误，③正确：

因为NZ)OC=LNNOD,ZBOC=-ZAOD,

26

所以40。。=348。。

故②错误，④正确.

变式8.1

Q.如图，射线。E,OA,0。均在N3OC内部，且0。＜/3。。＜180。.0E平分

NBOC,0。平分N4OC.

请从48两题中任选一题作答.我选择.

A.若乙4OC=30°,40C=130。，则NDOE的度数为°.

B.若NAOB=a°,则NDOE的度数为。.(用含口的式子表示)

(Y°

【答案】(分工或8(2).50。(3),—

【解析】

【分析】/：根据角平分线的定义得到NCOE，NCO。的度数，再利用角的和差计

算结果；

B-.根据角平分线的定义得到NCOE=；N30C,NCOD=gN4OC,再利用角的和

差计算结果.

【详解】解：/题：

•.,(9E平分/BOC,OZ)平分N/OC,

NBOE=NCOE=LZBOC,ZAOD=ZCOD=-ZAOC,

22

又,/ZAOC=30°,Z5OC=130°,

Z./DOE=/COE-NCOD

=-ZBOC--ZAOC

22

=-(N50C-40C)

2

=-x(130°-30°)

2

=50°；

B题：

「OE平分N80C,0。平分N4。C,

ZBOE=ZCOE=-ZBOC,ZAOD=ZCOD=-ZAOC,

22

又：NAOB=NBOC-NAOC,

ZDOE=ZCOE-ZCOD

=-ZBOC--ZAOC=-(NBOC-NAOC)

222

=-ZAOB

2

_a°

【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这

个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键.

②角的〃等分线

例8.2如图，OC平分乙108,OD为/8OC内一条射线，且

(1)若已知N/O8=120°,试求NCO。的度数；

(2)若已知NCO£>=18°,试求N/08的度数；

解：⑴；408=120°,OC平分408,

ZAOC=ZCOB=60°,

又,：NAOD=2NBOD,

VZAOD+ZBOD^UO'3,

J.2ZB0D+ZBOD=\2Q0,

；.NCOD=NBOC—NBOD=60°-40°=20°,

(2)：OC平分408,

AZAOC=ZCOB=-ZAOB,

2

,?NAOD=2NBOD,

：.ZAOD+NBOD=ZAOB,

AZ5OZ)=-ZAOB,

3

,/4coD=ZBOC-NBOD=-ZAOB--ZAOB=18°,

23

...//O8=6X18°=108°.

变式8.2

工。,如图，AB是一条直线，0C是NAOD的平分线，0E在NBOD内，ZDOE=-ZBOD,

3

ZC0E=72°,则NEOB=()

【答案】8

【解析】

【分析】设NDOE=x,根据题意得到NBOE=2x,ZAOC=ZCOD=72°-x,再根据

平角为180度，得到2x(72°-x)+3x=180°,解得x=36。,即可得到NBOE的度数.

【详解】解：如图，设NDOE=x,

VZDOE=-ZBOD,

3

/.ZBOE=2x,

又,；OC是NAOD的平分线，ZCOE=72°,

.,.ZAOC=ZCOD=72°-x；

A2x(72°-x)+3x=180°,

解得x=36°,

...ZBOE=2x=2x36°=72°.

故选B.

题型九：余角和补角的性质

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.

等角（同角）的补角（余角）相等.

例9.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，/1=27。40',

则N2的余角是（）

417°20'B.32°20,C.33°20'D.58°20,

【详解】

解：由题意可得：Z2+Z£/4C=90°

二Z2的余角是NE4C

NEAC=60°-Zl=60°-27°40'=32°20'

故选：B.

变式9

il.已知//O8=50。，/BOC与NAOB互为余角,则NZOC的度数等于_.

【答案】90。或10°

【解析】

【分析】根据互余的两个角的和为90°解得N8OC=40。，再分两种情况讨论解题

即可.

【详解】解：:NBOC与NZO3互为余角，

ZBOC+ZAOB=90°

•••408=50°,

NBOC=90°一NAOB=90°-50°=40°

分两种情况讨论，如图:

=NAOB+4BOC、=90°,

ZAOC2=NAOB—ZBOC2=50°-40°=10°,

故答案为：90。或10。.

【点睛】本题考查余角的性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌

握相关知识是解题关键.

实战练

工2.下列语句正确的有()

(1)线段N8就是A、8两点间的距离；

(2)画射线/8=10cm；

(3)A,8两点之间的所有连线中，线段最短；

(4)如果=那么8是ZC的中点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】根据两点间的距离，射线的定义与性质，线段的中点的定义，对各小题分

析判断即可得解.

【详解】解：因为线段AB的长度是A、B两点间的距离，所以(1)错误；

因为射线没有长度，所以(2)错误；

因为两点之间，线段最短.即A,B两点之间的所有连线中，最短的是A,B两点

间的距离，所以（3）正确；

因为点A、B、C不一定共线，所以（4）错误.

综上所述，正确的有1个.

故选：A.

【点睛】本题考查的是线段、射线的定义与性质，线段的中点，两点间的距离，要

求学生准确把握概念与性质是解决本题的关键.

15.如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条

直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，〃（”N2,

且〃是整数）条直线相交最多能有（）

A.（2〃-3）个交点B.（3〃一6）个交点

C.（4〃一10）个交点D.—个交点

【答案】P

【解析】

【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式:

【详解】解：2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2=3个交点；

4条直线相交有1+2+3=6个交点；

5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；

n条直线相交有1+2+3+4+...+(n-1)1)

故选：D

【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即

n条直线相交最多有;〃(〃-1)个交点.

14.在开会前，工作人员进行会场布置在主席台上由两人拉着一条绳子然后以“准

绳”为基准摆放茶杯这样做的理由是()

A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线

C.两点之间，直线最短D.过一点可以作无数条直线

【答案】S

【解析】

【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案.

【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由

是两点确定一条直线，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线.

1S.在锐角乙408内部由O点引出3种射线，第1种是将NNO8分成10等份；第

2种是将ZAOB分成12等份;第3种是将ZAOB分成15等份，所有这些射线连同OA

、。8可组成的角的个数是()

A.595B.406C.35D.666

【答案】8

【解析】

【分析】设锐角第1种中间由9条射线，每个小角为养，第2种中间

由11条射线，每个小角为小第3种中间由14条射线，每个小角为已，利用NZO8

内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为常，

第二种n倍小角患，与第三种p倍小角相相同，则卷喘堵，先看三种分法

中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种，第2种,共重合1条，第1种,

第3种，共重合4条，，第2种，第3种,共重合2条，在NZQ8中一共有射线数29

条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+...+28求和即可.

【详解】设锐角乙4。8=。

a

第1种是将44。8分成10等份；中间由9条射线，每个小角为历，

a

第2种是将NNO3分成12等份；中间由11条射线，每个小角为二，

第3种是将N/OB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为看，

设第1种，第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，

第一种第m倍小角为器，第二种n倍小角符，与第三种p倍小角詈相同

则—巨，

101215

先看三种分法中同时重合情况〃?：〃：p=10：12:15除OA,OB外没有重合的，

再看每两种分法重合情况

第1种，第2种，加：〃=5:6,第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，

第1种，第3种，）：p=2:3,m=2,4,6,8,与P=3,6,9,12重合，共重合4条,

第2种，第3种，〃：p=4:5,n=4,8与p=5,10重合，共重合2条，

在NZO8中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，

29条射线分成的所有角=1+2+3+...+28=；x28x（28+l）=406个角.

故选择：B.

【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重

合射线的条数是解题关键.

16.下列说法中，正确的有（）

①两条射线组成的图形叫角；②两点之间，直线最短；③同角（或等角）的余角相

等；④连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】13

【解析】

【分析】由角的概念判断①，由线段的性质判断②，由补角与余角的性质判断③，

由两点间的距离概念判断④，从而可得答案.

【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故①说法错误，不符合题意,

两点之间，线段最短，故②说法错误，不符合题意；

同角（或等角）的余角相等，故③说法正确，符合题意；

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故④说法正确，符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是角的概念，线段的性质，补角与余角的性质，两点间的距离,

掌握以上知识是解题的关键.

17.如图所示，点/、0、E在一条直线上,ZBOD=ZAOC=90°,那么下列各式

中错误的是（）

A.ZAOB=ZCODB.ZBOC=ZDOE

C.ZAOB=ZBOCD.ZCOE=ZBOD

【答案】C

【解析】

【分析】根据角的和与差进行比较，ZBOD-ZBOC=Z.AOC-ZBOC,即

ZAOB=ZCOD；利用NZOC=NCOE=N6OD=90。，选项D正确，再减去共同

角NCOD,可得NBOC=NDOE,由此得到正确选项.

【详解】ABOD=ZAOC=90°

ZBOD-ZBOC^ZAOC-ZBOC即=ZCOD,所以A正确：

NBOD=N/OC=90°

Z.AOC=ZCOE=NBOD=90°,所以D正确；

ZBOD-ZCOD=ZCOE-ZCOD即ZBOC=/DOE,所以B正确.

故选C.

【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟

悉了解角的和与差是解题的关键.

18.如图，ZAOB=90°,乙4。。为乙4。3外的一个锐角，且4OC=40。，射线OM

平分NBOC,ON平分乙4OC,则NMON的度数为（）.

A.45°B.65°C.50°D.25°

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，先求得NCOB的值；OM平分NBOC,ON平分NAOC,则可

求得/AOM、NAON的值；NMON=NAOM+NAON,计算得出结果.

【详解】VZAOB=90°,且NAOC=40。，

二ZCOB=ZAOB+ZAOC=90°+40°=130°,

YOM平分NBOC,

ZBOM=-ZBOC=65°,

2

ZAOM=ZAOB-ZBOM=25°,

：ON平分NAOC,

NAON」ZAOC=20°,

2

ZMON=ZAOM+ZAON=45°.

/.ZMON的度数是45。.

故选：A.

【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义.首先确立各角之间

的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键.

!<?.火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来

往需要不同的车票，共有不同的车票_____种.

ACDEFB

【答案】30.

【解析】

【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案.

【详解】车票从左到右有：

AC、AD.AE、AF、AB,

CD、CE、CF、CB,

DE、DF、DB,

EF、EB,

FB,15种

从右到左有：

BF、BE、BD、BC、BA,

FE、FD、FC、FA,

ED、EC、EA,

DA、DC,

CA,15种.

火车往返于Z、8两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需

要不同的车票，共有30种不同的车票.

故答案为：30.

【点睛】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计

数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票.

20将一幅三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，如图，若/B0C=34O28',

【答案】145°32'

【解析】

【分析】从图中可以看出，ZAOC=90°-ZBOC,求出ZAOC,再根据

ZAOD=ZAOC+ZCOD求出即可

【详解】由题意得乙4O8=NCCM=90°

NBOC=34。28'

AZAOC=90°-ZBOC=90°-34°28'=55。32'

Z.ZAOD=ZAOC+ZCOD=55°32'+90°=145。32'

故答案为145。32，

【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是正确利用各个角之间的关系.

2.1.如图，已知NDAE=/EAF,NBAD=NCAF,则下列结论：①力。平分/比4尸；

②工产平分ND4C；③AE平分NDAF；④工厂平分NEZC；⑤ZE平分N8/C.正

确的有___________.（只填序号）

【答案】③⑤

【解析】

【分析】根据NDAE=NEAF,NBAD=NCAF得到AE分别是NDAF和NBAC的

角平分线，即可求解.

【详解】VZDAE=ZEAF,

AAE是NDAF的角平分线，

ZBAD=ZCAF

/.NBAD+NDAE=NCAF+NEAF,即ZBAE=ZCAE,

AAE是NBAC的角平分线

故③⑤正确，

故填：③⑤.

【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是数轴角平分线的性质与判定.

22.①23°30'=°;②0.5°='="

【答案】(1).23.5(2).30(3).1800

【解析】

【分析】根据1°=60，，1=60"进行单位换算即可求解.

30

［详解］①23°30'=230+30'=23。+(―)°=23.5°；

60

(2)0.5°=0.5x60'=30',0.5°=30'=30x60"=1800",

故答案为：23.5；30；1800.

【点睛】本题主要考查了度分秒的单位换算，熟练掌握单位换算技巧及单位之间的

进率是解决此类问题的关键.

23.24.38。=度分秒.

【答案】(1).24(2).22(3).48

【解析】

【分析】根据大单位化小单位乘以进率，其中进率为60,即可得出结果.

【详解】24.38°

=24°+0.38°

=24。+22.8'

=24。+22'+08

=24。+22'+48”

=24。22'48〃.

【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，掌握其中进率为60是关键，大单位化小单

位应乘以进率是核心.

24.如图，已知点3在线段NC上，AB=9,BC=6,P、0分别为线段45、BC

上两点，BP^AB,CQ=；BC,则线段夕。的长为.

AP~BQ~C

【答案】7

【解析】

【分析】根据已知条件算出BP和CQ,从而算出BQ,再利用PA=BP+BQ得到结果.

【详解】解："：AB=9,BP=-AB,

3

：.BP=3,

,:BC=6,CQ=^BC,

：.CQ=2,

：.BQ=BC-CQ=6-2=4,

：.PQ=BP+BQ=3+4=1,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，

灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键.

25.如图，。是直线上一点，。。为一条射线，射线。A/平分/力。C,若N/OC

【答案】142°

【解析】

【分析】根据角平分线的定义求出NZOM的度数，然后根据平角等于180。列式计算

即可得解.

【详解】解：••,44。。=76。，射线。“平分N/OC,

ZAOM=-ZAOC^-'76°=38°,

22

ZBOM=1800-ZJOM=\80°-38°=142°,

故答案为：142。.

【点睛】本题考查角平分线，熟知角平分线的性质是解题的关键.

2.6.如图，点C是线段的中点，点Z)在线段上，且4s.

AD_CB

(1)若ZQ=4cm,求线段CO的长.

(2)若C£)=3cm,求线段的长.

【答案】(1)1.5cm；(2)18cm

【解析】

【分析】(1)先求出AB的长，再结合线段中点的定义求出AC的长，进而即可求

解;

(2)设Z5=xcm,则/D=；xcm,根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求

解.

【详解】(1)VAD^AB,AD=4cm,

3

.,./B=3义4=12cm,

••,点C是线段N8的中点，

,,.AC=—AB=—x12=6cm,

22

/.CD=AC-AD=6-4=2cm；

(2)设46=xcm,贝iJ4O=』xcm,

3

•.•点C是线段的中点，

:.AB=2(AD+CD),即x=2(L+3),解得：x=18,

3

/.AB=\Scm.

【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方

程解决问题，是解题的关键.

27.A,B两地相距a千米，C地在AB的延长线上，且8C=三千米，D是A、C

两地的中点.

ADBC

(1)求AD长(结果用含a的代数式表示).

(2)若3。=90千米，求a的值.

(3)甲、乙两车分别从A、D两地同时出发，都沿着直线AC匀速去C地，经4

小时甲追上乙.当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D

地50千米，已知a=600千米，求乙车行驶的平均速度

250

【答案】(1)千米；(2)〃=270千米；(3)乙车平均速度为50km/h或一km/h

33

【解析】

4

【分析】(1)由题意易得=千米，进而根据点D是A、C的中点可求解；

221

(2)由(1)千米，则有一一a=—。千米，然后由BD=90千米可求

333

解；

22II

(3)由题意易得ZO=-a=-x600=400km,SC=-a=-x600=200km,进而可得1

一3333

小时内甲比乙多行驶100km,设乙速度为xkm/h,则甲速度为(x+100)km/h,然

后可得甲距离A为4(x+100)-(x+100)=(3x+300)km,则可分①甲在D地左50km,

②甲在D地右50km,最后列方程进行求解即可.

【详解】解：⑴=a千米，8C=三千米，

4

・・.4C=§a千米，

.:D是A、C两地的中点，

1?

,4。=］力。=铲千米；

2

(2)由(1)千米，

BD=AB-4D,

21

BD二^一铲=］。千米，

・・・6。=90千米,

.\-a=90

3

a=270

(3)・・・Q=600,

AD^-a=-x600=400km,BC=-a=-x600=200km,

3333

由题甲、乙之间相距400km,4小时后甲追上乙，

1小时内甲比乙多行驶100km,

二设乙速度为xkm/h,则甲速度为(x+100)km/h,

由题知，甲返回行驶了lh,

甲距离A为4(x+100)—(x+100)=(3x+300)km,

甲车距D地50km,

甲可能在D地左50km或右50km,

①甲在D地左50km,此时甲距离A为50=400-50=350,

3x+300=350,

解得：X=§，

②甲在D地右50km,此时甲距离A为月。+50=400+50=450,

3x+300=450,

解得：x=50,

综上所述：乙车平均速度为50km/h或三■km/h.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次

方程的应用及线段的和差关系是解题的关键.

培优练

2.8.如图，从点。引出6条射线OA,OB,OC,OD,OE,。尸，且408=120。，

O尸平分N8OC,OE平分N4OD,ZEOF=135°.

(1)若NBOF=m°,则N/OE=。(用含m的代数式表示)；

(2)求的度数.

【答案】(1)(105-w)；(2)45°

【解析】

【分析】(1)利用周角的定义，根据乙4。稔360。-乙4。8-4女次/8。斤得出结果;

(2)设NBOF=a,NAOE=B，根据角平分线的定义得到NCOQNBOQa,

/DOE=NAOE=B，求出N8OP+N/OE=105。，根据/EOP得至Ua+A+NCOZ>150。,

结合。+尸=105。即可求出结果.

【详解】解：(1)VZAOB=\20°,ZEOF=\35°,NBOF=m°,

二NAOE=360。-/AOB-/EOF-/BOF

=360°-120。-135°-加°

=(105-/7?)0；

(2)设/BOF=a,NAOE=。,

:。产平分N80C,。£平分NZOO,

ZCOF=ZBOF=a,/