河南省商丘市重点高级中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析

河南省商丘市重点高级中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..函数的单调递减区间是（）A.（－∞,2）B.（0,3）C.（1,4）D.（2,+∞）参考答案：A【分析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.【详解】由，令可得，所以函数的单调递减区间为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.2.已知一组抛物线，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.若一个样本的总偏差平方和为，残差平方和为，则回归平方和为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A4.设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．12参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得p的值，进而利用抛物线的定义可求得|AB|=x1+x2+4，根据线段AB的中点E到y轴的距离求得x1+x2的值，代入|AB|=x1+x2+4，求得答案．【解答】解：由抛物线方程可知p=4|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+4由线段AB的中点E到y轴的距离为3得（x1+x2）=3∴|AB|=x1+x2+4=10故答案为：105.已知集合，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．C． D．参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】由已知得B?{x|x＜1}或B不是数集，由此能求出结果．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≥1}，B?{x|x＜1}或B不是数集，在A中，{x|4x＜2x+1}={x|x＜1}，故集合B可能是A；在B中，{y|y=}，故不可能是B；在C中，{y|y=sinx，﹣}={y|﹣}，故集合B可能是C；在D中，{（x，y）|y=log2（﹣x2+2x+1）}是点集，与集合A没有公共元素，故集合B可能D．故选：B．6.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7.用0，1，2，3，4五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数（

）A．30

B．40

C．50

D．60参考答案：D8.已知过点和的直线与直线垂直，则的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC是

（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形参考答案：A略10.在平面直角坐标系中，“点的坐标满足方程”是“点在曲线上”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积为---------------------------___________________.参考答案：12.某程序框图如图所示,若输入的的值分别是3,4,5,则输出的值为

参考答案：413.抛物线上的点到直线的距离的最小值是

参考答案：略14.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为_________．参考答案：函数的图象恒过定点A(-3,-1),

则,即.

.15.抛物线的焦点坐标为_________，参考答案：(0,-)16.曲线在点处的切线方程为__________．参考答案：【分析】先对函数求导，求出在点的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.【详解】因为，所以，所以.又因为，所以切线方程为，即.故答案为【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.17.若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，则a+b的值等于

．参考答案：﹣3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．【解答】解：∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,+∞)上有零点，证明：.参考答案：（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）.【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调区间；（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证【详解】（1）解：函数的定义域为，因为，所以．所以当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．所以在上是增函数，在上是减函数．（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解．令，则．设函数，所以在上单调递增．又，所以在上存在唯一的零点．故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以，因为在上有解，所以，即．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关键一步.19.（本小题满分12分） 设极坐标方程为的圆上的点到参数方程为的直线的距离为,求的最大值

参考答案：所以圆上点到直线距离最大值为

20.（本小题14分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．

（1）证明：平面；

（2）设，求二面角的大小．参考答案：方法1：（综合法）（1）设为中点，连结，则，且，………1分又，且，∴，且，即四边形为平行四边形，∴，………3分∵底面，底面，∴，………4分∵，为中点，∴，又，………5分∴平面，故平面．………6分（2）连结，过点作，垂足为，连结．……7分由可知为正方形，则，

∵平面，又平面，∴，又，∴平面，又平面，

……………9分∴，又，，∴平面，又平面，∴，

……………11分∴为二面角的平面角．

……………12分不妨设，则，，，，∴，所以二面角的大小为．

……………14分方法2：（坐标法）（1）设为中点，由知，以为正交基底建立如图的空间直角坐标系，设，，，则，，∴，，，∴，，∴，，又，故平面．（2）由不妨设，则，，，，，∴，，，∴，，即，，又，∴平面，故平面的法向量可取．又，，，∴，，即，，又，∴平面，故平面的法向量可取．∵，∴所以二面角的大小为．……………14分21.（本小题满分10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且满足（）=（1）求角B的大小;（2）若,求△ABC面积的最大值.参考答案：(a-c)cosB=bcosC，根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，cosB=sinBcosCsinAcosB=sin(C+B)，即2sinAcosB=sinA，因为sinA＞0，所以cosB=，即B=.（2）因为|

-|=，所以||=

，即b2=6，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得6=a2+c2-ac，有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac，即ac≤3(2+

)，S=acsinB=ac≤，即当a=c=

时，△ABC的面积的最大值为．略22.已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的（e为自然对数的底数），恒成立，求a的取值范围.参考答案：（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【分析】（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（Ⅰ）的定义域为..（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，∴恒成立，符合题意.②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.∴符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增