大学一年级线性代数PPT课件2

1§2.1矩阵一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数aij和常数项bj(i

=1,

2,

···,

n,j

=1,

2,

···,

m

).对线性方程组的研究可转化为对这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为22.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.3

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.4二、矩阵的定义

定义:

由mn个数aij(i

=1,2,···,m;j

=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称

mn矩阵.记作简记为:A

=

Amn=(aij)mn=(aij).

这mn个数aij称为矩阵A的(第i行第j列)元素.5

元素是实数的矩阵称为实矩阵,

元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如:是一个24实矩阵;是一个33复矩阵;是一个14(实)矩阵;是一个31(实)矩阵;是一个11(实)矩阵.6例如:是一个3阶方阵.几种特殊矩阵

(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,

的方阵,称为对角矩阵(2)形如(或对角阵),其中1,2,···,n不全为零.记作diag(1,2,···,n)(3)如果En=

diag(1,2,···,n)

=

diag(1,

1,

···,

1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.7

(4)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).

(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn

阶零矩阵记作Omn或O.(6)设A

=

(

aij)为n阶方阵,对任意i,j,如果aij=

aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=

–aji都成立,则称A为反对称矩阵;例如:A为对称矩阵,B为反对称矩阵.8例1:

设解:

由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.两个矩阵A

=

(

aij)与B

=

(

bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即

aij=bij(i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.例如:为同型矩阵.9(1)矩阵的概念:

m行n列的数表三、小结(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.10§2.2矩阵的运算一、矩阵的加法

定义:

设两个同型的mn

矩阵A

=

(

aij)与B

=

(

bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即例如:11

说明:

只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.矩阵加法的运算规律(1)交换律:A+B

=

B+A.(2)结合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(3)称为矩阵A的负矩阵.(4)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).12二、数与矩阵相乘

定义:

数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.即设A,B为同型的mn

矩阵,,为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.数乘矩阵的运算规律矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.13

定义:

设A

=

(

aij)是一个ms矩阵,B

=

(

bij)是一个sn

矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C

=

(

cij)是一个mn矩阵,其中三、矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.例1:例2:14例3:

求AB,其中

注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例如:不存在.15矩阵乘法的运算规律(1)结合律:(AB)C

=

A(BC);(2)分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)(AB)

=

(A)B

=

A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn=A;并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.注意:矩阵乘法不满足交换律,即:

AB

BA,(5)若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,即例如:

设则(AB)k

AkBk,因此,16故,ABBA.例4:

计算下列矩阵乘积:(1)(2)解(1):解(2):=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x317当矩阵为对称矩阵时,结果为=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解:例5:假设为f(k)k-2,f(k)=ak2+bk+c,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=318由此归纳出用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.假设,当k=n时结论成立,对k=n+1时,解方程组可得,19所以对于任意的k

都有:20四、矩阵的其它运算

定义:

把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.例如:１、转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质21解法1:因为例6:

已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT22由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是:–A=AT.证明:因为

例7:

设列矩阵X

=

(x1

x2···xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H

=

E

–

2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H为对称矩阵.HHT=

H2=(E

–

2XXT)2=(E–2XXT)(E–2XXT)=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

23

例8:

证明任一n

阶方阵A

都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明:设A可以分解为一对称阵B与

反对称阵C

之和，则2、方阵的行列式

定义:

由n

阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.例如:则A=B+C,且BT=B,CT=－C∵AT=(B+C)T=BT+CT=B－C,故A=B+C有解，所以原命题成立.24方阵行列式的运算性质(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

定义:行列式|

A

|的各个元素的代数余子式Aij

所构成的如下矩阵3、伴随矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.性质:AA*

=A*A=|

A

|E.证明:设A=(aij),AA*=(bij).？25则故同理可得AA*=(|

A

|ij)

=|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.=(|

A

|

ij)

=

|

A

|(ij)

=

|

A

|

E.A*A

=4、共轭矩阵

定义:

当A

=

(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A

的共轭矩阵.运算性质设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:26解：由BA=B+2E得B(A–E)=2E,等式两端同时取行列式得|B|·|A–E|=22,所以|B|=2.而,|A–E|=2，E为2阶单位矩阵，矩阵例9设矩阵A满足BA=B+2E,求|B|.27例10设A、B是两个n阶方阵，且满足A2=E,B2=E,试证明:(AB)2=E

AB=BA.证明：充分性.由于AB=BA,等式两端同时左乘AB可得，(AB)2=(AB)(AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=A(B2)A因为A2=B2=E，所以(AB)2=A·A=A2=E.必要性.由于(AB)2=E，所以E=(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B，等式两端左乘A，右乘B可得：AB=AA(BA)BB=A2(BA)B2,而A2=B2=E，所以AB=BA.证毕.28

例11

设A与B为n阶方阵,等式A2–B2

=

(A+B)(A–B)成立的充要条件是什么?答:因为(A

+

B)

(A

–

B)

=

A2+

BA

–

AB

–

B2,故等式A2–B2=

(A

+

B)(A

–

B)成立的充要条件是:BA－

AB=0,AB

=

BA.29矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵五、小结(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.注意30在数的运算中,当数a0时,有aa-1=a-1a=1.

在矩阵的运算中,

单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得为a的倒数,或称a的逆(元).其中AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.一、逆矩阵的概念和性质§2.3逆矩阵

定义:

对于n

阶方阵A,如果存在一个n

阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.31例如:

设由于AB=BA=E,所以,B为A的逆矩阵.说明:

若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有所以,A的逆矩阵是唯一的,即AB=BA=E,AC=CA=E,可得:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.B=C=A-1.解:

利用待定系数法.例1:

设求A的逆矩阵.是A的逆矩阵,设32即又因为则解得,所以即AB

=BA

=E,

如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.则33证明:

若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.定理1:

矩阵A可逆的充要条件是|

A

|

0,且其中A*为矩阵A的伴随矩阵.故,|

A

||

A-1|

=

|

E

|

=

1,所以,|A

|0.由伴随矩阵的性质:AA*=

A*A

=

|

A

|

E,知当|

A

|

0时,按逆矩阵的定义得,

当|

A

|

=

0

时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.34

由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.证明:

由AB

=

E得,|

A

|

|

B

|

=

|

E

|

=

1,推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1.故|

A

|

0.因而,A-1存在,于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故结论成立.逆矩阵的运算性质(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.当|

A

|

0

时,定义

A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).且此时对任意整数,,有

AA=A+,(A)=A.35(2)若矩阵A可逆,且

0,则

A

亦可逆,且证明:(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T=(A-1A)T=ET

=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.证明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.(5)若矩阵A可逆,则有|

A-1|=|

A

|-1.证明:因为AA-1=E,所以,|

A

|

|

A-1|

=

|E

|

=

1,因此,|A-1|=|

A

|-1.36的逆矩阵.例2:

求方阵解:

因为二、关于逆矩阵的计算所以A-1存在.同理可得所以,故37解:例3:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.所以,A可逆.由于同理可得所以,38由于故B不可逆.例4:

求的逆矩阵(

ad

–

bc

0

).解:

用伴随矩阵的方法求A逆阵.|

A

|

=

ad–bc

0.A11=

d,A21=

–b,A12=

–c,A22=

a.设则A可逆且则

求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:39例5:

设求矩阵X使其满足AXB=C.解:

由于所以,A-1,B-1都存在.且

先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得A的逆矩阵A-1.40又由AXB

=

C,得A-1AXBB-1=

A-1CB-1,则X

=

A-1CB-1.于是X

=

A-1CB-1例6:解矩阵方程解:给方程两端左乘矩阵得41

例7:设方阵A满足矩阵方程A2–A–2E

=

O,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.证明:

由A2–A–2E=O,得A(A–E)=2E,则故A可逆,且A-1=所以又由A2–A–2E=O,得(A+2E)(A–3E)+4E=O,则故(A+2E)可逆,且

(A+2E)-1=42例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,且求B.解:

由于|A|=1/560,由A-1BA=6A+BA,得A-1BA–BA=6A,所以A可逆,且A-1=则(A-1–E)BA=6A,由于(A-1–E)=所以(A-1–E)可逆,且(A-1–E)-1=由A和(A-1–E)可逆可得:B=6(A-1–E)-143对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:若则其中,12···n0.44例9:设且AP

=

P,求An.解:由于|

P

|

=2,则An=

PnP-1A

=

PP-1,A2

=

PP-1PP-1=PP-1=P2P-1,···,An

=

PnP-1,而45

设(x)=a0+a1x+···+amxm为一m次多项式,A为n阶方阵,记(A)=a0E+a1A+···+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式.

由于Ak,Al和E之间都是可交换的,所以方阵A的两个多项式(A)和(A)做矩阵乘法是可交换的,即总有(A)(A)=(A)(A)从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)

=

2E+A–A2,(E–A)3=

E–3A+3A2–A3.46Am

=PmP-1;(A)=P()P-1.特别当矩阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似时,则m=diag(1m,2m,···,nm

)又显然有则()=a0E+a1+···+amm,47四、小结逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵A-1存在当且仅当|A|0.逆矩阵的计算方法:(1)待定系数法;(3)初等变换法(下一章介绍).(2)伴随矩阵法:48§2.4克拉默(Cramer)法则设线性方程组

若常数项b1,b2,···,bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,···,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组;

克拉默(Cramer)法则如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即(1)49其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j

列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n

阶行列式,即那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为50

克拉默(Cramer)法则

对于n个变量、n个方程的线性方程组如果它的系数行列式D0,则它有唯一解证明：把上述方程组写成矩阵方程

Ax=b,这里A=(aij)n×n为n阶矩阵,因|A|=D0,故A-1存在.令x=A-1b,有Ax=AA-1b=b,表明x=A-1b是方程组的解向量.51由Ax=b,有A-1Ax=A-1b,即x=A-1b,根据逆阵的唯一性，知x=A-1b是方程组唯一的解向量.由逆阵公式有即亦即52

定理2:

如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3)

定理4:

如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式D必为零.

定理1:

如果线性方程组(1)的系数行列式D

0,则方程(1)一定有解，且解是唯一的.53例1:

用克拉默法则解方程组解:54所以55解:例2:

用克拉默法则解方程组56所以57例3:

问取何值时,齐次方程组有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:则=0,=2或=3时,齐次方程组有非零解.58用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.小结59§2.5矩阵分块法一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是:用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为矩阵A的子块,以