如何有效地组织学习材料数学教学案例分析

如何有效地组织学习材料杭州市文澜中学王亚权数学教学案例分析

数学教学案例按照事件发生前的记录者意识状态可以分为两类：

一类是事件发生前有意识地进行安排，以观察实践实际发生与原先意图的一致性情况，然后分析和反思，达到印证原先设想或某个教学理论的目的，平时教师对整节课的教后感或集体公开课后的评课就基本属于这类情况。但是必须注意的是，由于是教学事件，因此必须具有典型性；

另一类是事件发生前记录者无意识，当事件发生后，对记录者触动较大，然后再给予记录和反思，此类案例往往是一个教学过程中发生的一个偶发事件，属“个案”的比较多,是数学教师“教学经验”的特殊组成部分，往往是数学教师的“个人教学收藏品”，如果能够“拿出来与大家共同欣赏”，则能够为其他数学教师的教学提供间接的经验积累，或许遇到“高水平的鉴赏家”，则更能提高“收藏品”的价值。

《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。主题内涵案例1代数式在哪里（一）、案例描述方法1：代数式在书本上。方法2：代数式在头脑里。3n+1生1：x-5；生2：3a；生3：2x-1=7；……

某公园的门票价格是：成人10元，学生5元。一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？10x+5y

生4：笔记本的单价是x元，钢笔的单价是y元，买10本笔记本和5支钢笔的总价是（10x+5y）元。

生5：小聪先按x米/分的速度跑10分钟，再按y米/分的速度走5分钟，小聪共行的路程是（10x+5y）米。

生6：一个长为10，宽为x的长方形的面积与一个长为5，宽为y的长方形的面积的和是（10x+5y）代数式10x+5y还可以表示什么？案例一代数式在哪里（一）案例描述方法1：代数式在书本上。方法2：代数式在头脑里。方法3：代数式在生活中。

（1）小明今年是a岁，两年前是几岁？

（2）长方形的长为m，宽为n，它的面积是多少？

（3）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b,这个两位数该如何表示？

（1）七年级二班共有六个组，每个组有m位学生，该班共有多少位学生？

（2）某厂第一个月生产产品p件，第二个月增产了15%，第二个月生产产品多少件？

（3）学校做一张桌子需要米木材，做120张这样的桌子需要多少木材？

（4）一个班有x名学生，其中男生占45%，女生人数为多少？

（5）某公园门票价格是：成人10元，学生5元。周末x个老师带y个学生去公园，共需门票费多少元？

6m(1+15%)a120a3(1-45%)x10x+5y（二）、案例分析现代版的寓言——三个馒头。“再创造”的教学策略的运用：

1、努力激发学生“再创造”的动机。

国际上著名的数学教育权威弗赖登塔尔认为，数学教学的核心是学生的“再创造”。2、“再创造”应以学生的“数学现实”为基础。3、重视合情推理在“再创造”中的作用。4、引导学生在数学化过程中“再创造”。

5、实现从“再创造”到创造的飞跃。

数学教育心理学的研究表明，形成一个数学概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程。相应地，数学课程设置必须考虑，先给学生提供过程性的概念，使学生经历概念操作的过程，然后把这个过程逐步内化，最终形成结构性的概念。所以，数学课程应尽量避免直接给学生提供明确的、结构性的概念。（《数学课程与教学论》徐斌艳，第112页）

数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促进学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

——《数学课程标准》

新课程意义下的数学课堂教学要保证学生有足够的时间和机会建构性地接触、认识数学，从而理解数学、运用数学。

——钟启泉《数学课程与教学论》案例2：这个内容要不要学（一）案例描述

“18世纪时，风景秀丽的欧洲小城哥尼斯堡中有一条小河，河的中间有两个小岛，河两岸与两个小岛之间共建有七座桥（图1）。当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的“七桥问题”，当时许多人都试图找出问题的答案，但都没能找到，你愿意试试吗？

后来，著名数学家欧拉知道了七桥问题，欧拉用四个点A、B、C、D分别表示小岛和河岸，用七条线段表示七座桥（图2）。于是问题就成为“如何一笔画出图2中的图形？”欧拉经过研究发现，图2不能一笔画出。这就是说，找不到不重复地经过所有七座桥的路线。这是为什么呢？让我们先来看一笔画的问题。

图3中有四个图形，请试一试其中哪些可以一笔画出（笔尖不离开纸，每条线只画一次）？再找几个图试一试，你能发现什么规律吗？

可以想象，凡是“一笔画”，一定有一个“起点”，一个“终点”，还有一些“过路点”。有一条线进入过路点，必有一条线离开过路点。这样，与过路点相连的线必为偶数条。而与奇数条线相连的点，只能是起点和终点，这样的点的个数只能是0或2（想一想什么情况下是0）。数一数，在表示七桥问题的图2中，与奇数条线相连的点有几个？由此你明白七桥问题无解的道理了吗？在七桥问题中，如果允许你再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！”

（一）、情境引入实际问题→数学问题→一笔画（位置几何学）

（二）、问题探索1、什么是“一笔画”?2、探索规律：（1）解决“一笔画”问题的关键是确定“奇点”、“偶点”的个数。（2）试判断下列图形能否“一笔画”？并填好下表

图形

奇点个数

偶点个数能否一笔画12

……（3）在合作的基础上，教师适当加以引导得出如下结论：①能一笔画的图形必须是连通图；②奇点个数为O个或2个的图形能一笔画。

0个奇点的图，可以从任一偶点为起点，最后仍回到这一点；

2个奇点的图，应以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。③奇点个数超过2个的图形不能一笔画。④（可视情给出）任一个图形其奇点个数必为偶数，含2n(n>0)个奇点的连通图，需n笔画成。

（三）、应用

1、让学生运用上述规律解决“七桥问题”。

2、让学生运用所学知识解决生活中的实际问题：

3、学生编制图形.（四）、课外设计题（二）案例分析《数学课程标准》指出：在对数学内容的学习过程中，教材应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用（如建筑、计算机科学、遥感、CT技术天气预报等），这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。这些辅助材料一般以“阅读材料”“选学”“读一读”等形式出现。

对这类非“必学内容”的处理，我们认为有如下几种处理方式：1、在课内安排学习；2、在课外安排学习；3、开设活动课。思考题:

阅读材料:“亲眼所见,不总是真理”

在图1中，初看起来，，AB<AC；在图2中，似乎AB，BC，AC是向内弯曲的。事实上，图1中，，AB=AC；图2中，AB，BC，AC是三角形的三条边，这些例子说明，凭第一印象就作判断会导致谬误，这正如一句谚语所说“亲眼所见，不总是真理”。

建构主义认为，学习应该是积极的，因为当学生为了用有意义的方式学习教材而对输入的信息进行加工时，他们必须积极地做与学习有关的事情。

王希华《现代学习理论评析》

当儿童发现知识的个人价值和社会意义时，他们最想学习！在新课程教材内容中，知识变得鲜活起来了，让人看得见、摸得着，让学生有亲近感，喜欢上它了！

孙晓天史炳星〈〈初中数学新课程案例与评析〉〉案例3纸板够用吗（一）案例描述解之得（二）案例分析1、对教材的学习内容进行了重新组合，使学习的进程更符合学生的认识规律。2、能抓住学生在学习中的一些习惯性思维，有效地进行辨析、矫正。3、充分发挥学生的自主性，在知识、思维、能力等层面加以延伸和拓展。问题解决的一般步骤：第一、理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？画一张图。引入适当的符号。实际问题数学问题转化(波利亚的解决问题模式

)第二、拟订方案你知道一道与它有关的题目吗？观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。你能重新叙述这道题目吗？如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。你用到了所有的数据了吗？你用到全部的条件了吗？第三、执行方案执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能证明它是正确的吗？第四、回顾你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？“所得结论正确吗？如何验证这个结论？”“解答有遗漏吗？”“还有没有其它的解法？”“通过这个问题的解答，我学到了什么？”……

甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发后经2.5时相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发后经3时相遇；求甲、乙两人每时各走多少千米”？

思考题:列方程解应用题

问题1：A、B两地相距36千米，若甲、乙两人都从A地出发去B地，乙比甲先走2时，甲出发后经4时追上乙，甲每时走千米，乙每时走千米，画出示意图，列出方程。

问题2：你能否利用本题提供的数据背景将“行程问题”改编为其他问题？一个专心的认真备课的教师能够拿一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好象通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。

——乔治·波利亚

数学课程改革对教师能力提出了以下新的要求：收集和处理信息的能力、数学课程开发和整合的能力、现代信息技术与数学教学整合的能力、广泛利用数学课程资源的能力、指导学生开展研究性学习的能力。

——钟启泉：《数学课程与教学论》

案例4要不要回避（一）案例描述

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，AE⊥BF，求证：AE=BF。

变1：若将BF向右平移到HF（保持与AE垂直），此时HF与AE还相等吗？（如图2）

变2：若将AE也往下平移至GE（保持GE与HF垂直），此时GE与HF相等吗？（如图3）

变3：设GE与HF的交点为O，若此交点在正方形外，在上述前提下，原题的结论还成立吗？（如图4）

第1组：如果E、F、G、H分别是四边形ABCD的四条边上的点，且EG=FH，则四边形ABCD是正方形。

第2组：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在四条边上，且EG=FH，则EG⊥FH。

第3组：……（二）案例分析开放式教学的策略：1、树立开放的意识；

2、精心设计学习内容；

3、做一个有心人；4、把握好开放的“度”;

5、处理好预设和生成的关系.

新课程的课堂教学不再是一个封闭系统，也不再拘泥于预先设定的固定不变的程式，而是强调预设的教案在实施过程中必须潜在和开发地接纳始料未及的体验，要鼓励师生互动中的即兴创造，超越目标预定的要求。

—走进课堂《初中数学新课程案例与评析》

美国学者戴尔.斯科特.里德利和比尔.沃尔瑟在《自主课堂》一书中提到：“当教师面临意料之外的教学困难时，当务之急是引导学生成为自我指导和自主的学习者，这一点将比以往任何时候都重要”。对其校内身份和校外身份的接纳、认可与尊重，对其个人兴趣、感受、观点、家庭生活、文化的尊重；集体归属感和同学间的依恋感；课堂管理中的抉择、共享和参与的权利；个人职责、自主权和独立权；与教师之间解决的人际关系；有意义、富有挑战性的学习任务；对自己的理解能力、学习能力的自信；积极的投入和参与，而非无精打采；创造性地学习；个人目标的实现；学习过程的乐趣；大量获得知识的机会；自己的努力和成功得到公认；信任；灵活多样的学习方式；单独学习的机会，以及与其他同学合作的机会；免于难堪的安全感，以及免于被哄骗着学习的安全感；对教师的教学方法和问题解决策略的了解；个性化的课程，可以把所学知识和课外生活联系起来；明确的规则、程序和课堂结构，以使行为、学习进程透明化；详细、准确的反馈；在需要的时候愿意提供额外帮助的教师；最小的课堂竞争；教师对学生的期望值高，并且与学生能力相吻合；教师对待学生一视同仁。

调查结果表明，学生对课堂教学已不满足于以教师为中心的课堂教学格局，绝大多数学生希望课堂能以他们为主体，使课堂教学成为他们自主探究学习的过程。___摘自杨志文等“探究学习的调查、实践与思考”

《中学数学教学参考》2002年11期思考题1

求证：顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。几何画板带来的问题思考题2

有甲、乙两辆汽车从相距60km的A，B两地相向而行，右图中分别表示两辆汽车离开A地的距离S（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式，请你根据条件提出1-2个问题，并给出解答。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

——《数学课程标准》

教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么却更是千百倍地重要。思想应当在学生的脑子里产生出来，而教师仅仅只应起一个助产婆的作用……在给定的条件下，应让学生们尽可能多地靠他们自己去发现。

——乔治·波利亚《数学的发现》

案例5直角三角形的性质定理（一）案例描述方案一：按教材的叙述方式进行。方案二：由学生操作后得出定理。方案三：由学生合作探索后得出定理（二）案例分析

方案一：教师比较重视“教”的方法设计