统计学 第二章 列联分析

第二章列联分析第一节分类数据与列联表第二节

检验第三节列联表的相关测量第四节列联分析中应注意的问题2023/6/271统计学第二章列联分析背景统计分析中，我们常常会遇到一些定性的数据性别（男、女）态度（喜欢、不喜欢）性别对态度是否有影响1.可使用列联表分析技术2.可运用对数线性模型与Logistic模型分析技术2023/6/272统计学第二章列联分析主要内容2023/6/273统计学第二章列联分析第一节

分类数据与列联表

一、分类数据

二、列联表的构造

三、列联表的分布2023/6/274统计学第二章列联分析分类变量的结果表现为类别例如：性别(男,女)各类别用符号或数字代码来测度使用分类或顺序尺度你吸烟吗?1.是；2.否你赞成还是反对这一改革方案?1.赞成；2.反对对分类数据的描述和分析通常使用列联表可使用检验数值型数据也可以转化为分类数据一、分类数据2023/6/275统计学第二章列联分析由两个以上的变量交叉分类的频数分布表行变量的类别用r

表示，ri

表示第i

个类别列变量的类别用c

表示，cj

表示第j

个类别每种组合的观察频数用fij

表示表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表一个

r行c

列的列联表称为r

c

列联表二、列联表的构造-----列联表

(contingencytable)2023/6/276统计学第二章列联分析列联表的结构(22列联表)列(cj)合计j=1j=1i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合计f11+f21f12+f22n列(cj)行(ri)2023/6/277统计学第二章列联分析列联表的结构

(rc列联表的一般表示)列(cj)合计j=1j=2…i=1f11f12…r1i=2f21f22…r2:::::合计c1c2…n列(cj)行(ri)fij

表示第i

行第j

列的观察频数2023/6/278统计学第二章列联分析例题分析一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表2023/6/279统计学第二章列联分析边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人条件分布与条件频数变量X条件下变量Y

的分布，或在变量Y

条件下变量X

的分布每个具体的观察值称为条件频数二、列联表的分布----观察值的分布2023/6/2710统计学第二章列联分析观察值的分布(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32453331141合计10012090110420行边缘分布列边缘分布条件频数2023/6/2711统计学第二章列联分析条件频数反映了数据的分布，但不适合对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行合计数(fij

/ri)列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数(fij

/cj)总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数(fij

/n)百分比分布(概念要点)2023/6/2712统计学第二章列联分析百分比分布(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反对该方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合计23.8%28.6%21.4%26.2%100%总百分比列百分比行百分比2023/6/2713统计学第二章列联分析假定行变量和列变量是独立的一个实际频数fij

的期望频数eij

，是总频数的个数n乘以该实际频数fij

落入第i

行和第j列的概率，即期望频数的分布2023/6/2714统计学第二章列联分析期望频数的分布(例题分析)由于观察频数的总数为n

，所以f11

的期望频数e11应为例如，第1行和第1列的实际频数为f11

,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数n

，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数n

，即：c1/n。根据概率的乘法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为2023/6/2715统计学第二章列联分析期望频数的分布(例题分析)一分公司二分公司三分公司四分公司赞成该方案实际频数68755779期望频数66806073反对该方案实际频数32753331期望频数344030372023/6/2716统计学第二章列联分析第二节检验一、统计量二、拟合优度检验2023/6/2717统计学第二章列联分析用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性用于测定两个分类变量之间的相关程度计算公式为

其自由度为

式中--列联表中第i行第j列类别的实际频数

--列联表中第i行第j列类别的期望频数一、

统计量2023/6/2718统计学第二章列联分析

统计量(例题分析)实际频数(fij)期望频数(eij)fij-eij(fij-eij)2(fij-eij)2eij687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.9730合计：3.03192023/6/2719统计学第二章列联分析二、拟合优度检验(品质数据的假设检验)品质数据比例检验独立性检验Z检验一个总体

检验Z检验

检验两个以上总体两个总体2023/6/2720统计学第二章列联分析检验多个比例是否相等检验的步骤—提出假设H0：1=2=…=j；H1：

1,2,…,j

不全相等

—计算检验的统计量拟合优度检验(goodnessoffittest)—进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2

若2>2，拒绝H0；若2<2，接受H02023/6/2721统计学第二章列联分析H0:1=2=3=4

H1:1,2,3,4

不全相等=0.1df=(2-1)(4-1)=3临界值(s):拟合优度检验(例题分析)统计量:在=0.1的水平上不能拒绝H0可以认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的决策:结论:6.2513.0319=0.10统计学第二章列联分析

【例】为了提高市场占有率，A公司和B公司同时开展了广告宣传。在广告宣传战之前，A公司的市场占有率为45%，B公司的市场占有率为40%，其他公司的市场占有率为15%。为了了解广告战之后A、B和其他公司的市场占有率是否发生变化，随机抽取了200名消费者，其中102人表示准备购买A公司产品，82人表示准备购买B公司产品，另外16人表示准备购买其他公司产品。检验广告战前后各公司的市场占有率是否发生了变化(0.05)拟合优度检验(例题分析)2023/6/2723统计学第二章列联分析H0:1=0.452=0.43=0.15

H1:原假设中至少有一个不成立=0.05df=(2-1)(3-1)=2临界值(s):拟合优度检验(例题分析)统计量:

在=0.05的水平上拒绝H0可以认为广告后各公司产品市场占有率发生显著变化决策:结论:08.185.99=0.05

24统计学第二章列联分析第1步：将观察值输入一列，将期望值输入一列第2步：选择“函数”选项第3步：在函数分类中选“统计”，在函数名中选“CHITEST”，点击“确定”第4步：在对话框“Actual_range”输入观察数据区域在对话框“Expected_range”输入期望数据区

域得到P值为0.016711，所以拒绝原假设

拟合优度检验(例题分析—用P值检验)

25统计学第二章列联分析第三节

列联表中的相关测量一、

相关系数二、列联相关系数三、V

相关系数2023/6/2726统计学第二章列联分析品质相关对品质数据(分类和顺序数据)之间相关程度的测度列联表变量的相关属于品质相关列联表相关测量的统计量主要有相关系数列联相关系数V

相关系数列联表中的相关测量2023/6/2727统计学第二章列联分析测度22列联表中数据相关程度对于22列联表，

系数的值在0～1之间

相关系数计算公式为

式中n为列联表的总频数，即样本量一、

相关系数(correlationcoefficient)2023/6/2728统计学第二章列联分析一个简化的22列联表

相关系数(原理分析)因素Y因素X合计x1x2y1aba+by2cdc+d合计a+cb+dn2023/6/2729统计学第二章列联分析a、b、c、d均为条件频数当变量X，Y相互独立，不存在相关关系时，频数间应有下面的关系：化简后有：差值的大小可以反映变量之间相关程度的高低。差值越大，说明两个变量的相关程度越高。系数就是以差值为基础，实现对两个变量相关程度的测量。

相关系数(原理分析)2023/6/2730统计学第二章列联分析列联表中每个单元格的期望频数分别为

相关系数(原理分析)将各期望频数代入的计算公式得2023/6/2731统计学第二章列联分析将代入

相关系数的计算公式得

相关系数(原理分析)ad等于bc，=0，表明变量X与Y

之间独立若b=0

，c=0，或a=0

，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时||=1,表明变量X与Y

之间完全相关列联表中变量的位置可以互换，的符号没有实际意义，故取绝对值即可2023/6/2732统计学第二章列联分析用于测度大于22列联表中数据的相关程度计算公式为二、列联相关系数(coefficientofcontingency)C的取值范围是0C<1C=0表明列联表中的两个变量独立C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较2023/6/2733统计学第二章列联分析计算公式为三、V相关系数(Vcorrelationcoefficient)2.V的取值范围是0V13.V=0表明列联表中的两个变量独立4.V=1表明列联表中的两个变量完全相关5.不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较6.当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=2023/6/2734统计学第二章列联分析同一个列联表，、C、V的结果会不同不同的列联表，、C、V的结果也不同在对不同列联表变量之间的相关程度进行比较时，不同列联表中的行与行、列与列的个数要相同，并且采用同一种系数四、、C、V的比较2023/6/2735统计学第二章列联分析列联表中的相关测量(例题分析)【例】一种原料来自三个不同地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。分别计算系数、C系数和V系数，并分析相关程度地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计1621881505002023/6/2736统计学第二章列联分析列联表中的相关测量(例题分析)解：已知n=500，＝19.82，列联表为33结论：三个系数均不高，表明产地和原料等级之间的相关程度不高2023/6/2737统计学第二章列联分析第四节列联分析中应注意的问题一、条件百分表的方向二、分布的期望准则2023/6/2738统计学第二章列联分析对于具有因果关系的两个品质变量X与Y，在列联表中的位置有习惯的处理，即将自变量(X)置于列的位置，将因变量(Y)置于行的位置，这样可以更好地表现原因对结果的影响。一、条件百分表的方向价值取向Y职业X制造业服务业物质报酬（%）105724556人情关系（%）40283544合计（%）145100801002023/6/2739统计学第二章列联分析如果因变量在样本内的分布不能代表其在总体内的分布，例如，为了满足分析的需要，抽样时扩大了因变量某项内容的样本量，这时若仍以自变量的方向计算百分表就会歪曲事实。例如，社会学家欲研究家庭状况（自变量）对青少年犯罪（因变量）的影响。该地区有未犯罪记录的青少年10000名，犯罪记录的青少年150名。如果从未犯罪青少年中抽取1%，即100名进行研究，按相同比例从犯罪青少年中抽取的样本量仅为1.5人。显然，这样少的样本量无法满足研究的需要。故要扩大犯罪青少年的样本量，如扩大到50%。调查结果：条件百分表的方向（特殊情况）2023/6/2740统计学第二章列联分析青少年行为家庭状况合计完整家庭离异家庭犯罪383775未犯罪928100合计13045175条件百分表的方向（例题数据）观察数据青少年行为家庭状况完整家庭离异家庭犯罪（%）2982未犯罪（%）7118合计（人）13045条件百分表2023/6/2741统计学第二章列联分析从条件百分表可知，完整家庭犯罪青少年所占比重为29%，离异家庭犯罪青少年所占比重为82%，两者过高的比重令人怀疑。其原因是扩大了犯罪青少年的抽取数