第15讲圆与扇形完整版

第1讲圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质以及它们的周长和面积计算公式并能熟练运用公式处理相关的几何问题学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积学会分析几何图形的运动过程并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。兴趣篇．已知一个扇形的圆心角为120，半径为，这个扇形的面积和周长各是多少？(取3.14)答案：面积4，周长8解析：扇形的面积= ==4周长=2r+=8．已知一个圆的面积是28厘米，那么这个圆的半径和周长分别是多少（取3.14答案：半径厘米，周长184解析：由SΠr，得r2方厘米，因此r米。Πr=18.84．已知一个圆的周长是25，那么这个圆的半径和面积分别是多少？(取3.14)答案：半径厘米，面积50厘米解析：由C，得r米因此SΠr2=5平方厘米。(据图15给的数值求这个图形的外周长和面积（取3.14(215-2个半径为厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心，如果圆周率取3.14么花瓣图形的周长和面积分别是多少？答案（）周长14积15.（）周长31米，面积17.14解析（）如图所示：在组成外周长的个部分中，有个部分是半径为圆心角为90的圆弧，它们恰好可以拼成一个整圆周，于是这段弧长之和就等于圆周长Π×1；另外4部分是4段长为的直线段．因此圆角矩形的外周长就是Πr+X26.28+8=14.28.接下来求组成圆角矩形各个部分的面积．由于4个圆心角为9°的扇形拼成一个整圆，于是这个扇形面积之和是Π××≈3.1为宽为的长方形的面积之和是××1个边长为的正方形的面积是×2因此圆角矩形的总面积是3.18+8+4=15.14.(图所示：花瓣图形在正方形之外的部分是个半径为圆心角为20的扇形，每个扇形的弧长是相同半径的圆周长的，那么它们的弧长之和是3个圆周长，即×Π≈××3.14=18厘每个扇形的面积也是圆面积的鬈导则它们的面积之和也是圆面积的倍，即×Πr2×3.142=9.4平方厘米。花瓣图形的周长在正方形内的部分是个半圆它们的周长之和是圆周长的倍，即×2≈××3.14=12.56这个半圆的面积之和也是圆面积的倍，即×Πr2×3.142=因此花瓣图形的周长就是个扇形的弧长与个半圆的周长之和，即：18.84+12.是个扇形的面积与正方形面积之和，再减去挖掉的个半圆的面积，即9.42+46.28=16+平方厘米．17.14．如图15，求各图形中阴影部分的面积．图中长度单位为厘米，取3.14)答案（）4方厘米（）平方厘米（）平方厘米解析：(1)用割补的方法， 把右边弓形部分“切害”下来，补在左边相应的位置这样整个阴影部分的面积正好是正方形面积的一半正方形的面积是×3方厘米，那么阴影部分的面积就是÷2=厘米．(2)用平移的方法把图形 内的阴影部分平移到右边正方形内这样整个阴影部分正好是一个进长为厘米的正方形．正方形的面积是×1方厘米，那么阴影部分的面积也是平方厘米．(第问类似，沿中间切开，可以把边长为厘米的大正方形分成个边长为厘米的小正方形并把右上方小正方形内的阴影部分平移到左下方的小正方形中把右下小正方内的阴部分也移到左上的小正形中．这样一来，整个 阴影部分就是两个边长为厘米的小正方形了．每个小正方形的面积是×1方厘米，那么阴影部分的面积就是×1方厘米，6.图15各图中阴影部分的面积图中长度单位为厘米，取314)答案：(1)2.28米(2)4.56米,(3)1平方厘米65解析(影部分被两段圆弧所包围，把圆弧的两端连接起来，把阴影部分分成两个弓形其中每个弓形都是从半径为的直角扇形中挖掉一个直角边长为的等腰直角三角形半径为的直角扇形的面积是×Π××2=3平方厘米，直角边长为的等腰直角三角形面积是是3.14-2=1.14的面积为2.方厘米。

××2方厘米，那么弓形的面积就阴影部分为两个弓形所以阴影部分（）把图形沿斜线切开，分成对称的两部分，由此不难看出，整个阴影部分是由个面积相等的弓形组成每个弓形的面积都是扇形与等腰直角三角形面积之差，其中扇形半径为圆心角为90，等腰直角三角形直角边长为2.半径为圆心角为90的扇形的面积为 =3.14厘米。直角边长为2的等腰直角三角形面积为××2=2方厘米，因此一个弓形的面积就是3.14-2=1.14 阴影部分为两个弓形，所以阴影部分的面积为1.14=4.56 平方厘米。(图所示在每段圆弧内的阴影部分是由两个弓形旋转，填补到两个空白的弓就等于等腰直角三角形之外角形面积之差．

的两端连一条线，容易看出，三角形组成，我们可以将这两个弓形通过形区域中．此时，阴影部分的面积的大弓形的面积，即扇形面积与三扇形半径为厘米圆心角为9那么扇形的面积就是=3465方厘米，等腰直角三角形的边长是厘米，那么它的面积就是××7=2平方厘米.由分阴影分的积于直扇形积等腰角角形积之于是阴影部分的面积就是38.465-2平方厘米．3.965．图15甲区域比乙区域的面积大5平方厘米，且半圆的半径是10厘米，其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(取3.14)答案：10米解析区域阴组成一个圆乙域阴影成一个角形由甲区域比乙区域的面积大5平方厘米可知半圆面积比三角形面积大5平方厘米．半圆面积是 =5≈157方厘米；三角形面积是15– 57=100米；竖直直角是 =1米．．求图15阴影部分的面积．(取3.14)答案：1方厘米解析阴影部分为两个半径为1厘米的直角扇形减去两个斜边为1厘米的等腰直角三角形．这两个直角扇形可组成一个半径为1厘米的半圆面积是 =5≈157平方厘米；这两个三角形可组成一个直角边为1的等腰直角三角形，面积是 =50平方厘米．因此阴影部分的面积是1–50=厘米．．图15，在×的方格表中，分别以，为圆心，，为半径，画出圆心角 都是0的两段圆弧．图 中阴影部分的面积是多少？ (取3.14)答案：1.075解析在图中以为圆心的扇形加上左边和上边个小正方形再减去以为圆心的扇形，即得阴影部分．因此阴影部分的面积是+5-=5-1.25≈1.．75．10直线上放着一个长和宽分别厘米和厘米的长方形（图15-让这个长方形绕顶点顺时针旋转90做三次，点到达点的位置，求点经过的总路程的长度（取）答案：1厘米解析题意该长方形旋转了三次，则需要知道每次旋转走过的路程，第一次旋转：点由走到，实际上走了一个以圆心角为9°的圆弧．第二次旋转：点由A走到A，走了一个以为圆心．为半径，

为圆心，A为半径，实际上圆心角为9的圆弧容易得A1这 里∠A1CA2角．第三次旋转点 由A走到实际上走了一个以为圆心，D为半径，圆心角为90的圆弧。分别求解出三次第一次旋转：

旋转所走过的路程长：Sl=×Π×A≈6厘米．第二次旋转S2=××Π×A7米．第三次旋转S3×Π×DE4米．因此A点走过的路程的长为S=Sl+S2+S3.5+4.5=18拓展篇．(知一个扇形的半径为厘米，弧长为3.14个扇形的面积是多少？(知一个半圆形的面积是56厘米求这个半圆形的周长(取3.14)答案：(1)3.14米(2)30.84解析：(形面积等于弧长乘以半径再除以，=3.1厘米．为厘米，由 562r6半圆的周长为半圆弧加上直径，×3.14+6342.知一个扇形的面积为18厘米，圆心角为60径和周长各是多少？(取3.14)答案：半径厘米，周长188解析：设扇形的半径为厘米由 =18，8r半径是6厘米．是 +×2=18.28如图15各图积图中长度单位为厘米，

中阴影部分的面取3.14)答案（l)25厘米(2)2.28米解析（）如图，用割补法把三角形的弓形填补到三角形内的空白弓形中，这样阴影部分的面积就等于由虚线所分割出的小等腰直角三角形的面积了。大等腰直角三角形的直角边长是1厘米则它的面积是10102=方厘米，把它分成相等的两个等腰直角三角形，每个小三角形的面积就是502=平方厘米。因此，阴影部分的面积为2平方厘米。（）阴影部分中每一块都是两个半圆的重叠部分，这个半圆两两重叠的部分正好就是本题中的阴影部分于是可以根据容斥原理来计算重叠部分的面积正方形的边长是厘米，它的面积就是×2方厘米，每个半圆的直径是匣米，则半径是厘米，半圆的面积是×Ⅱ××≈×3.14=1.57，那么这个半圆的面积和就是1.57=6厘米．个半圆的重叠部分就是阴影部分，由容斥原理，阴影部分的面积就是6.28-平方厘米．8．如图15角三角形A面积是4，分别以，为圆心，为半径画圆已知图中阴影部分的面积是35.请问角是多少度（取31）答案：6°解析：直角三角形A面积是4，阴影部分的面积是35.，那么三角是45-35.5空白部分由两个半径为的扇形组是×Π××3=7以B为圆心的扇形面积就是9.42-7.065=2.355.由于半径为的圆的面积是Π××3≈28以以为圆心的扇形面积的 ，则形的心也是周角的，即×3=．在三角形A，∠B=°，∠C=°，那么l∠A=0°-°=。．15-11个直径是厘米的半圆，A是直径，如图15，让点不动，把整个半圆逆时针转60，此时点移动到点，请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(取3.14)答案：4.方厘米解析阴影部分与扇形C是从整个图形中挖掉个半圆得到那么阴影部分的面积就等于扇形的面积．扇形C半径是半圆的直径，即厘米圆心角是6°，是同半径的圆面积的，那么扇形C面积就是×Π××3=1≈4.方厘米，是4.方厘米，．图15一块面积为3平方厘米的圆形铝板中，裁出了个同样？答案：平方厘米的的为3×=平方厘米，掉是36×7=8方厘米。．图15-14个圆的圆心是正方形的个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是厘米那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？答案：平方厘米解析如左上阴部分挖两个形补相应的空白的上部这一左上阴部分积等于方形的面中正形对角就圆的径由于方的积等于对角线长度平方的一半，因此左上的阴影部分面积就是}××2方厘米，那么整个阴影部分的面积就是左上部分的4倍，即×4方厘米．．图15-15一个等腰直角三角形A一个以A为直径的半圆和一个以B为半径的扇形．已知AB=B那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？(取3.14)答案：28方厘米得 |S阴影=扇形OBE+SADB∆ABC×Π×l×10+Π××5×l×10≈28.5所以阴影部分的面积应该是28方厘米．．图15一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是．图中阴影部分的面积是多少？(取3.14)答案：4.方厘米解析图把下右下阴部分到上两阴影分的边这样合成两大阴面积好是形积减正方的积。注意：正方形的边长并不知道，但是我们知道它的对角线长度为4.因此阴影=扇形-方形=×Π×4一××4Π4-84.56方厘米．．1图15知外面大圆的半径是，求正方形以及里面小圆的面积（答案用表示）15-方形的边长为，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积（答案用表示）答案：(方形面积32小圆面积Π (-2解析（）如图，通过添加辅助线把大圆直径，正方形对角线，小圆直径联，方。由于大圆的半径是，那么大圆的直径就是×2正方形对角线长也是，又为×÷2=32.由圆面积公式：Π×rΠ ，而小圆的直径就是正方形的边长，于是d2此小圆的面积就是Π×32=8正方形个顶点为圆心的扇形面积求和时，空白部分每个区域都被计算了一次而阴影部分每个区域都被计算了两次根据容斥原理阴影部分面积等于个扇形的面积之和减去正方形面积，由题意，正方形的边长是，则面积是×24于是正方形对角线长的平方就是面积的两倍，即×2从图中看出，康形的圆心角是90，那么个扇形的面积之和正好是一个圆的面积．而扇形的半径是正方形对角线长度的一半那么半径的平方就等于正方形对角线长度平方的，即×=2于是个扇形组成的圆的面积就是Πr×2.阴影部分面积等于个扇形面积之和与正方形面积之差，即Π-4115一个矩形和两个半径分别为和的直角扇形请问两个阴影部分的面积之差是多少？（取）答案：1.485解析较小的阴影部分与空白部分之和是长方形与小直角扇形较大的阴影部分与空白部分之和是大直角扇形把两个阴影部分同时加上空臼部分它们的面积差不变此时问题转化为计算小直角扇形和长方形面积之和与大直角扇形的面积相差多少．大直角扇形的半径为，它的面积是小直角扇形的半径为．它的面积是

≈19.625.≈3.14.长方形的长就是大直角扇形的半径，为，宽就是两个直角扇形的半径差，即5-么长方形的面积是×3=15.由分析可知，两个阴影部分的面积相差：19.625-(3.14+15)=1.485.．(据图15-中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．(取3.14)(图15七根直径为厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米(取3.14)答案：(长18积23.14 厘米)45.7解析(圆角矩形的周长分成段，其中段是直角扇形的圆弧，另外4段直线段；而把圆角矩形的面积，分成部分，个直角扇形和个小长方形。个径的长度是，那么圆的半径就是．半径为的圆的周长是Π×1而面积是Π××1=.由于个直角扇形恰好组成一个圆所以个直角扇形的弧长之和就是圆周长Π，面积也是圆面积Π．组成圆角矩形周长的条直线段中有两条的长度是，另两条长度是．那么这条直线段的长就是2×(4+2，圆角矩形的周长是12Π≈1828圆角矩形由个直角扇形和个小长方形组成在这个小长方形中长为宽为的有两个，长为宽为的有两个，长为宽为的有一个，它化的面积之和是××2×2×1=4+8．4个直角扇形的面积之和是Π，因此整个圆角矩形的面积就是2≈23.14.(右图所示，把圆角六边形的周长分为1个部分，由6条直线段和段圆弧组成．条直线段中，每段的长度都是厘米，它们的长度和是×6=米．段圆弧中，每段所对应的圆心角都是6°，每段的弧长都是圆周长的，段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周，它们的弧长之和就是圆周长，即Π×≈15.7厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即30+15.5.73.5只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶处周都空绳刚够小走建筑外墙的一位小狗的活动范围是多少平方米？建筑外墙不可逾越小狗身长忽略不计，取3.）4答案：2方米解析：根据题意，绳子的长度应该恰好是半周长1米．那么小狗就恰好能走到建筑物外墙的任一位置。因为绳子被拴在一个固定点，所以小狗的活动范围应该是以绳长为半径的圆形区域，但是由于墙面的限制，所以运动范围并不是完整的圆形，应该如下图所示：小狗的活动范围是，，，，五个部分都是扇形其中和e-和一样．五边形的内角和是1×(5-2540所以每个内角为5÷5=8其中a的半径是1米，圆心角为3-1=2°．扇形，的半径是1-4，圆心角为1-．扇形，的半径是6-圆心角也为7°．：Sa+Sb+Sc+Sd+Se=×Π×102×Π×6×2+×Π×2×2=6≈20小狗活动的范围是2方米．．(15方形的边长是厘米，圆形的半径是厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(取3.14)边三角形的边长是厘米，圆形的半径是厘米，当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(取3.14)答案：(1)44.56(2)30.56解析(形绕正方形无滑动地滚动一周得到的图形可以分成个部分：个直角扇形与个长方形。与正方形相邻的是个长方形．长是，宽是，它们的面积之和是××4=厘米．个直角扇形恰好可以拼成一个圆，半径等于圆形的直径，即厘米，那么圆的面积就是Π××2平方厘米，这个直角扇形面积之和也是Π平方厘米．因此圆形扫过的面积就是32+432+12.54.56米．(形绕等边三角形无滑动地滚动一周得到的图形可以分成个部分3个圆心角为1的扇形和个长方形。长方形的长等于等边三角形的边长，即厘米，长方形的宽等于圆形的直径，即厘米．则长方形的面积是×2方厘米．个心角为1的扇形恰好拼成一个圆半径是2厘米，圆的面积就是Π××2平方厘米。因此圆形扫过的部分面积为个扇形与个长方形面积之和，即×6≈18×3.14=平方厘米。超越篇．图15长为的正方形中依次挖去了四个半圆．阴影部分的面积是多少？（答案用表示）答案：16-4解析大正方形被分成个等腰直角三角形每个三角形中空白部分都是一个半圆，其余都是阴影部分。来。如上图所示等腰直角三角形直角边长为，它的面积是×÷2它内部的半圆的半径是直即÷2那么半圆的面积就是Π××÷2因此半圆面积与三角形面积之比为Π：4.对于大小不同但形状相同的等腰直角三角形它内部的半圆面积与三角形面积之比也是Π。题目中的图形就是由个这样的三角形组合而成，那么在题目的图形中，个半圆的面积之和也是个三角形面积之和的。个三形正好拼成一个边长为的正方形那么它们的面积之和就是正方形的面积，即×4=1圆的面积之和就是16=4。因此阴影部分的面积是16-4．如图15角三角形的三条边长分别为，，10它的内部放了一个半圆．图中阴影部分的面积是多少？（答案用表示）答案：24-4.5解析在大三角形A两条直角边长为和那么它的面积就是×8÷2=24三角形A成AOA部分，在三角形A，以A为底，对应的高是半圆的半径，那么它的面积是×高÷；在三角形A，以A为是1×高÷。由于∆ABAOC24个三角形的底边和是（6+0是2×÷（6+）=，那么半圆的面积就是×Π××3=阴影部分正是从三角形A挖掉半圆的余下部分，因此阴影部分的面积就是24-4.5．315-27一个半径为1厘米、中心角为1的扇形，，E是弧B的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？(取3.14)答案：78方厘米解析：连结A，A，AB=AD=∠BACDAE°，这两个角互补，将三角形AE点顺时针旋转9°得到三角形A则B,A,F一条直线上，∆AB∆ACF=SA两个空白部分的面积之和等于扇形D面积。阴影部分的面积为扇形B去空白部分的面积，即扇形B去D面积：S阴影=扇形ABC-SADE=×Π×1×10-×Π×1×10=5≈78.5阴影部分的面积是78方厘米．如图15，有个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是1，那么阴影部分的面积是多少？答案：20形这个图形可以割补成一个顶角6。的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆．阴影部分的面积等于两个圆的面积，为20.图15影部分为一个空心零件的设计图该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的直径为1厘米．该零件的面积为多少平方厘米？(取3.14)答案：42厘米解析：如图，，作出直线G其中是大半圆的圆心，是中半圆的圆心，是小半圆的圆心．是，，．先找和的关系，如图，连结CI这样△C两条直角边长度为，斜边长度为以，那么2b2=a2再找和的关系，如图，连结G，这样△G两条直角边长度