北师大初一数学《整式的加减》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.判断下列各组是同类项的有（）.

（DO.2x'y和0.2xy2；（2）4abc和4ac；（3）-130和15；⑷和4n2m

A.1组B.2组C.3组D.4组

2.下列运算正确的是（）.

A.2X2+3X2=5X'1

B.2X-3X2=-X2

C.6a4da』10a'

D.8ab2-8ba2=0

3.（•柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（）

A.2x2y2B.3yC.xyD.4x

4.在下列各组单项式中，不是同类项的是（）.

A.-gx2y和一yVB.-3和100C.-x2yz-xy2zD.-abc^li^abc

5.如果xy#0,^xy2+axy2=0,那么a的值为（）.

A.0B.3C.-3D.--

3

6.买一个足球需要加元，买一个篮球需要〃元，则买4个足球、7个篮球共需要（）

元.

A.4m+7nB.2SmnC.7m+4nD.1\mn

7.（春•迁安市校级月考）多项式x2-3kxy-3y2+xy-8化简后不含xy项，则k为（）

A.0B.-1-C.LD.3

33

二、填空题

8.写出-51y2的一个同类项.

9.已知多项式分+质合并后的结果为零，则。与匕的关系为：.

10.若3x"'y"与—；砂3是同类项，则利=,〃=.

11.合并同类项3x2—8x—10—f+7x+3,得.

2

12.在6孙一3/一4/y—5yx2+%中没有同类项的项是.

13.100r-252r+100r=（V=_t；3ab2+（）=-b2a.

14（•遵义）如果单项式-xy，与工x"2y3是同类项，那么（a-b）=.

2

三、解答题

15.（秋•嘉禾县校级期末）若单项式和2a是同类项，求3m+n的值.

3

16.（春•东城区校级期中）化简:a2-2ab+b2-2a2+2ab-4b2.

17.已知关于x,y的代数式_3g_3y2-：孙-8中不含xy项，求k的值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B

【解析】（l）0.2x，和0.2xy2,所含字母虽然相同，但相同字母的指数不同，因此不是

同类项.（2）4abc和4ac所含字母不同.（3）T30和15都是常数，是同类项.（4）-5m3n?和

4n'n?所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项.

2.【答案】B

【解析】2--3/=（2-3）/=一丁.

3.【答案】C

4.【答案】C

【解析】-fyz和-孙2z中相同的字母的次数不相同.

5.【答案】D

【解析】。与1互为相反数，故a=—1.

33

6.【答案】A

7.【答案】C

【解析】解：原式=x'+（1-3k）xy-3yz-8,

因为不含xy项，

故1-3k=0,

解得：k=l.

3

故选c.

二、填空题：

8.【答案】ry2（答案不唯一）

【解析】只要字母部分为“Vy2”，系数可以是除0以外的任意有理数.

9.【答案】a+b=O

【解析】均为x的系数，要使合并后为0,则同类项的系数和应为0.

10.【答案】1,3

11.【答案】2X2-X-7

【解析】原式=（3-1）/+（—8+7）%-10+3=2/一工一7.

12.【答案】6xy

【解析】此多项式共有五项，分别是：6xy-3x2-4x2y,-5yx2,x2,显然没有同类项

的项为6xy.

13.【答案】100-252+100,-52;-4加

14.【答案】1.

【解析】由同类项的定义可知，

a-2=1,解得a=3,

b+l=3,解得b=2,

所以(a-b)=1.

三、解答题

15.【解析】解：由工,/和2a2"官是同类项，得［2m-『3,

3ln+l=3

解得"2.

ln=2

当m=2,n=2时，3m+n=3X2+2=6+2=8.

16.【解析】

解：a?-2ab+b2-2a、2ab-4b2

=(a2-2a2)+(-2ab+2ab)+(b2-4b2)

=-a-3b：

17.【解析】

解：

x2-3kxy-3y2-^xy-8=x2+(-3Axy-^xy)-3y2-8=x2+(-3A:-^)xy-3y2-8

因为不含孙项，所以此项的系数应为0,即有：一3左—,=(),解得：k=--.

39

整式的加减(一)一一合并同类项(基础)

责编：杜少波

【学习目标】

1.掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；

2.掌握同类项的有关应用；

3.体会整体思想即换元的思想的应用.

【要点梳理】

【高清课堂：整式加减(一)合并同类项同类项】

要点一、同类项

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.几个常数项也是同

类项.

要点诠释：

(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备

这两个条件的项是同类项，缺一不可.

(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项.

要点二、合并同类项

1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

2.法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：

(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有.

(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.

【典型例题】

类型一、同类项的概念

C1.指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由.

(1)与一y3%2；(2)2fyz与2孙z:(3)5x与何；(4)一5与8

【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：

解：(1)(4)是同类项；(2)不是同类项，因为2fyz与2x”2所含字母X,z的指数不相

等；

(3)不是同类项，因为5x与孙所含字母不相同.

【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②

相同字母的指数相同.“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序

无关.

举一反三：

【变式】下列每组数中，是同类项的是().

2

①Zx'y'与x"y"'②-x"yz与-x'y③10mn与一加〃④Ga),与(-3)”

3

⑤-3x?y与0.5yx2@-125与-

2

A.①②③B.①③④⑥C.③⑤⑥D.只有⑥

【答案】C

C2.(•乐亭县二模)若-2a"b'与3aI"*?是同类项，则m+n=

【思路点拨】直接利用同类项的概念得出n,m的值，即可求出答案.

【答案】4.

【解析】

解：•••-2a"b”与3a是同类项，

|n+2=4

解得："2

1n=2

则m+n=4.

故答案为：4.

【总结升华】考查了同类项定义.同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母

的指数相同.

举一反三：

【高清课堂：整式加减(一)合并同类项例1】

【变式】已知-3产2y3和2H+2是同类项，试求(相_2)(〃+2)的值.

【答案】

解：由题意知,m—2=1,且〃+2=3

.1.+=3

类型二、合并同类项

C3.合并下列各式中的同类项：

(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy

(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5

【答案与解析】

解：(1)-2x2-81y2+4y2-5x''-5x+5x-6xy

=(-2-5)x"+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy=-7x2-4y2-6xy

⑵3*~_4*户3+5*“+2*户5

=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)=8xy-2xy2+2

【总结升华】(D所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算

法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项

式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注)，没有同类项的项每一步保留该项：第二

步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的

指数保持不变；第三步：写出合并后的结果.

举一反三：

【变式】(•玉林)下列运算中，正确的是()

A.3a+2b=5abB.2a3+3a2=5a5C.3a2b-3ba=0D.5a2-4a2=l

【答案】C

解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；

2a'+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；

3a2b-3ba2=0,C正确；

5a2-4a=a,D错误，

故选：C.

4,已知2a3+n1b5-pa4bn+i=-7a4b5,求m+n-p的值.

【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式.而条件给出的结果中仍是单项式，这就

意味着2。3+"历5与是同类项.因此，可以利用同类项的定义解题.

【答案与解析】

解:依题意，得3+m=4,n+l=5,2-p=-7

解这三个方程得：m=l,n=4,p=9,

m+n-p=1+4-9=-4.

【总结升华】耍善于利用题目中的隐含条件.

举一反三：

9

［变式】若士〃加"与一0.547/的和是单项式，则”=,〃=

3

【答案】4,2.

类型三、化简求值

当p=2,q=l时，分别求出下列各式的值.

⑴(p-q)2+2(p-q)-；(q-p)2-3(p-q)；

(2)8p~—+5(j—6p~—9

【答案与解析】(1)把(p-q)当作一个整体，先化简再求值：

解：

(P一夕)2+2(〃-q)——")2—3(〃一夕)

二(1一：)(〃一夕)2+(2—3)(〃一,)

22

=_g(p_q)Tp-q)

又p_g=2_l=l

2?2

所以，原式=_§(p_q)2-(/?-<7)=--xl2-1=-l—

(2)先合并同类项，再代入求值.

解：8P2-3q+5q-6p2-9

=(8-6)/?2+(-3+5)^-9

=2/?2+2^-9

当p=2,q=l时，原式=2p?+2q—9=2x2?+2x1—9=1.

【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的

值.

举一反三：

【变式】先化简，再求值：

(1)3x2-8%+x3-12x2-3x3+1,其中x=2；

(2)4x2+2xy+9^2-2x2-3xy+y2,其中x=2,y=1.

【答案】

解：(1)原式=—2V—9f—8x+l,

当x=2时，原式=—2x23—9x2。—8x2+1=—67.

(2)原式=2x2-xy+\Oy2,

当x=2,y=l时，原式=2x2?—2xl+10xF=16.

类型四、“无关”与“不含”型问题

C6.李华老师给学生出了一道题：当x=0.16,y=-o.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15

的值.题目出完后，小明说：“老师给的条件x=0.16,y=-0.2是多余的”.王光说：“不给

这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?为什么？

【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明

说得有道理，否则，王光说得有道理.

【答案与解析】

解：—y—y—+15

=(6-4-2)x、(-2+2)x%+15

=15

通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理.

【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类

项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并.

【巩固练习】

一、选择题

1.（•广西）下列各组中，不是同类项的是（）

A.52与2，B.-ab与baC.0.2a2b与-Aa2bD.a'b'与-a3b2

5

2.代数式一3工2〉_10工3+7/_2的值（）.

A.与x,y都无关B.只与x有关C.只与y有关D.与x、y都有关

3.三角形的一边长等于m+n,另一边比第一边长ni-3,第三边长等于2n-m,这个三角形的

周长等于（）.

A.m+3n-3B.2n）+4n-3C.n-n-3D.2,n+4n+3

4.若〃为自然数，多项式廿+y"+4"'+"的次数应为（）.

A.mB.nC.加，〃中较大数D.m+n

5.（•高港区一模）下列运算中，正确的是（）

A.3a+2b=5abB.2a3+3a=5a5C.5a2-4a2=lD.5a2b-5ba2=0

6.如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当

折成正方体后，“？”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“？”所代表的

单项式可能是（）.

?

a\2b\3c\4d

5e

A.6B.dC.cD.e

7.若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是（）.

A.十四次多项式B.七次多项式

C.不高于七次的多项式或单项式D.六次多项式

二、填空题

1.（1）2xy+=7xy；（2）-crb--2a2b；（3）

nr+m++=3m2-2m

2.找出多项式7必一2a2b2+7+4//一2-7"中的同类

项_____________、____________、__________。

3.（春•永春县校级月考）若笳2m―产与-3a小"的和为单项式，则m+n=

4.当卜=时，代数式/一33—39孙—8中不含xy项.

5.按下面程序计算：输入x=3,则输出的答案是—.

输入X-------►乂方--->-X--->4-2--->答案

6.把正整数依次排成以下数阵：

1,2,4,7,....

3,5,8,....

6,9,....

10,....

如果规定横为行,纵为列，如8是排在2行3歹九则第10行第5列排的数是一

三、解答题

1.(秋•嘉禾县校级期末)若单项式当为""和2a2”肝是同类项，求3m+n的值.

3

2.先化简，再求值.

121

(1)—j^—2x2y+—xi+3x2y+5xy2+7—5xy2,其中x=-2,y=—；

99111

(2)5ab—cih—cibH—crh--ab—cih—5.其中a=l,b=-2.

2424

3.试说明多项式AV_gx2y+y2_2x3y3+05x2y+y2+x3y3_2y_3的值与字母x的

取值无关.

4.要使关于的多项式加/+382+2/-孙之+,不含三次项，求2m+3〃的值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D

2.【答案】B

【解析】合并同类项后的结果为-3d-2,故它的值只与x有关.

3.【答案】B

【解析】另一边长为加+〃+加一3=2机+〃—3，周长为

m+n+2m+n—?>+2n—m—2m+4n—3.

4.【答案】C

【解析】4"'+"是常数项，次数为0,不是该多项式的最高次项.

5.【答案】D

【解析】解：A、3a+2b无法计算，故此选项错误；

B、2a%3a2无法计算，故此选项错误；

C、5a2-4a2=a2,故此选项错误；

D、5a2b-5ba?=0,正确.

故选：D.

6.【答案】D

【解析】题中“？”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“？”所代表的单项式可能是

e,故选D.

7.【答案】C

二、填空题

1.【答案】(-3/6)；2m1,-3m

2.【答案】7ab与-7ab、-2/〃与4//、-2与+7

3.【答案】4.

【解析】解：•.♦ymT产与-3ab-的和为单项式，

/.2m-5=1,n+l=3-n,

解得：m=3,n=l.

故m+n=4.

故答案为：4.

4.【答案】—

9

【解析】合并同类项得：x2+f-3A:-1^-3/-8.由题意得一3A—g=0.故

5.【答案】12

【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可.

由表列代数式：（x'-x）4-2

；x=3,二原式=（27-3）+2=24+2=12.

6.【答案】101

【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55,第10行的第5个数是:

55+10+11+12+13=101.

三、解答题

1.【解析】解：由L'b"”和2a2”下是同类项，得［2m-k3,

3ln+l=3

解得"2.

ln=2

当m=2,n=2时，3m+n=3X2+2=6+2=8.

々o1

2•【解析】（1）原式=/+/》+7,当x=-2,y=5时，原式=1；

（2）原式=一5。%-5,当。=1,8=一2时，原式=5.

3.【答案】5

【解析】根据题意得：m-1=2,n=2,则m=3,n=2.故m+n=3+2=5.

4.【解析】原式=（机+2）d+（3〃-1）孙,

要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0,所以有:

帆+2=0,3〃—1=0,即有：m—-2,n=—

3

所以2m+3〃=2x（—2）+3xg=—3.

整式的加减(一)一一合并同类项(提高)

责编：杜少波

【学习目标】

1.掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；

2.掌握同类项的有关应用；

3.体会整体思想即换元的思想的应用.

【要点梳理】

【高清课堂：整式加减(一)合并同类项同类项】

要点一、同类项

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.几个常数项也是

同类项.

要点诠释：

(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，

同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可.

(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项.

要点二、合并同类项

1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

2.法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：

(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；

(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减).

【典型例题】

类型一、同类项的概念

C1.判别下列各题中的两个项是不是同类项：

(l)-4ab与55寸；(2)—与—；町之］?；(3)-8和0；(4)-6ab'c与8ca：'.

【答案与解析】(1)-4/反与5b3az是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和。都是常数，是同

类项；(4)-6a：'c与8ca?是同类项.

【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②

相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序

无关.此外注意常数项都是同类项.

C2.(•邯山区一模)如果单项式5mx,y与-5nx2"3y是关于x、y的单项式，且它们是

同类项.求

(1)(7a-22)2g的值;

(2)若5mxi'y-5nx"3y=o,且xyWO,求(5m-5n)的值.

【思路点拨】(1)根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解

方程，可得答案；

(2)根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据。的任何整数次基

都得零，可得答案.

【答案与解析】解：（1）由单项式5mx"y与-5nx.3y是关于x、y的单项式，且它们是同类

项，得a=2a-3,解得a=3；

（7a-22）2013=（7X3-22）2013=（-1）2013=-1；

（2）由5mx，y-5nx-'"7y=0,且xyWO,得

5m-5n=0,

解得m=n；

（5m-5n）=0=0.

【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幕是负数，零的任何

正数次塞都得零.

举一反三：

【变式】（•石城县模拟）如果单项式-婷/与x2y"是同类项，那么a、b的值分别为（）

A.a=2,b=3B.a=l,b=2C.a=l,b=3D.a=2,b=2

【答案】C

解：根据题意得：a+l=2,b=3,

则a=l.

类型二、合并同类项

【高清课堂：整式加减（一）合并同类项例2】

合并同类项：

（l）3x-2f+4+3f-2%一5；（2）64z2-5b2+2ab+5b2-6a2；

⑶一5）y?+4xy2-2xy+6x2y+2xy+5;

（4）3（x-l）2-2（%-1）3-5（1-X）2+4（1-X）3（注：将“x—l”或“1—x”看作

整体）

【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）.

【答案与解析】

（1）原式=（3-2）工+（-2+3）/+（4-5）=x+x2-1=幺+x-l

（2）原式=（6/-6a2）+（―5炉+5必）+2ab=2ab

（3）原式=（-5%2丁+6%，）+（一2肛+2中）+4孙2+5=x2y+4xy2+5

（4）^^=[3（X-1）2-5（X-1）2]+[-2（X-1）3-4（X-1）3]=-2（X-1）2-6（X-1）3

【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.

举一反三：

【变式1】

[31?

化简：（1）—xy---JC*—y2xyH—（2）（a-2b）（2b—a）—2（2b—a）2+4（a-2b）

5-43-3

【答案】原式

1123332/1、，23、32

=--\y---\y+--r-[X-y=(--+-4%一，

212

=-----xy----x3-y.

15-12

(2)(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)

=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)

=(1-2)(a-2b)2+(4-l)(a-2b)

2

=-(a-2b)+3(a-2b).

C^4.(•大丰市一模)若-2a"b"与5a廿”的和是单项式，则m+n=.

【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明-2a%'与Sa%""是同类项.

【答案】-1

【解析】解：由-2a%'与5a十""是同类项，得

(ITF2

in+7=4‘

解得了2.

(n=-3

m+n=-1,

故答案为：-1.

【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件.

举一反三：

【变式】若5/物与-0.2冷川可以合并，则*=,y=.

【答案1±3,±3

类型三、化简求值

05.化简求值：

OQ111

(1)当a=l,Z?=—2时，求多项式5。8一二。302一‘48+上"〃一]。｝—。%一5的值.

2424

(2)若眼+到+@+2)2=0,

求多项式2(2。+3加2-3(2a+3b)+8(2a+3b)2一7(2。+3b)的值.

【答案与解析】(1)先合并同类项，再代入求值：

原式=(---1—+(5----------)cib—a3b—5

2244

=-4a%2-a'b-5

将。=1,8=_2代入，得：-4a3b2--5=-4xI3x(-2)2-13x(-2)-5=-19

(2)把(2a+3b)当作一个整体，先化简再求值：

原式=(2+8)(2。+3b)2+(-3-7)(2«+3份=10(2a+3b)2-10(2a+3b)

由|4。+%|+(3匕+2)2=0可得：4a+3/?=0,3/?+2=0

两式相加可得：4。+6。=—2,所以有2a+3。=—1

代入可得：原式=10x(-1)2—1()X(—1)=20

【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的

值.

举一反三：

【高清课堂：整式的运算(一)一合并同类项例4】

【变式】已知3x"3y4与一2""2是同类项，求代数式3/一6//7-2〃+2。%的值.

【答案】

解:3x"3y4与一2肛斤2是同类项，

/.<7+3=1,—2=4.a=—2,/?=6.

.3及-6a3b-2b2+2/b={3b2-2b2)+[-6a3b