北师大版小学五年级上册数学讲义第3讲倍数与因数（思维导图+知识梳理+例题+易错专练）（含答案）

第3讲倍数与因数

(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练)

一、思维导图

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倍数与因数

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二、知识点梳理

知识点一：倍数与因数

1、倍数与因数的意义

如果aXb=c(A.B.c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的

倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因

数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。

2、求一个数的倍数的方法：

用这个数分别乘1,2,3,4,…所得的积都是这个数的倍数。

3、判断两个数成倍数关系的方法：

(1)列乘法算式，用积判断。

(2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。

知识点二：2、5的倍数的特征

1、2的倍数的特征

位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。

2、5的倍数的特征

个位上是。或5的数，都是5的倍数。

3、偶数和奇数

像2,4,6,8,…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。

像1,3,5,7,…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。

4、同时是2,5的倍数的特征

个位上是0的数。

知识点三：3的倍数的特征

1、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2、同时是2,3的倍数的特征：

个位上的数必须是0,2,4,6,8且各个数位上数字之和是3的倍数。

3、同时是3和5的倍数的特征：

个位上必须是0或5,且各个数位上数字之和是3的倍数。

4、同时是2、3、5的倍数的特征：

各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0o

知识点四：找因数

1、找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找；

2、最小因数都是1；

3、最大因数是自己。

知识点五：找质数

1、质数

一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。最小的质数是2。

2、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。最小的合数是4。

3、判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质

数，有3个或3个以上因数的数是合数。

4、100以内的质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,

59,61,67,71,73,79,83,89,97,共25个。

三、例题精讲

考点一：倍数与因数

【典型一】24是倍数，6是因数•工.（判断对错）

【分析】约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也

叫因数）.约数与倍数是相互依存的，据此解答.

【解答】24+6=4,只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的

说法是错误的；

故答案为：X.

【典型二】在2,6,15,21,40,56,72,84这些数中，6、15、21、72、84是3的倍数,

40、56、72、84是4的倍数.

【分析】首先根据找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6-,判断出在2,6,15,

21,40,56,72,84这些数中，3、4的倍数各有哪些.

【解答】解：在2,6,15,21,40,56,72,84这些数中,6、15、21、72、84是3的倍数，40、56、

72、84是4的倍数.

故答案为:6、15、21、72、84,40、56、72、84.

考点二：2、3、5的倍数的特征与奇偶数

【典型一】填一填.（后三题在口中填上合适的数字）

（1）在2,4,6,…，96,98,100这列数中，每个数都是2的倍数，第29个数是58.

（2）□□是5的倍数，并且是5的倍数中最大的两位奇数.

（3）48□既是2的倍数，又是5的倍数.

（4）口□口既是2的倍数，又是5的倍数中最大的三位数.

【分析】（1）根据给出的数列的个位上的数字都是2,4,6,8,0,所以此数列都是2的倍数；而且

每个数都是它项数的2倍，第29个数是29X2=58,由此解答：

（2）是5的倍数的数：个位上是。或5.又是奇数所以个位上是5,同时是最大的两位奇数，所以十

位数字是9,据此可得答案；

（3）2的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8,5的倍数特征：个位上是0或5的数；所以既

是2的倍数，又是5的倍数，那么这个数的个位上的数字一定是0,由此求解；

（4）根据（3）可以确定，确定其个位上是0,要使其最大，那么百位上和十位上都是9,由此求解.

【解答】解：（1）在2,4,6,96,98,100这列数中，每个数都是2的倍数，

第29个数是：29X2=58.

（2）95是5的倍数，并且是5的倍数中最大的两位奇数.

（3）480既是2的倍数，又是5的倍数.

（4）990既是2的倍数，又是5的倍数中最大的三位数.

故答案为：2,58；95；0；990.

【典型二】从0、2、4、5、8这5张卡片中任选3张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和

6的倍数，能组成多少个？请把它们写出来。

【分析】

在（）、2、4、5、8这5张卡片中任选3张，组成一个三位数，使它是2的倍数，又是3的倍数即可

（因为一个数是2的倍数，也是3的倍数，那一定是6的倍数）。一个三位数即是2的倍数，又是3

的倍数，那么这个三位数要符合个位数是0、2、4、6、8,而且三个位数上的数字加起来的和是3的

倍数。

【详解】

据题意：这个三位数即是2的倍数，也是3的倍数，那一定也是6的倍数。这个三位数要符合2的倍

数特征，又要符合3的倍数特征。那就是：204,240,420,402,408,480,450,540,504,840,

804

【典型7在横线上填上不同的质数.

21=3+5+13

50-3X7+29

【分析】根据质数的定义:一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）;所以21=3+7+11；

50=3X7+29.

【解答】解：根据质数的定义，则21=3+5+13；50=3X7+29.

故答案为：2,7,11,3,7,29.

【典型二】36可以写成哪两个素数的和？在括号里填一填.

36=31+5=29+7=23+11=19+17.

【分析】首先得明确质数的意义，质数又称素数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数

外，再也没有其它的因数.解决此题要用到36以内的质数，先写出36以内的质数，进一步用这些质

数组成36即可解决问题.

【解答】解：36以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31,

36=31+5=29+7=23+11=19+17.

故答案为：31,5,29,7,23,11,19,17.

四、易错专练

一、选择题（满分16分）

1.在20、45、50、90、54、120这六个数中，同时是2、3和5的倍数的数有（）个。

A.5B.4C.3D.2

2.所有的三位数中，能被3整除的数共有（）。

A.333个B.300个C.299个D,无数个

3.在19口2的口里填上一个适当的数字，使这个四位数能被3整除，有（）种填法。

A.1B.2C.4D.无数

4.下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（）。

A.13、14、15B.7、8、9C.14、15、16

5.若两个质数的积是35,则这两个质数的和是（)

A.9B.12C.16D.36

6.用20个相同的小正方形可以拼成（）种长方形,20的因数有（）个。

A.3；6B.4；5C.4；6D.5；6

7.在以下这些数中：1,8,25,17,2,97,45,70,23,11,20,0.12。偶数有（）个。

A.5B.4C.3

8.著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是“任意一个大于2的偶数

都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是(）。

A.8=1+7B.36=17+19C.60=3+57D.96=5+91

二、填空题（满分16分）

9.小鸭子最初在右岸，来回地游，11次后，小鸭子到了（）岸。

10.一个数既是24的因数，又是8的倍数，这个数是（）或（）。

11.一个四位数，个位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，百位上是最小的自然数。

千位上是最小的质数，这个四位数是（)o

12.三位数4口2是3的倍数,口中最小填（),最大填（）。

13.两个连续奇数的和是76,这两个奇数分别是（）和（

14.在1,4,5,7,10,15,19,21中，质数有（），合数有（）,既是2的倍数又

是5的倍数有（)o

15.10—20的自然数中，奇数一共有（)个,偶数一共有（）个，既是奇数又是合数的

数是（

16.用6,0,9这三个数字组成的三位数中，能同时有因数2,3,5的数是（）和

判断题（满分8分）

17.所有的合数都是偶数，所有的奇数都是质数。（

18.一个末位是。的三位数，一定能同时被2和5整除。（)

19.最小的自然数是0,最小的偶数也是0。（)

20.13的因数只有13。（)

四、连线题（满分6分）

21.（6分）连一连。

□H0同叵I回

8的因数8的倍数

SEEHE

五、作图题（满分68分）

22.（6分）请把编号是3的倍数的气球圈起来。

六、解答题（满分48分）

23.（6分）一个小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，他付了100元，售货员阿姨找回了18元。已

知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？

24.（6分）选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。

25.（6分）三个连续自然数的和是48,这三个自然数分别是多少？

26.（6分）食品店运来84个面包，选哪种包装盒能正好把这些面包装完？为什么？

每盒2个每盒3个每盒6个每盒7个每盒8个

ABCDE

27.（6分）王明在超市买了3本同样的笔记本，笔记本价格是整元数，付50元，找回36元，他认为

收银员算错了，你能帮他说出理由吗？

28.（6分）一个长方形的面积是48cm2,它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有哪几种？（把所有

答案用你喜欢的方法记录下来）。

29.（6分）筐里有40个苹果，将它们全部取出来，分成几堆，堆数大于1小于10,要使每堆苹果的

个数相等，有几种分法？

30.（6分）从0、2、4、5、8这5张卡片中任选3张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和

6的倍数，能组成多少个？请把它们写出来。

参考答案

1.D

【解析】

【分析】

同时是2、3、5倍数的数，个位上应该是0,并且各个位上的数字和是3的倍数，据此解答。

【详解】

20,是2、5的倍数，不是3的倍数；

45是3、5的倍数，不是2的倍数；

50是2、5的倍数，不是3的倍数；

90是2、3、5的倍数；

54是2、3的倍数，不是5的倍数；

120是2、3、5的倍数。

同时是2、3、5的倍数的数有90和120,一共有2个。

故答案为：D

【点睛】

根据2、3、5的倍数特征进行解答。

2.B

【解析】

【分析】

最大的三位数是999；最小的三位数是100,求出一共有多少个三位数，即999-100+1个三位数；

求所有三位数中有多少个能被3整数，即(999-100+1)有多少个能被3整除，用(999-100+1)

4-3,即可解答。

【详解】

最大三位数是999；最小三位数是100；

一共有：(999-100+1)三位数。

(999-100+1)4-3

=(899+1)4-3

=900+3

=300(个)

故答案为：B

【点睛】

解答的关键就是求900里有多少个3；用除法计算即可。

3.C

【解析】

【分析】

根据能被3整除数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被整除，由此分析解答即

可。

【详解】

19口2能被3整除，所以1+9+口+2=12+口能被3整除；口可以为0、3、6、9；因此“口”中的

数字有4种填法。

故答案为：C

【点睛】

解答此题的关键是抓住被3整除数的特征：各个数位上的数字和能被3整除，再进一步分析数字解决

问题。

4.C

【解析】

【分析】

合数除了1和它本身还有别的因数，质数的因数只有-1和它本身，据此即可得出答案。

【详解】

A.13是质数，14、15是合数；

B.7是质数，8、9是合数；

C.14、15、16都是合数；

故答案为：C

【点睛】

此题考查了质数和合数的意义。

5.B

【解析】

【分析】

根据分解质因数的方法，把35分解质因数即可看出是哪两个质数，再求和即可。

【详解】

因为35=5X7,所以这两个质数分别为：5和7

这两个质数的和是：5+7=12

故答案为：B

【点睛】

此题考查的目的是掌握分解质因数的方法。

6.A

【解析】

【分析】

用20个小正方形拼成长方形，长方形的长边上的小正方形个数与宽边上的小正方形的个数的积是

20；即20=20X1；20=10X2；20=5X4,求出拼成的长方形有几种；再根据求因数的方法，求出

20的因数，即可解答。

【详解】

20=1X20,用20个小正方形拼成1排20个；

20=2X10；2排，每排10个；

20=4X5,4排，每排5个。

一共可以拼成3种长方形；

20的因数有：1,2,4,5,10,20,一共有6个。

故答案选：A

【点睛】

解答的关键在于懂得用相同的小正方形拼长方形的方法以及一个数因数的找法。

7.B

【解析】

【分析】

在自然数中，能被2整除的数是偶数。据此选择。

【详解】

在1,8,25,17,2,97,45,70,23,11,20,0.12。这些数中，8,2,70,20是偶数，偶数有4

个。

故答案选：B

【点睛】

此题主要考查偶数的概念，熟记掌握是关键。

8.B

【解析】

【分析】

根据质数的意义：除了1和它本身之外，没有其他因数的数，则这个数称为质数，1既不是质数也不

是合数；由此即可选择。

【详解】

A.8=1+7,其中1不是质数，不符合题意；

B.36=17+19,17和19都是质数，符合题意；

C.60=3+57,57不是质数，不符合题意；

D.96=5+91,91不是质数，不符合题意。

故答案为：B。

【点睛】

主要考查质数的意义，熟练掌握质数的意义并灵活运用。

9.左

【解析】

【分析】

根据题意，最初在右岸，第一次在左岸，第二次在右岸，由此可知，奇数次在左岸，偶数次在右岸，

11次是奇数，应该再左岸，据此解答。

【详解】

根据分析可知，小鸭子最初在右岸，来回地游，11次后，小鸭子到了左岸。

【点睛】

要分析题意，知道奇数次在左岸，偶数次在右岸，利用这个规律解答。

10.248

【解析】

【分析】

列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是24的乘法算式，乘法算式中的

两个因数就是这个数的因数。再从这些因数中找出是8的倍数的数即可。

【详解】

1X24=24；2X12=24；3X8=24；4X6=24。24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。其中是8

的倍数的是8和24。

【点睛】

熟练掌握找因数的方法是解题的关键。

11.2049

【解析】

【分析】

最大的一位数是9；根据合数的意义：在自然数中，除了1和它本身还有别的因数的数是合数；最小

的合数是4；像0、1、2、3、4…的整数叫做自然数；最小的自然数是0；在自然数中，除了1和它

本身，没有别的因数的数是质数，最小的质数是2,由此即可解答。

【详解】

由分析可知：这个四位数是：2049

【点睛】

主要考查质数、合数、自然数的意义，熟练掌握它们的意义并灵活运用。

12.09

【解析】

【分析】

3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。

【详解】

根据能被3整除的数的特征：因为4+2=6,口里可以填0、3、6、9,口里最小填0；12口里最大填

9。

【点睛】

是考查3的倍数的特征。

13.3739

【解析】

【分析】

已知两连续奇数的和为76,又因为两个连续奇数差为2,根据和差公式即可解答。

【详解】

(76-2)4-2

=74+2

=37

37+2=39

【点睛】

考查奇数的特点及和差公式，熟练掌握和差公式及找到题目中的隐含条件是解题的关键。

14.5、7、194、10、15、2110

【解析】

【分析】

根据质数和合数的意义：一个非0自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；如果

除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，注意1既不是质数也不是合数；2的倍数特征：

末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数，5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数，所以既是2的

倍数又是5的倍数的数末尾一定是0,由此即可填空。

【详解】

由分析可知：

质数有：5、7、19

合数有：4、10、15、21

既是2的倍数又是5的倍数：10

【点睛】

主要考查2、5的倍数特征以及质数和合数的意义，熟练掌握它们的含义并灵活运用.

15.5515

【解析】

【分析】

根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个

自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有

别的因数，这样的数叫做合数，由此解答。

【详解】

10—20的自然数中，奇数有：11,13,15,17,19,奇数有5个；

偶数有：10,12,14,16,18,20,偶数有5个；

既是奇数又是合数的是：15

【点睛】

此题考查的目的是使学生理解和掌握奇数与偶数、质数与合数的概念及意义。

16.690960

【解析】

【分析】

能同时有因数2,3,5的数，也就是2,3,5的倍数，个位上是0,且各个数位上的数字之和是3的

倍数的数，据此解答。

【详解】

用6,0,9这三个数字组成的三位数中，能同时有因数2,3,5的数是690和960。

【点睛】

此题主要考查了2,3,5的倍数特征，需牢记并能灵活运用。

17.X

【解析】

【分析】

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整数的数叫做奇数；最小的偶数是2,最小的奇数是1；一个自

然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；1不是质数；一个自然数，除了1和它本

身两个因数外，还有其它的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；据此解答。

【详解】

2是偶数，不是合数；1是奇数，不是质数，所以原题干说法错误。

故答案为：X

【点睛】

利用奇数和偶数的意义、质数和合数的意义进行解答。

18.V

【解析】

【分析】

能同时被2和5整除的三位数一定是2和5的倍数，同时是2和5的倍数特征：个位数字是0；据此

解答。

【详解】

分析可知，一个末位是0的三位数，同时是2和5的倍数，一定能同时被2和5整除。

故答案为：4

【点睛】

掌握2、5的倍数特征是解答题目的关键。

19.J

【解析】

【分析】

最小的自然数是0;能被2整除的数叫做偶数，0能被2整除，0是最小的偶数。

【详解】

根据自然数和偶数的定义，最小的自然数是0,最小的偶数也是0。

故答案为：4

【点睛】

考查了自然数和偶数的认识。

20.X

【解析】

【分析】

13=1X13,所以13的因数有1和13。据此解答。

【详解】

13=1X13

所以13的因数有1和13。

故原题说法错误。

【点睛】

掌握因数的概念是解答的关键。

21.见详解

【解析】

【分析】

根据找一个数因数（倍数）的方法找出8的因数（列举出8的倍数），然后连线即可。

【详解】

8的因数有：1、2、4、8；

8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、64、72...

连线如下：

【点睛】

明确找一个数因数和倍数的方法是解答的关键。

22.见详解

【解析】

【分析】

各个数位上的数字之和是3的倍数时，这个数就是3的倍数。

【详解】

36、54、45、57、123都是3的倍数；

【点睛】

掌握3的倍数的数的特征是解决此题的关键。

23.不对，理由见详解

【解析】

【分析】

5的倍数特征，个位是0或5的数。因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所

以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的线数应该也是5的倍数，即个位数应是

0或5,所以找回18元不对。

【详解】

答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。

【点睛】

此题主要考查学生对5的倍数特征的理解与应用。

24.8本/箱正好能装完，它可以整除64。

【解析】

【分析】

根据整除的意义，谁能整除64,就选那种包装箱，据此解答即可。

【详解】

644-6=10（箱）....4（本）

64+8=8（箱）

64+5=12（箱）....4（本）

答：8本/箱正好能把这些面包装完，因为它可以整除64。

【点睛】

此题主要依据整除的意义解决问题，因为它们能整除64。

25.分别是15、16、17

【解析】

【分析】

由题意知：三个连续自然数的和等于中间数的3倍，用48除以3得到中间数，从而进一步求得其它

的两个自然数。

【详解】

484-3=16

16+1=17

16-1=15

答：这三个自然数分别15、16、17。

【点睛】

理解三个连续自然数的和等于中间数的3倍是解答的关键。

26.A、B、C、D,它们正好是84的因数，能把这些面包装完。

【解析】

【分析】

A、B、C、D、E中的数哪个是84的因数，就选哪个，据此解答。

【详解】

84+2=42,2是84的因数，每盒2个可以把这些面包装完；

84+3=28,3是84的因数，每盒3个可以把这些面包装完；

844-6=14,6是84的因数，每盒6个可以把这些面包装完；

84+7=12,7是84的因数，每盒7个可以把这些面包装完；

844-8=10.......4,8不是84的因数，不能每盒装8个面包。

答：A、B、C、D,它们正