北京市东城区2022-2023学年高三下学期一模考试数学试卷（含答案）

北京市东城区2022-2023学年高三下学期一模考试

数学2023.3

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合A={x|f-2<0},且acA,则〃可以为

(A)-2(B)-1

(C)-(D)垃

2

(2)在复平面内，复数三对应的点的坐标是(3,-1),则2=

i

(A)l+3i(B)3+i

(C)-3+i(D)-l-3i

(3)抛物线4y的准线方程为

(A)x=l(B)x=-1

(C)y=\(D)y=-l

4

(4)已知x>0,则x—4+2的最小值为

x

(A)-2(B)0

(C)1(D)2V2

(5)在△ABC中，a~2A/6,b=2c,cosA=-—»则S^ABC-

4

(A)—(B)4

2

(C)V15(D)25/15

(6)设小，〃是两条不同的直线，a,/7是两个不同的平面，且根ua,ap,则“加，〃”是

““"”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)过坐标原点作曲线y=e"2+i的切线，则切线方程为

(A)y=x(B)y—2x

(C)y=-^x(D)y-ex

(8)已知正方形ABC。的边长为2,P为正方形ABC。内部(不含边界)的动点，且满足=

则CPOP

的取值范围是

(A)(0,8J(B)[0,8)

(C)(0,4](D)[0,4)

(9)已知％,%，生，右，生成等比数列，且1和4为其中的两项，则处的最小值为

(A)-64(B)-8

(10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成

就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天

文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值(精

确到0.001)，可得N的值为

M2371113

1gM0.3010.4770.8451.0411.114

(A)13(B)14

(C)15(D)16

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)函数/(x)=J匚7+Inx的定义域是...

(12)在(x+0)6的展开式中，/的系数为60,则实数.

X

22

(13)已知双曲线二-与=l(a>0,b>0)的一个焦点为(逐,0),且与直线旷=±2》没有公共点，则双曲线

ab~

的方程可以为_______.

(14)已知数列｛4｝各项均为正数，4=34，S“为其前〃项和.若｛底｝是公差为;的等差数列，则

4=»cin—.

TT

(15)已知函数/(幻=；15山(2%+9)(2>0,0<9<兀)的部分图象如图1所示，A3分别为图象的最高

点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A',点。为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的

纸片沿龙轴折成直二面角，如图2所示，此时卜河，贝腹=.

给出下列四个结论:

②图2中，AB-4C=5；

③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；

④图2中，S是△A8C及其内部的点构成的集合.设集合7=｛0€用M。|42｝,则T表示的区域

IT

的面积大于

4

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

已知函数/(x)=sinx+sin(x+§).

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)若％=工是函数y=/(x)-/(x+e)(°>0)的一个零点，求°的最小值.

(17)(本小题13分)

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了

7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表:

7^数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

学生、\

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

(II)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布

列及数学期望EX；

(III)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设V表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学

期望EY与(II)中EX的大小.(结论不要求证明)

(18)(本小题15分)

如图，在长方体ABCO-A4GA中，AA=AD=2,BR和耳。交于点E,尸为AB的中点.

(I)求证：七口》平面4。。14;

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求

(i)平面CEF与平面8CE的夹角的余弦值；

(ii)点A到平面。砂的距离.

条件①：CE工BQ；

条件②：8Q与平面BCC4所成角为四.

4

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(19)(本小题15分)

已知函数/(x)=Q?-xlnx.

(I)当。=0时，求/(x)的单调递增区间；

(II)设直线/为曲线y=/(x)的切线，当时、记直线/的斜率的最小值为g(a),求g(a)的

最小值；

1311

（III）当a〉0时，设知={'口=/'（。》€（一,一）},N={y|y=/'（x）,xe（一,一）},求证：MGN.

12a4a14a2a

(20)(本小题14分)

已知椭圆E:=•+==l(a>6>0)的一个顶点为40,1),离心率6=亚.

ab3

(I)求椭圆E的方程；

(II)过点P(-后,1)作斜率为火的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线A8,AC分别与x轴交于点

M,N.

设椭圆的左顶点为。，求购的值.

\MN\

(21)(本小题15分)

已知数表劣“=中的项％(»=1，2；J=1,2,互不相同，且满足下列条件:

①%e{1,2,,2〃}；

②(-Dra+I(即“-%”,)<0(加=1，2，(«).

则称这样的数表4“具有性质P

(I)若数表劣?具有性质P,且〃=4,写出所有满足条件的数表42，并求出为+4的值；

(U)对于具有性质P的数表4,,,当4+&++即,取最大值时，最证：存在正整数使得

axk=2〃；

(HI)对于具有性质P的数表4“，当〃为偶数时，求知+生++%,的最大值.

参考答案及评分标准2023.3

一、选择题（共10小题，每小题4分,共40分）

(1)B(2)A(3)D(4)B(5)C

(6)B(7)A(8)D(9)B(10)C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

(11)(0,1](12)±2

11

(13)%2—=1(答案不唯一,)(14)-—n—

424

（15）V3②③

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：(I)因为/(x)=sinx+sin(x+-^)=sinx+—sinx+—cosx=—sinx+—cosx=

V3sin(x+—)

6

所以f\x)的最小正周期为2兀.............6分

(II)由题设，y-f(x)-f(x+^)=>/3sin(x4--)->/3sin(x+—+^),由工=2是该函数零

666

点可知，

百sin(—+—)-\/3sin(—+工+9)=0,即sin(—+.)=—.

666632

7T7T2IT

故§+夕=§+2攵兀z£z或3+中=<+""卜Gz,

TT

解得（p-2E,左£Z或夕二（+解兀，ZwZ.

7T

因为e>o,所以0的最小值为......13分

（17）（共13分）

解：（I）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成

绩超过90分.则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为

—,・,・3分

13

（II）随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

clc31

P（x=l）=吉=丁

3=等=|；

小=3)=号H

则随机变量X的分布列为：

X123

1

5

故随机变量X的数学期望EX=lx-1+2x3三+3x±I=2......11分

555

(III)EX>EY......13分

(18)(共15分)

解：(I)连接AR,B.D,,BD.

因为长方体ABC。—44aA中，BB]//。鼻且=DD、,

所以四边形BBQQ为平行四边形.

所以£为8乌的中点，

在△AB。中，因为E,尸分别为和AB的中点,

所以EEA?.

因为£户Z平面ADD】A，ARu平面A。。A，

所以EF.平面........

(II)选条件①：CE”D.

(i)连接B|C.

因为长方体中A4=AZ)=2,所以4。=20.

在△CBA中，因为E为用。的中点，CE工BQ,

所以CD=4C=2&.

如图建立空间直角坐标系。一孙z,因为长方体中AA=AO=2,CD=242,

则£>(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2^,0),B(2,2加,0),FQ,&0),耳(2,2血,2),

£(1,V2,1).

所以CE=(1,—及,1),CF=(2,-A/2,0),CB=(2,0,0).

设平面CEF的法向量为m=（和%4）,

mCE=0,[x,-5/2y,+z,=0,

则即।\L1

m-CF=0,[2Xj-v2y,=0.

令斗=1,则弘=&，z=i,可得，"=（i,J5,i）.

设平面BCE的法向量为〃=（%，%，Z2），

则卜CE=0,即卜一瓜+Z2=0,

[n-CB=0,2X2=0.

令必二1，则工2=0，22=桓,所以〃=（0,1,V2）.

设平面CE尸与平面8CE的夹角为。,

milci.\m-n\V6

则cos0==|cos<m,n>|=------=——.

\tn\\n\3

所以平面CER与平面BCE的夹角的余弦值为逅.

3

（日）因为4尸=（0,行,0）,

所以点A到平面CEF的距离为d="间=1.15分

\m\

TT

选条件②：片。与平面8CG瓦所成角为上.

4

连接80.

因为长方体ABC。—44G。中，CD_L平面6CGg,B|Cu平面BCCg,

所以COLgC.

兀

所以NOBC为直线耳。与平面BCC,B,所成角，即/。4c=4.

所以△DBC为等腰直角三角形.

因为长方体中A4,=AO=2,所以4c=2后.

所以CD=B©=2插.

以下同选条件①.

(19)(共15分)

解：（I）当。=0时，，f（x）=-x\nx,定义域为（0,+00）.

/r(x)=-lnx-l,

令/'(x)=。，得工=,，

e

当xe(o-)时，r(x)>o,

e

当XW(L+8)时，/\x)<0,

e

所以/(x)的单调递增区间为(0,3.............5分

e

(II)h(x)=fr(x)=2ax-\nx-l,

EI,,/、c12ax-}

则h(x)=2a—=------.

xx

当。22时，令/f(x)=0,得％=」一.

22a

当X£(0,'-)时，hr(x)<0,人(%)单调递减；

2a

当X£(1-,+8)时，h\x)>0,，2(x)单调递增；

2a

所以当x时,力(幻最小值为g(a)=〃(1-)=ln(2a).

2a2a

e

当aZQ时，ln(2a)的最小值为1,

所以g(a)的最小值为1.............11分

1113

(III)由(II)知广(幻在上单调递减，在上单调递增,

4a2a2a4a

313

又八兀)二5‘不

I3||

所以M=(ln(2a),——In—),N=(ln(2a),——In—),

24a24a

111331

(----In—)-(——In—)=ln--In——l=ln3-l>0,

24a24a4a4a

所以MUN.............15分

(20)(共14分)

b=\,

.£=也解得a=6

解：(I)由题设，得

a3

a2=b24-c2.

所以椭圆E的方程为《+V=1.............5分

3

(II)直线8c的方程为y-l=/(x+g).

由卜-1=k(x+⑻，得印2+]*+(6忌2+6k)x+9k2+6限=0.

x2+3j2=3

由4=(66/+6Q2-4X(342+1)X(922+6G%)>0,得Z<0.

2m、c、fii，i,6^3k2+6k9k2+6®

设8（X|，x）,C（x,y）,贝IJ玉+々=—3汽+]>=

223/<r+,

直线AB的方程为y=—~~-x+1.

令y=0,得点例的横坐标为x,”=——工=----Jb.

X-lk（x、+6）

同理可得点N的横坐标为/=-——=——竺

必一1k(x2+

1zX.%、

+4=一7（-----百十—F）

k马+，3

12%％2+百（M+工2）

k%|X2+百（X]+工2）+3

始产“竺+6.

,134+1'3标+1'

I9a+6®6®+6k、,

3&2+1+W（-3F+1）+3

，•业_2。

k3

因为点。坐标为(-6,0),则点。为线段MN的中点,

所以朗=3•

14分

(21)(共15分)

解：(I)满足条件的数表名为(；；)，(；；)(；：),所以知+4的值分别为5,5,6...............5

分

(II)若当4]+《2++4”取最大值时，存在使得〃2j=2〃.

由数表&“具有性质P可得j为奇数，

不妨设此时数表为0,2即'].

①若存在外(%为偶数，14k4”)，使得外＞即，交换阳和2〃的位置，所得到的新数表也具有

性质P,

调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在14区〃，使得与=2”.

②若对任意的4(%为偶数,14么M"),都有知＜如，交换出和町的位置，所得到的新数表也

具有性质P