北京市朝阳区2022-2023学年高三下学期一模考试数学试卷（含答案）

北京市朝阳区2022-2023学年高三下学期一模考试

数学2023.3

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合人={刈/W4},集合8={x|x>0},则4B=

(A)S，-2](B)[-2,0)(C)[-2,+oo)(D)(0,2]

(2)若a>0>6,则

(A)/(\\>\b\(C)-<-(D)\n(a-b)>0

B)aab

n

(3)设(l+x)"=〃o+。]%+〃2工2++anx,若々2=%，则〃=

(A)5(B)6(C)7(D)8

(4)已知点A(-l,0),3(1,0).若直线>=依-2上存在点P,使得NAP3=90。，则实数k的取值范围是

(A)(-8,-方](B)[后,+8)(C)[Y市1(D)(-00,fV3,+<»)

(5)已知函数/(x)=d+x,则“.+w=0”是“/(玉)+/*2)=0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(6)过双曲线-7-马=l(a>0,b>0)的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A.若N4R9=2NAOF

a-b-

(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为

(A)—(B)—(C)2(D)组或2

233

(7)在长方体A8C£>-AgGA中，AG与平面A3。相交于点加，则下列结论一定成立的是

(A)AMLBD(B)A^MLBD

(C)AM=-MCt(D)MB=MD

(8)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学

模型是函数,/'(*)=$抽犬+}[112》*61<),则下列结论正确的是

(A)F(x)的一个周期为兀(B)F(x)的最大值为3

2

(C)/'(X)的图象关于直线》=兀对称(D)/(x)在区间[0,2河上有3个零点

(9)如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边8c的中点，则=

(A)5

(B)10

(C)13

(D)26

(10)已知项数为k(keN)的等差数列［a„］满足4=1,

第(9)题

*Wa“(〃=2,3,,k).若4+&++a«=8,则左的最大值是

(A)14(B)15(C)16(D)17

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)若2=上，则|刃=—.

1+1

log,X,

(12)函数〃x)=5的值域为一.

3",x<\

(13)经过抛物线》2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,8两点，若|AB|=4,则△048(O为坐标原

点)的面积为一.

(14)在△ABC中，〃=4&，b=m,sinA-cosA=0.

①若加=8,则。=___；

②当机=一(写出一个可能的值)时，满足条件的AyWC有两个.

(15)某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循兰彻斯特模型：

x(t)=X„cosh(\[abt)-^匕sinh(>/a^f),

y(f)=Yocosh(x/iife/)-sinh(Vo^r),

其中正实数X。，为分别为红、蓝两方初始兵力，，为战斗时间；x(t),y⑴分别为红、蓝两方f时

刻的兵力；正实数〃，。分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数：coshx=±Q和

2

sinhx=分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗

2

演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.

给出下列四个结论：

①若X°>%且则x(f)>y(f)(0qwT)；

②若X。>%且则T=Un序士4；

a丫X。-%

Xob

③若/>一，则红方获得战斗演习胜利;

toa

Y

④若黄〉,则红方获得战斗演习胜利.

丫0a

其中所有正确结论的序号是—.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC-AB|G中，叫_1平面A8C,0,E分别为AC,的中点，AB=BC=45,

AC-AA1-2.

(I)求证：AC_L平面8DE；

(ID求直线DE与平面4阳所成角的正弦值;

(III)求点。到平面A班的距离.

(17)(本小题13分)

设函数f(x)=Asin<yxcos<yx+cos%x(A>0,ft>>0),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选

择两个作为已知，使得/(x)存在.

(I)求函数/(x)的解析式；

(H)求fW在区间［0,^］上的最大值和最小值.

条件①：/(x)=/(—x)；

条件②：/(x)的最大值为3；

2

TC

条件③：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为5.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

(18)(本小题13分)

某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三

等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况

统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男牛.200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

(I)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

(H)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表

示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望欧；

(III)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为Po；从该地区高

一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为化；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽

到的学生获奖的概率为P2,试比较Po与包产的大小.(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

已知函数/。)=/一"-1(«eR).

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若/(x)>0对xe(0,+<»)恒成立，求a的取值范围；

(HI)证明：若/(x)在区间(0,m)上存在唯一零点看,则/<a-2.

(20)(本小题15分)

已知椭圆E:二+匕=1(0<"4)经过点(及,-1).

4n

(I)求椭圆E的方程及离心率；

(II)设椭圆E的左顶点为A,直线/:x=,孙+1与E相交于M,N两点，直线A"与直线x=4相交于

点Q.问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.

(21)(本小题15分)

己知有穷数列Aq。，仆(代€e万云3)满足。”{一1,0,1}«=1,2,,N).给定正整数机，若存在正

整数S"(SH/),使得对任意的左€{0,1,2,,7/7-1),都有则称数列A是"一连续等项数列.

(I)判断数列A:-l,1,0,1,0,1,-1是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；

(II)若项数为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值；

(IH)若数列A:qg，,心不是4一连续等项数列，而数列A：。“的，数列&吗,%，,即，0与

数列&吗,阴,，心,1都是4-连续等项数列，且%=0,求心的值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(DC(2)A(3)A(4)D(5)C

(6)B(7)C(8)D(9)C(10)B

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)V2(12)(-8,3)(13)2

(14)4夜6(答案不唯一)(15)①②④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题14分)

解：(I)在三棱柱A6C-A片G中，

因为A4,_L平面ABC,

所以A4,_LAC.

又D,E分别为AC,AG的中点，则OE//AA,,

所以AC_LDE.

因为AB=BC,所以AC_LB£>.

乂BDDE=D,

所以AC_L平面瓦明......

(II)由(I)知AC_LE>E,AC±BD,DE//AA,.

又441_L平面A8C,

所以。E_L平面

因为3Ou平面/WC,

所以DELBD.

所以两两垂直.

如图建立空间直角坐标系D-xyz,

则D(0,0,0),4(1,0,0),8(0,2,0),5(0,0,2).

所以加=(0,0,2),AB=(-1,2,0),A£=(-1,0,2).

设平面的一个法向量为机=(x,y,z),

m•AB=0,一x+2y=0,

则即

一x+2z=0.

机,AE—0,

令y=l,则x=2,z=l.于是m=(2,1,1).

设直线与平面4正所成角为a,则

sina=|cos〈，〃，费〉|=1^1=渔

|m||DE|6

逅

分

所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为6

迈

(III)因为直线DE与平面"E所成角的正弦值为6

所以点O到平面A3E的距离为d=OE,sinc=逅......14分

3

(17)(本小题13分)

解：选条件②③.

(I)/(x)=Asin(oxcoscox+cos2a)x

COS25+1

=-sin2cox+

22

I4211A1

=J-----sin(2s+e)+—(其中cos(p=—^,sin^>=-----).

v427^177

根据条件②可知，函数条x)的最大值为+4=3.

V422

又A>0，所以A=Q.

根据条件③可知，函数/(x)的最小正周期为7=三=兀，所以。=1.

2co

JT1

所以/(x)=sin(2x+"7)+；?.......7分

(II)由OWxW二，得巴<2%+工

2666

1-7T4

则--Wsin(2x+-)W1,所以0W/(x)这一.

262

当2X+B=?，即X=［时，/(x)取得最小值，最小值为0；

662

当2X+B=1,即x=2时，/(x)取得最大值，最大值为］............13分

6262

(18)(本小题13分)

解：(I)设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等

奖”，

则P(A)=f5=工......4分

C200c3oo240

(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”,

事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.

由题设知，事件B,C相互独立，

且P(8)估计为10+15+15J,p(c)估计为25+25+40=2

200530010

____]qOQ

所以尸(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)，估计为(l--)x(l--)=—；

51050

P(X=1)=P(BCBC)=P(B)P(C)+P(历P(C),

—x(1——)+(1-—)x—=—;

51051050

I33

P(X=2)=P(BC)=P(B)P©,估计为gx石=立.

所以X的分布列为

X012

28193

P

505050

noIqa]

故估计X的数学期望EX=OX|^+1X*+2X4=5......10分

(111)外>吗也......13分

(19)(本小题15分)

解：(I)因为/(x)=e"-ax-l(xeR),所以尸(x)=2/*-a.

①若”0,则r(x)>0,所以/(X)在区间(YQ,yo)上单调递增.

②若a>0,令f'(x)-0,Wx=—In—.

22

当X€(-oo」ln3)时，f'(x)<0,

22

所以/(%)在区间(Yo-ln4)上单调递减；

22

当(,1119,+00)时，f'(x)>0,

22

所以〃x)在区间(g呜,+oo)上单调递增.

综上，当“W0时，〃x)的单调递增区间为(YO,*O)；

当。>0时，/(x)的单调递减区间为(v，[ln£),单调递增区间为(工小三,”).

2222

.....5分

2rf2x

(H)①若々W2,当x>0时，2e>2,f(x)=2e-a>0f

则/(x)在区间(0,位)上单调递增.所以f(x)>/(0)=0.

所以符合题意.

②若。>2,则一In—>0.

22

由(I)可知f(x)在区间(0」ln@)上单调递减，

22

所以当xe吗呜)时，/(x)</(0)=0,不符合题意.

综上，a的取值范围为(fo,2]...........11分

(III)若在区间(0,物)上存在唯一零点%,

e%-1

则a>2,x>0e2-1=0,即。=-----.

0/

欲证：x0<a-2f

_e2t°_1

只需证：x<----------2,

()%

22

只需证：e*>(x0+1),

即证：e%>.+l.

由(II)知，e2，—2x-l>0在区间(。，物)上恒成立，

所以e*-x-l>0在区间(。，田)上恒成立.

所以e%>x0+1.

所以与<a-2...........15分

(20)(本小题15分)

解：(I)因为椭圆日土+工=1(0<〃<4)过点(后,-1),

4n

所以2+4=1,得”=2.

4n

所以椭圆石的方程为二十.=1.

42

因为a?=4,b2=2f

所以c=y/a2—b~=\/2.

所以椭圆E的离心率e=£=也......5分

a2

(II)直线NQ过定点(2,0).理由如下：

[x-my+1,

由jx?+2y2—4得(加2+2»2+2⑺—3=0.

显然，△>().

设”(芭，乂)，N(x2,y2),则y+%=—X%=――'•

m+2m+2

直线4M的方程为丫=三七(x+2).

令x=4,得y=4,则。(4,4).

%+2+2

------必

,+2=69一%(3+2)

所以直线NQ的斜率为牖o且左NQ工。.

4—%(4—x2)(Xj+2)

所以直线NQ的方程为y-％=6%-%1+2%_々).

(4—x2)(再+2)

令y=0,则彳=4_2(4口)U-t?

-6%-y2a+2)

=々[6--y2a+2)]-%(4-x?)(%+2)

6%-%(%+2)

=6--4%(/+2)

6y,-y2(x,+2)

=6(加%+1)--4%(%y+3)

6.K-必(阳i+3)

=2,盯)，2+6,-12%

-myty2+6yt-3y2

2/n(-^—)+6(-4^)-18^

______疗+2疗+2______

/3、〜2机、八

_皿2+6(2-9%

/%+2nt+2

2

—18/??—18(/??+2)y2一2

2

—9m—9(m+2)y2

所以直线NQ过定点(2,0)............15分

（21）（本小题15分）

解：（I）数列A是3-连续等项数列，不是4-连续等项数列.理由如下：

因为%+A=%+*（%=。/，2）,所以A是3-连续等项数列.

因为4，4为一1，1，。，1；

%,%,44，。5为1，0，1，0；

%,。4，%，4为°，1，。，1;