曲阜师范大学数学-《实变函数》复习资料

《实变函数》复习资料1一单选题1.设是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（）A.在[a,b]上的一致连续函数B.在[a,b]上处处可导C.在[a,b]上L可积D.是有界变差函数2.设是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是（）A.若,则B.是可测函数C.是可测函数D.若,则可测．3.若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）A.B.C.D.4.下列断言中()是错误的（）A.零测集是可测集B.可数个零测集的并是零测集C.任意个零测集的并是零测集D.零测集的任意子集是可测集5.设是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）A.在[a,b]上有界B.在[a,b]上几乎处处存在导数；C.在[a,b]上L可积；D.二填空题6.设，则________________________（）7.设若________________________,则称是E的聚点.（）8.设P为Cantor集，则mP=_________________（）9.设是E上几乎处处有限的可测函数列,是E上几乎处处有限的可测函数,若,有________________________,则称在E上依测度收敛于.（）10.设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集,则________________________（）三、名词解释1.Jordan分解定理2.伯恩斯坦定理3.Levi定理4.Fatou引理四、计算题1.2.答案一、单选题1-5BAACD5-10二、填空题123045b-a三、名词解释1.Jordan分解定理:在上的任一有界变差函数都可表示为两个增函数之差.2.伯恩斯坦定理：设A，B是两个非空集合.如果A对等于B的一个子集，又B对等于A的一个子集，那么A对等于B.3.Levi定理：设是可测集E上的一列非负可测函数，且对任意,,令则4.Fatou引理：设是可测集E上一列非负可测函数,则四、计算题1.2.《实变函数》复习资料2一、计算题1、设，其中为Cantor集，计算．2、求极限．二、证明题1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集．2、设在上,而成立,,则有．3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数．

答案一、计算题1、设，其中为Cantor集，计算。解.设，因，则在上，2、求极限解：设，则易知当时，又因，()，所以当时，从而使得但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有二、证明题1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。证明：..2、设在上,而成立,,则有证明:记,由题意知由知对任意,由于，从而有:又因为在上,故所以于是:故在上有3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)证明：存在闭集在连续令，则在连续又对任意,.故在连续.又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数.4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数．证明.在上任取一组分点，从而对任何，有所以故有界变差.

《实变函数》复习资料3一、填空题设,,则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的集合，则，.若集合满足,则为集.若是直线上开集的一个构成区间,则满足:,.设使闭区间中的全体无理数集,则.若,则说在上.设,,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.设,,则的子列,使得.二、证明题1.证明：。2.设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明为可数集.3.设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.三、计算题1.设是集，.求.2.设函数在集中点上取值为,而在的余集中长为的构成区间上取值为,,求.

答案一、填空题.;.闭集..几乎处处收敛于或收敛于.对有.于.二、证明题1.证明如下:中任何一个元素可以由球心,半径为唯一确定,,,跑遍所有的正有理数,跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故为可数集.令,则且为可测集,于是对于,都有，故,令,得到,故可测.从