高中数学-【课堂实录】等差数列第二课时教学设计学情分析教材分析课后反思

《等差数列性质》教学设计一、课标解读（1）《标准》强调数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。教学时要体现数列的生活背景，多举几个生活实例，让学生感受到学习数列的意义，并通过实例的分析，从中归纳出数列的概念。数列的通项公式不仅是表示数列的一种方法，而且是研究数列的性质和相关问题时最重要的工具。（2）等差数列与等比数列是本章的核心内容，尽管是两类不同的数列，但等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括它们的定义、性质(等差还是等比)，通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项等。因此，应以等差数列为重心，在充分理解与掌握等差数列探究的方法基础上，采用类比教学的方法，让学生自己探究等比数列有关内容，这样能起到事半功倍的作用。将两种数列的概念、公式与性质进行对比，找出它们的联系与区别，加深对这两部分内容的理解．对通项公式与求和公式教学时，要从函数与方程的思想进行分析，让学生体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．对于等差数列与等比数列的性质应予以适当补充，利用性质往往能简化问题的解决过程．《标准》要求数列的应用价值，在解决实际问题时，要引导学生发现问题中蕴含的等差与等比关系，合理进行“数学建模”的选择，提高学生的应用意识和应用能力．二、教材分析本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列。本节是第二课时。等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系三、学情分析1、知识结构：学生已经学习了集合与函数的初步知识,掌握了数列的基本知识,理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数.通过第一课时,学生已经学习了等差数列的概念、通项公式,并理解等差数列中项与项之间的关系.本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质.对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说,学习本课并不是太难。2、心理特征：高二学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。因此，在对本节知识小结过程中，让学生相互讨论、交流，归纳总结出本节所学的主要内容，使学生在合作交流中体验成功的乐趣。3、.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课的教学目标确定如下：1、知识与技能目标：（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。（2）探究、发现等差数列的性质,并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明,掌握性质及运用性质解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。（3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。2、过程与方法目标：通过经历和体验等差数列性质的探索过程,体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究;同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。3、情感态度与价值观目标：（1）培养学生对问题归纳总结研究探索问题的能力（2）培养学生对同类问题善于类比的研究方法和善用函数的思想来研究问题的数学方法。五、教学重难点教学重点：（1）利用等差数列通项公式研究等差数列性质；（2）利用等差数列一次函数性质探究等差数列性质。（3）等差数列性质的应用。教学难点：等差数列性质的应用。六、教学过程（一）复习回顾，提出问题前面我们研究了等差数列的定义、通项公式及等差数列的简单性质---等差中项及等差数列的一次函数性质，今天我们来进一步深入探讨一下等差数列还具有哪些性质。【设计意图：①回顾等差数列基础内容，为本节课内容的探究学习提供有力的基础保证；②引导学生利用以上基础内容进行探究学习。】（二）师生互动、探究新知知识探究一：等差数列（公差不为0）中若m+n=p+q则与的关系什么，反之是否成立？【设计意图：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到正确结论，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准结论以留下正确和深刻的印象。再者，①培养学生运用已有知识解决新问题的能力；②培养学生自主探究问题的习惯。】思考：1、若m+n+p=3q则是否成立，为什么？2、若m+n=p则是否成立，为什么？【设计意图：在得出上述结论的基础上继续加强辨析，让学生真正掌握这一性质的理论依据，培养学生思维的严谨性。】小结：等差数列中项求和，若两侧项数相同，下标和相等则等式成立。例1：等差数列中（1）若=2,=4,则=()（2）若=11，则=()例2：等差数列中，=56，=187，求和d;【设计意图：通过例题进一步加强性质辨析，防止盲目套用公式，强调数学的灵活性。】知识探究二：已知数列的通项公式为pn+q,则数列数列是否一定为等差数列？【设计意图：由等差数列通项公式为一次函数的形式，很多学生自然产生反之是否成立的疑问，在这里将问题提出，让学生自主探究，小组合作学习解决问题，表述问题，培养学生猜想、证明得出结论的数学习惯，同时培养学生的表述能力，使学生养成主动学习的良好习惯。】小结：1、如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.2、判定等差数列的方法：（1）利用定义;（2）利用等差中项的性质;（3）利用通项公式是一次函数的性质.例3：已知数列为等差数列，首项为，公差为d;则，是否为等差数列，如果是，公差、首项各为什么，若果不是，请说明理由。思考：1、如果数列为等差数列，你还可以得到一些什么样的等差数列？2、如果数列都为等差数列，你还可以得到一些什么样的等差数列？【设计意图：利用例题与思考，加强学生对一次函数与函数的关系的认识，培养学生举一反三的能力。】小结：1、等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.2、两个等差数列的和、差还是等差数列,即也是等差数列，、也是等差数列.（三）应用示例例4：数列为等差数列，且=3，=7，则=()点评：在例4中，同学大多能根据性质得出为新的等差数列，但是未必能充分利用“等差数列中项求和，若两侧项数相同，下标和相等则等式成立”这一性质，化繁为简。因此，设计该例题，提醒同学不只能推到证明性质还要能够熟练应用。例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?【设计意图：《标准》要求数列的应用价值，在解决实际问题时，要引导学生发现问题中蕴含的等差与等比关系，合理进行“数学建模”的选择，提高学生的应用意识和应用能力．】（四）随堂检测1、等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.22、如果等差数列中，=12，那么=（）A.14B.21C.28D.353、已知=an-b,且=3，=6那么试求的值。【设计意图：直接应用新知解决数学问题，通过练习加深学生对新学知识的理解，并检验学生对所学知识的掌握情况。】（五）反思总结1、数学知识：2、数学思想方法：【设计意图：通过小结，让学生对本节所学内容的认识更加系统、更加深刻】等差数列的性质一、复习回顾1、等差数列的概念2、等差中项的定义3、等差数列通项公式求法四、应用举例例1、例2、例3、例4、例5、二、等差数列性质探究一五、总结1、数学知识2、数学思想方法三、等差数列性质探究二六、作业八、教学反思1、在本节课的学习中，学生在课堂上能积极主动参与教学活动，提高了对问题的解决能力，从教学目标的要求出发，较顺利地完成学习任务。2、新课程改革倡导学生主动参与、乐于探究、培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。本节课从学生已有等差数列基础知识出发，应用已有知识按照假设----证明的推理方法及函数的思想研究等差数列的性质，培养学生的学习方法,同时通过以问题探究活动，促进学习方式的转变，在学习中锻炼了学生的学习数学的方法和技能，提高了学生的创新思维和利用所学知识解决数学问题的能力。真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。3、在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。《等差数列性质》学情分析1、知识结构：学生已经学习了集合与函数的初步知识,掌握了数列的基本知识,理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数.通过第一课时,学生已经学习了等差数列的概念、通项公式,并理解等差数列中项与项之间的关系.本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质.对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说,学习本课并不是太难。2、心理特征：高二学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。因此，在对本节知识小结过程中，让学生相互讨论、交流，归纳总结出本节所学的主要内容，使学生在合作交流中体验成功的乐趣。《等差数列性质》效果分析本节课是在研究了等差数列的概念、通项公式,并理解等差数列中项与项之间的关系后研究等差数列的性质，为以后研究等比数列打下基础。探究、发现等差数列的性质,并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明,掌握性质及运用性质解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。学生已经学习了集合与函数的初步知识,掌握了数列的基本知识,理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数.通过第一课时,学生已经学习了等差数列的概念、通项公式,并理解等差数列中项与项之间的关系.本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质.对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说,学习本课并不是太难。本节课总共可分为四个阶段：第一阶段复习回顾等差数列定义，等差中项定义，等差数列通项公式，为本节课的开展打下基础;第二阶段引导学生进一步等差数列的性质，同学在小组讨论中得出本节课的主要知识点，让学生尝到成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣；第三阶段等差数列性质的应用：通过练习和题中题的方法对等差数列性质有更进一步的理解；第四阶段当堂练习检测，检测学习效果，找出学习不足，进行查漏补缺做到学生学有所获。本节课达到了预期目标，新课程改革倡导学生主动参与、乐于探究、培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。本节课学生参与积极性非常高，在课堂上能积极主动参与教学活动，从教学目标的要求出发，较顺利地完成学习任务，同时也极大地激发了学生学习数学的兴趣，消除了学生畏难情绪。在教法上本节课从学生已有等差数列基础知识出发，应用已有知识按照假设----证明的推理方法及函数的思想研究等差数列的性质，培养学生的学习方法,同时通过以问题探究活动，促进学习方式的转变，在学习中锻炼了学生的学习数学的方法和技能，提高了学生的创新思维和利用所学知识解决数学问题的能力。真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。同时在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。《等差数列性质》教材分析本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列。本节是第二课时。等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系等差数列性质自我检测题题目命题依据和意图1．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35考查等差数列性质2、已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1 B．1C．3 D．7考查等差数列性质及等差数列通项公式3、已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有()A．a7＋a9＞0 B．a7＋a9＜0C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0考察等差数列一次函数形式及性质4、设{an}递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A．1 B．2C．4 D．6考查等差数列性质5、若{an}是等差数列，且a2－a4＋a8－a12＋a14＝5，则a1＋a2＋…＋a15＝________.考查等差数列性质6、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．考查等差数列的判定与应用7、在等差数列{an}中，与是方程的两根，则为考查正切函数单调区间求法8、已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)，a3＝f(x)．求：(1)x的值；(2)通项an.考查等差中项性质与等差数列通项公式9第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？考查等差数列的判定与应用答案1、解析：等差数列{an}中，a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12.∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28.答案：C2、解析：∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35.又a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2.∴a20＝a3＋(20－3)d＝35＋17×(－2)＝1.答案：B3、解析：由题意知，an＝3n－24，∴a1＝－21，d＝3.∴a8＝－21＋3×7＝0.∴a7＋a9＝2a8＝0.答案：C4、解析：由题意知，a1＋a2＋a3＝3a2＝12，∴a2＝4.又a1a2a3＝48，∴(4－d)×4×(4＋d)＝48，解得d＝±2，∵{an}为等差数列且递增，∴d＝2，∴a1＝4－2＝2.答案：B5、解析：∵{an}是等差数列，∴a2＋a14＝a4＋a12＝2a8，∴a8＝5.∴a1＋a2＋…＋a15＝15a8＝15×5＝75.答案：756、解析：设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝eq\f(7,66)，a1＝eq\f(13,22)，所以a5＝eq\f(67,66).答案：eq\f(67,66)7、解析：与是方程的两根,由此可知+=1/2，又因为{an}为等差数列，所以+=2a6,因此a6=1/4答案：1/48、解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，所以2a2＝a1＋a3.即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.解得x＝0或x＝3.(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－eq\f(3,2)，此时an＝a1＋(n－1)d＝－eq\f(3,2)(n－1)；当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝eq\f(3,2)，此时an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(3,2)(n－3)．9、解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an＝1896＋4(n－1)＝1892＋4n(n∈N＋)．(2)假设an＝2012.由2012＝1892＋4n，得n＝30.假设an＝2050，则2050＝1892＋4n无正整数解．即2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．《等差数列性质》课后反思1、在本节课的学习中，学生在课堂上能积极主动参与教学活动，提高了对问题的解决能力，从教学目标的要求出发，较顺利地完成学习