初中几何辅助线专项突破习题答案（下）

第六章旋转参考答案一、材料题（共9题，小题；共0分）（）【答案】A解析】由题设知1【，，，通过旋转可证明，以、、为边的三角形的三个内角分别为（注意对比观察一点诸角的关，，，即，，，则它们的比为．．（）【答案】C【解析】显然，在边上可视为，在内的极端情形或特例，这样可知与三角形三顶点连线的夹角为、、、、为边的三角形的最大的内角为．．（）【答案】证明见解析．【解析】（思想：以为旋转中心将到）如图所示，延长至．由，，即为等边三角形，，．，，和为等边三角形，．，在．而，≌．．2（）【答案】证明见解析．解析】（思想，以为旋转中心，将如图所示，在四边形外侧作等边的条件，连接【，由到）可知四边形符合（）．．．此时，解题的目标是证明在是等边三角形，故，．．和为等边三角形，故，．，，，故≌．（）【答案】．【解析】将顺时针旋转，，，，．在，，，则，．（）【答案】．【则故解析】因，、、三点共线，，，在中，根据勾股定理得．（）【答案】①证明见解析．②证明见解析．【①如图：∵，，∴，∴，∴，∴为，∴，≌．②∵≌，∴．∴，∴∴在，．（）【答案】成立．【解析】成立，如图．与的延长线相交于点，∵∴∴，，．，∴．∴，∴为，在，和，∴∴≌，，∴，则∴．．4（）【答案】四边形是矩形．是矩形，.【解析】如图∵，，，∴∴∴，，，是矩形．5（）【答案】相等．（）【答案】解析】思路：延长【．5．【至，使得为等边三角形，，．≌，∴为所求三角形．．（）【答案】．【∴解析】过作，分别垂直，，于，．．∴，≌．∴．∵，，∴．∴．∴≌．∴．∴．（）【答案】①②【①∵∴，．∵∴点，，，．∴②．∵如图，当∵，，∴．故答案为：，．②的大小没有变化．∵∴．．（）【答案】无变化．【解析】当的大小无变化，∵∴，，∴，，∴．（）【答案】或．【解析】如图，∵，，，∴，∵∴∴，，，是矩形，，如图，连接作的垂线交作的垂线交，∵∴，，，，()知，∴，()，∴，综上所述，或．（）【答案】①②和的数量关系：．位置关系：．【①补全图形，如图②和的数量关系：．位置关系：．证明：如图，∵∴，．，．∵∴∵∴∴∴∴∴∴，的延长线相交于点，．为正方形，，．．≌．．，．，．（）【答案】【．思路如下：．由为中点画出图形，如图．．与②同理，可得，，，由，为中点，可得．．作于作于，可证≌．．为的垂直平分线，∴．．在，．（）【答案】证明见解析．【解析】如图，延长交，∵∴∵在点两对角线的交点，，，，和，∴∴∵∴∴即≌，，，，，．（）【答案】①当8或．②，．【（①在旋转过程中，成为直角有两种情况：由过程中，当，∵∴在，，∴∵∴，，，，∴即（．由过程中，当∴，．综上所述，当②，当旋转到或．、、在一条直线上时，的长最大，∵的边长为，∴，∵∴∴，，，∴，．∵∴，．（）【答案】【∴∴解析】∵点在，，∴．（）【答案】．【解析】连接，，由题意易知，∴∴由与是梯形，等高同底，即为两三角形的底，，得到平行线间的距离相等，即高相等，．∴9（）【答案】当．的最大值，当∴【时，不存在最小值，的最大值解析】正方形．（如果答案为或也可）．点旋转的过程中，点的轨迹是以点为半径的圆，第一种情况：当时，存在最大值及最小值，的距离取得最大、最小值时，取得最大、最如图②所示，，第二种情况：当时，存在最大值，不存在最小值．∴的最大值．（如果答案为或也可）．二、解答题（共4题，共0分）【答案】、和．【解析】方法一：绕点到、、成的三角形则，，即三角形各个内角度数分别为、和．方法二：将顺时针旋转得，则∴∵∴∴∴∵∴∵≌，，，，是等边三角形，，，，三边为边的三角形，，，，∴，∴∴，以，，为边的三角形的三内角的角度分别为，，．【答案】【解析】在，∴≌，．∴．∵，∴．∴．【答案】证明见解析．【解析】将逆时针旋转全等即可．，与【答案】．【则∴解析】以，，≌，∵，∴又∴∴∴，，，，≌，，∴，∴∴．．第七章特殊四边形参考答案一、解答题（共题，共0分）【答案】．【∴解析】如图，作于，于．，，∵∴∴∵∴∵是矩形．，．，，是的边上的中线，，∴．∴在∴，．，．【答案】．【解析】如图，过点，分别作，，，∵，，，∴∵，．，，∴，∴，，∴∴，．【答案】.【解析】方法一：过作于，则，，．作于，，，在在，.方法二：以为半径画圆，延长交．∵∵∴∴，，，．．【答案】．【∵∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴解析】解法一：如图，过作的平行线交．，，,，,．，．，．,，，，.解法二：如图，延长，相交于点.∵∴∵∴∴∵∴∵，，，．，,,，,，∴∴∴．．．【答案】证明见解析．【解析】如图，过点作，，∵于，．，∴∴∴∴∴∵∴∴∴和四边形都是平行四边形，，．，，的中点，，．．，．．．【答案】．【解析】过点作交，∵∴∴∴∵∴，，是平行四边形．，，．，在在∴，，，∴，∴∴，．【答案】．【∴∴，，，这就是问题有解时与之间满足的关系式，．．梯形的面积为8【答案】该梯形面积为．交【解析】过作的延长线于点，如图，为平行四边形，∴∴，()，∴，，，，，∴该梯形面积为．【答案】此梯形的面积是．【解析】如图，过作交的延长线于点，∵∴∵∴∴∵∴∴等腰梯形，，，，，是平行四边形，，，，，，，由勾股定理得∵，，∴∴，．答：此梯形的面积是．【答案】【解析】方法一：取．∵∵，，．方法二：如图所示，延长、，∵∵．，，∴∵△，∴．．【答案】证明见解析．【∵解析】如图，延长交的延长线于，．．，∴≌．∵．∴在．则．∴∴，．【答案】，．证明见解析．【解析】如图，连接并延长交的延长线于，∵∴，．在和，∴∴∵≌，，．，∴∴．，．二、材料题（共2题，4小题；共0（）【答案】1．【∴在∴∴解析】∵，，，，．，．，．（）【答案】．【解析】如图，．在∴∵∴∴∵，，，，．．．，∴∵∴．，，，．（）【答案】证明见解析．【∵解析】过点作作，．∴，．是，由已知，点，，即是等边三角形．（）【答案】存在最小值，最小值为．证明见解析．【的周长存在最小值，理由如下：）平行四边形，和是等边三角形，，．∴在∴∴∵∵与≌，．．，，．是等边三角形，．的最小值为点到．的最小值是．，的周长的最小值为三、填空题（共2题，共0分）【答案】1【解析】过点作交，∵∴∴∵∴∴，，是平行四边形，，，，．【答案】【解析】如图所示，过点作交的延长线于点．．∵∵∵，，．为等腰梯形，∴，∴．四、选择题（共1题，共0分）【答案】D1【解析】延长交的延长线于作于作与，∵∴在在，为≌，，，．为等腰梯形，，，．，，．．，，．．第八章解直角三角形参考答案一、解答题（共6题，共0分）【答案】【解析】过点1．作，垂足为点，∵，，∴在∴，，，，，在∴则，，，，．【答案】证明见解析．【当解析】把．．作．如图，过点轴，垂足为．．在．，，作．，，．【答案】．【解析】如图所示，作的延长线于点．∵作交．，，∴∴在∵∴，，，．∴∴．．【答案】．【解析】在为直角三角形．∵∵∴∴，即是等腰直角三角形，∴故．5【答案】条幅的长约为【解析】过作于作于，，，，在，在又，，∴∴，解之得，，（米）．【答案】【解析】过点作，是等腰直角三角形，，，也是等腰直角三角形．设，，，，二、填空题（共3题，共0分）【答案】7【解析】过作于，∴∵∴，，，∴∵∴∴，，，，，由勾股定理得：∴，．故答案为：．【答案】【解析】如图，延长，，相交于．∵，∴，则，∴为等边三角形，．∴在．，，，．∴，∴．【答案】【解析】过点作交．∵，∴∵∴，．，，，．在∵，，，∴．即，，∴（米）．三、选择题（共9题，共0分）【答案】C1【解析】过点作，如图：∵∴，，．，∵，∴．．【答案】D【解析】延长作．∵∴，，．．．∴∴∴．，．，．∴．【答案】C【解析】如图，延长交的延长线于点．在，，，，．．．在．．【答案】D【解析】延长交于于，如图所示：则∵∴设在，梯坎坡度，，由勾股定理得：，∴，（米），∴∵∴∴∴，，是等腰直角三角形，（米），∴（米）．【答案】D【解析】如图，过点作于作于，∵∴，，，在等腰直角∴，，≌∴在设．，在等腰直角∴，．【答案】C【解析】如图，作，∴设．，，∴∵，∴∵．，，，∴∴，．．．【答案】B【解析】如图，过点作，设∵∴在将∴．∵∵∴为．，，，．∴∴∴．．．．【答案】B【∵解析】如图所示：设，，在，∴，，，根据题意得：作，，于在．【答案】A【解析】如图，延长交的延长线于，则．∵，，∴∴令．，，，则，，代入①中得，．解方程得：∴()，．．．．第九章相似参考答案一、材料题（共4题，小题；共0分）（）【答案】1【解析】作交于，交于；，∴，，．（）【答案】【∴，，，，，∴∴，，．作（）【答案】．【解析】过点于，∵．，，∴∴，，∴∴∴∵是矩形，，．，即∴．∴，，∴∴，．2（）【答案】．、【解析】延长，如图．，是矩形，，，∴，．∵∴，，∴∴，，∴∴，．∵∴，，∴．（）【答案】．【解析】延长、，如图，∵∴，，∴∴，，∴，，∴∴，，∴∴∴，，．∵∴，，∴．3（）【答案】．顺时针旋转，使点旋转到点【解析】把．由旋转可知，，，∴∴∴，为等边三角形，，，∵∴∴∴，，，，，．（）【答案】．【解析】如图，把∴∴顺时针旋转，使点重合，得到，≌，，，，，∴∵∴∴∴∴∴∴，，，是等边三角形，，，，，，∴．（）【答案】．【解析】如图作则∴∵∴，使得：，，，，，与，∴∵，，，，∴∴∴，，，，根据勾股定理得，∴，．（）【答案】．【∴∴解析】∵，，，，，∽∴，∴，，∴，∴．（）【答案】．【∴∴解析】∵，，，，，∴，∴，∽，∴，，∴．（）【答案】．【解析】连接，，∴，，，，，∴，∴，，∴，∴，∴．二、解答题（共5题，共0分）【答案】解析】方法一：如左图和中图，过点5【作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明．作．∵∵，，，∵．此外，过点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．作交于点，设∵∴∴，，，．方法三：过作交，设∴，，，，∴∴，．方法四：过作交，∴，，∵则，，，，∴，∴设∵∴，，，，，∴．【答案】证明见解析．【解析】如图，分别过点、作的垂线，、为垂足，连、．，．二式相减得：，即．∴．．故．．．【答案】【解析】如图，过，∵∴∵是是，为．则，．∵∴∴∴的角平分线，，≌()为为∴．．【答案】证明见解析．【则解析】如图，取，，，．，，∴∵∴∴∴，，．．．．∵∴，．，【答案】证明见解析.【解析】延长、，∵∴，，，∴∴∴，，，∴，∴，，∴，∴．三、填空题（共2题，共0分）【答案】【∵解析】过点作．于于，，，∴∵，∴，，∴∵∴∴，，，，．∴∵∴，，在在．，∴．【答案】【解析】延长交于．∵∵∴∴∵．，，，，．∴∵，∴即∴，，，；（当的常数）时，，∴∴，．四、选择题（共3题，共0分）【答案】B解析】如图，连接1【，交交交于，，．∵，∴．．∵，∴点为两条高的交点，为边上的高，即．由中位线定理可得，，，，∴∵，故①正确．，∴∵∴∵∴∴．，．，根据以上条件得，．≌．∴．故②正确．∵∴∴，．，．，故④错误．．【答案】C【∵解析】延长交于点，如图．，，∴，．．∵∴是矩形，，，∴，，∴∵∴，．，中．∴．∵∴，．，∴∴∵，，∴．．【答案】B【解析】作，∵∴是矩形，，，，∵∴，，，∵∴∴∵∴，，，，，∴∵，，∴，∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∵∴∴∵∴，，，故②正确，，，，，，，，，，，，，，，∴∵∴，，，∵∴，，，∵∴，，，∴∴，，∴∵，，∴，∴∵∴．，，，∴∵∴∵∴∵∴∴∴∴∵，，，，，，，，．，，，∴，综上所述①②④正确．第十章圆参考答案一、选择题（共4题，共0分）【答案】B1【∵解析】如图，作的圆心坐标是，于于．∴，．把是，∴∴∴∴∵点坐标为．．为等腰直角三角形．也为等腰直角三角形．，∴在∴．，．∴．于∴．．【答案】B【解析】作，于、则，，在∴，，，，，∵，，，∴∴在为矩形，，，∴．【答案】C【解析】连接，∵∴，，，∴．【答案】C【解析】∵在，，，∴过，作，如图所示，∵∴，为∵∴，，，，在中，根据勾股定理得：，∴，．二、解答题（共3题，共0分）【答案】的垂线，垂足为5和．【∵解析】过点交，，，∴∵，，，∴在，，，，在∴．和．【答案】相切，理由见解析．【解析】如图，作，∵在，，，∴∵∴．，．∵∴的半径为，【答案】．【∵解析】如图，连接是，．∴∵∴∴∴∵∴∴∴．，．，．，．．．∴∵∴．是，∴．三、填空题（共2题，共0分）【答案】8【解析】如图作的轴对称图形，，∵∴∴的轴对称图形，≌，，∵∴∴∵∴，、、三点共线，，，，∴在∴，，，∵，∴∴∵，，，∴．在，，∴，∴，∴图中两个阴影部分的面积为．【答案】【∵∴∵∴∵∴∴∴∴解析】连接．以与，，，．，，，，，∴．四、材料题（共题，小题；共0分）1（）【答案】为等腰三角形．【为等腰三角形．理由如下：∵，∴∵∴∴∴，为直径，，，为等腰三角形．（）【答案】．【∴解析】∵为等腰三角形，，，∵∴在，，，∵∴为直径，，∴，∴∴，，∴．（）【答案】直线【解析】连接，∵为∴∵∴∴∴∵∴∴，，，，，，，（）【答案】．【解析】方法一：连接，∵∵∴，，，，∵∴，∴∴，，∵为，∴∵∴，∴．方法二：∵，，∴∴，．（）【答案】直线相切，证明见解析．【解析】连接，∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴，，是的垂直平分线，．，，．，，（）【答案】解析】连接1．【，设∵∴，．，．∴，∴即．．（）【答案】．【解析】如图①，连接，∵∴∴∵∴