八年级数学秘籍-活用几何基本图形解题事半功倍（原卷版）

活用几何基本图形，解题事半功倍

几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现.因此，灵活掌握和

运用这些图形是学好几何的必备技能.

8字型

一、基本图形

1.“8字”形

结论：N4+NB=/C+ND；

2.双垂直

A

结论：NCAD=NCBE；

结论：ZA=ZBCD,NB=NACD；

3.与角平分线有关的三个重要结论

(1)双内角平分线

A

条件：Z1=Z2,Z3=Z4,结论：Z5OC=90°+-ZJ；

2

证明：ZA+ZABC+ZACB=\SO°,ZBOC+Z2+Z4=180°,

即：ZT4+2Z2+2Z4=180°,Z2+Z4=90°--ZTI,

2

.,.ZBOC=180°-(Z2+Z4)=90°+2NN；

2

(2)一内角平分线，一外角平分线

条件：Z1=Z2,Z3=Z4,结论：ZO=—Z^4；

2

证明：Z4=Z2+ZO,2/4=2/2+//,

可得：ZO=-Z/1；

2

(3)双外角平分线

A

条件：Z1=Z2,Z3=Z4,结论：ZBOC=90°--Z/4；

2

证明：ZA+ZABC+ZACB=\SO0,Z5OC+Z2+Z4=180°,

即：Z/i+180°-2Z2+180°-2Z4=180°,Z2+Z4=90°+lZJ,

2

AZ50C=180°-(Z2+Z4)=90°--ZA；

2

4.四边形外角

N1与N2是四边形488的外角，结论：Z1+Z2=ZJ+ZB；

5.飞镖模型

NBOC=N4+NB+NC

6.与面积相关

如上图所示，。、E、尸分别是△NBC各边的中点

结论：图中，SMO产S"0尹S&BO产S&CQE=S&BO卡S^COD

二、典例解析

【例1-1】（安徽淮南月考）如图，8尸是△/8C中/N8C的平分线，CP是NZC8的外角的平分线，如果

NABP=20°,ZACP=50°,则NN=（）.

A.60°B.80°D.50°

【例1-2】（平原县月考）如图，在四边形N8CZ）中，ZA+ZD^a,ZABC的平分线与的平分线

交于点P,则/P=（）

1,11

A.90°----aB.90°H---aC.-aD.360°-a

222

【变式1-1］（陕西西安・高新一中月考）已知，如图，/xoy=90。，点/、8分别在射线ox、0丫上移动,

是N/BY的平分线，BE的反向延长线与N0Z8的平分线相交于点C,试问//C8的大小是否发生变化?

如果保持不变，请给出证明；如果随点小8移动发生变化，请求出变化范围.

【变式1-2】(武城县月考)如图①，△/BC中，8。平分NZ8C,且与△ZBC的外角//CE的角平分线

交于点D.

(1)若乙48c=75。，ZACB=45°,求/。的度数;

(2)若把N力截去，得到四边形MNC8,如图②，猜想N。、NM、NN的关系，并说明理由.

【例2-1】(广东模考)如图所示，Na的度数是()

A.10°B.20°C.30°D.40°

【例2-2】(霍林郭勒市月考)如图1所示，称“对顶三角形”，其中，Z^+Z5=ZC+Z£>

B

利用这个结论，完成下列填空.

(1)如图(2),ZJ+ZB+ZC+ZD+ZE=；

(2)如图(3),ZA+ZB+ZC+Z£>+Z£=；

(3)如图(4),N1+N2+N3+N4+N5+N6=；

(4)如图(5),Nl+N2+N3+/4+/5+N6+N7=

【变式1-1］（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出/A,ZB,NC,之间的数量关系:

(2)如图2,Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=度;

（3）如图3所示，已知N1=N2,Z3=Z4,猜想N8,ZP,之间的数量关系，并证明.

【变式1-2】（广东广州月考）如图，己知8c与。E交于点"，则N/+/8+NC+NO+NE+/尸的度数

为

I)

【例3】(安徽淮南月考)某零件如图所示，图纸要求N4=90。，N8=32。，ZC=21%当检验员量得

NBDC=145。,就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

【变式3-1】(山西盐湖期末)探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不

妨把这样图形叫做“规形图”,

(1)观察"规形图”，试探究N8D。与N/、NB、NC之间的关系，并说明理由；

(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△/8C上，使三角尺的两条直角边X7、XZ恰好经过点B、C,ZA=40°,

则N/8R/ZCX等于多少度；

②如图3,DC平分N4DB,EC平分NAEB,若ND4E=40°,ZDBE=\30°,求NOCE的度数；

③如图4,NABD,N4CD的10等分线相交于点Gi、G2…、Gs,若/5DC=133。，NBGiC=7Q°,求乙4

的度数.

【变式3-2】（山东岱岳期末）如图1六边形的内角和N1+N2+/3+N4+N5+N6为加度，如图2六

边形的内角和/1+/2+/3+/4+/5+/6为〃度，则〃?一〃=

图2

【例4】（唐山市月考）如图所示，在△48c中，已知点。，E,尸分别是8C,AD,CE的中点，5例「4

平方厘米，则SMEF的值为（

A.2平方厘米B.1平方厘米

C.」平方厘米D:平方厘米

2

【变式4-1】（山东历下期中）如图，△/BC的面积为1.第一次操作：分别延长力3,BC,。至点4,

B[,G，使4B=Z8,B、C=BC,C,A=CA,顺次连接％,B],C{,得到△其4。.第二次操作:

分别延长4与，B£,£4至点A2,B2,。2,使44=4/82cLB£,C2A,=C,At,顺次连接

A2,B2,C2,得到△482G，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020,最少经过多少次操作（)

B2

C.6D.7

【变式4-2］（台州市月考）在四边形Z3C。中，尸是边上任意一点，当/尸=时，S.PBC与S“BC

和之间的关系式为：；一般地，当NP=L4）（〃表示正整数）时，S.PBC与S.ABC

n

和DBC之间关系式为：

【例5】（庆云县月考）探究与发现:

（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与

它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

图①图②图3

己知：如图①，ZEDC与/EC。分别为A/OC的两个外角，试探究NZ与/尸DC+NECD的数量关系，

并证明你探究的数量关系.

（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

己知：如图②，在△力DC中，DP、CP分别平分N/DC和N4C。，试探究乙4与NP的数量关系，并证

明你探究的数量关系.

（探究三）若将A/OC改成任意四边形N8C。呢？

已知：如图3,在四边形中，DP、CP分别平分N/CC和Z8CD,试利用上述结论直接写出N/+N8

与N尸的数量关系.

【变式5-1】（河南宛城月考）问题情景：如图1,A48C中，有一块直角三角板放置在A48C上

（尸点在ZU8C内），使三角板PMN的两条直角边尸以、PN恰好分别经过点8和点C.试问乙48P与

NACP是否存在某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：若乙4=50°，则乙48C+4CB=度，ZPBC+NPCB=度，

ZABP+ZACP=度；

（2）类比探索：请探究48P+4CP与NZ的关系；

（3）类比延伸：如图2,改变直角三角板尸仞V的位置；使P点在ZU3C外，三角板尸的两条直角边

PM、PN仍然分别经过点8和点C,（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.

【变式5-2］（吉林宽城期末）将三角形纸片N5C沿。£折叠，使点Z落在点4处.

（感知）如图①，若点⑷落在四边形3CDE的边8E上，则NZ与N1之间的数量关系是.

（探究）如图②，若点"落在四边形5CDE的内部，则N4与N1+N2之间存在怎样的数量关系？请

说明理由.

（拓展）如图③，若点⑷落在四边形BCOE的外部，Zl=80°,N2=24。，则乙4的大小为度.

B

图①图②图③

三、习题专练

1.（安徽淮南月考）如图，N4+NB+NC+ND+NE+NF=

2.（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形N8C。中，。与的平分线的交点£恰好在

边上，则NBEC=（）

A.ZA+ZD-45°B.—(Z/4+ZO)+45°

2

C.180°-(ZA+ZD)D.—ZA+—ZD

22

3.（山东潍坊期末）如图，点。是△/8C的边8c的延长线上的一点，N/8C的平分线与N/CZ）的平分

线交于点4,/48C的平分线与/4CD的平分线交于点4,依此类推…，己知N/=a,则//2020的度数

为.（用含a的代数式表示）.

4.（信阳市月考）如图，BE、CE是△/8C的角平分线，N历1C=8O。，BE、CF相交于。，则N8OC的

度数是.

5.（惠州市月考）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.

6.（商城县月考）如图，△N8C的两个内角平分线相交于点尸，过点尸向ZC两边作垂直线/卜h，

若N1=40。，则N8PC=.

A

7.（临沐县月考）如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=

8.（霍林郭勒市月考）如图，8〃和C4分别是△NBC的内角平分线和外角平分线，84是/小8。的角

平分线，。2是N4CD的角平分线，843是的角平分线，C4是的角平分线，若/m=a,则

N/2018为•

9.（四川师范大学附属中学期中）如图，己知△/5C中，2/=60。，点。为△NBC内一点，且N80C

=140°,其中平分乙480,OC平分N/CO,O28平分/Z8O”O2C平分//COi......Q8平分

.1,平分NZCO,j,…，以此类推，则N80C=°,NBO2017c=

10.（重庆月考）如图，瓦EG,“分别为四边形Z8CD的边48,8C,CD。/的中点，并且图中四个小三

角形的面积之和为1,即，+52+$3+54=1,则图中阴影部分的面积为

11.（江苏邛江期末）（1）如图1，AB//CD,点E是在N8、CD之间，且在5。的左侧平面区域内一点,

连结BE、DE.求证：NE=/ABE+NCDE.

（2）如图2,在（1）的条件下，作出/和NEO8的平分线，两线交于点尸，猜想/尸、NABE、

NCDE之间的关系，并证明你的猜想.

（3）如图3,在（1）的条件下，作出NE8。的平分线和aEOB的外角平分线，两线交于点G,猜想

NG、NABE、之间的关系，并证明你的猜想.

12.(莆田月考)如图，点。为△ZBC的边8c的延长线上一点.

(1)若N4:ZABC=3：4,ZJC£>=140°,求乙4的度数；

(2)若NN8C的平分线与N/CZ)的平分线交于点过点C作于点P.试探究NPCA/与//

的数量关系.

13.(全国月考)如图，四边形/BCD中，8£、。下分别平分四边形的外角NA/8C和/M)C,若NBAD=a,

NBCDf.

(1)如图①，若a+4=150。，求NM8C+NNDC的度数；

(2)如图①，若8E与。尸相交于点G,NBGD=30。,请写出a、夕所满足的等量关系式；

(3)如图②，若a=B，判断8瓜。尸的位置关系，并说明理由.

AD

14.(贵州赫章期末)数学问题：如图，在△力5c中，NN=20°,NZ8C,NNC8的2020等分线分别交

于点。1,。2,，°10，°2020,根据2020等分线等分角的情况解决下列问题:

(1)求的度数.

(2)求/8飞。的度数.

(3)直接写出/6。2020。的度数•

15.(山西月考)综合与实践:

阅读下面的材料，并解决问题.

(I)已知在A48C中