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内模PID公式的推导[Ref.PIDControllersTheoryDesignandTuning,1995,p163-164]内模原理是一类适用PID的控制系统设计一般性方法，因此可由内模原理推导出PID控制器结构。控制系统如图1所示，其中，G伊)表示被控对象，Gm(s)表示名义模型，G^(s)表示G's)的近似逆，G/s)表示低通滤波器。内模控制器名称的起源是因为控制器内部包含被控对象的模型。该模型与被控对象是并联形式。图1基于内模原理设计的闭环控制系统框图如果名义模型与被控对象匹配，即Gm=Gp，则信号°=兀如果G=1以及G^是被控对象精确的逆，那么d将会被完美地抵消。而°的引入是为了降低闭环系统对建模误差的灵敏度，通常选择1Ts+1其中，。是可调整的滤波时间常数。利用内模原理得到的控制器可以用传递函数表示为一个常规型的串联控制器，为了更直观起见，将图1进一步等效成如下形式:图2基于内模原理设计的控制器可知

G二GfG：iGGG(2)消。从这个表达式可看出，这种类型的控制器能够使得被控对象的零极点出现相(2)消。G+TsG+Ts+1(4)内模原理通常给出一种高阶控制器，通过假设被控对象为FOPTD模型，则从该原理中获得PI或PID控制器，令Gp=寿e-Ts而G『Gp，其近似的逆模型为(5)(5)注意，上式并没有用到纯迟延的逆。而纯迟延的近似逆为（适合迟延比较小的系统）e-TsQ1-Ts结合式（1）、（35），则方程（2）可改写为G=T+1=_!_+ 1)Ks(T+T)K(T+t)K(T+t)s这就是PI控制器。其中比例增益为TK= pK(T+t)积分时间为T=K(T+t)如果纯迟延环节用一阶Pade近似，则1一坚e-Ts牝 —1TS1+-2则方程（2）可以写成PID控制器的形式

八 (1+ts/2)(Ts+1) (1+n/2)(Ts+1)G= H c^s(t+T+TTs/2) ^s(t+T)(t/2+T) 1 Tt/2= + + sK(t+T)K(t+T)sK(t+T)f f f因此，从方程(3),我们可发现通过内模原理可以得到PI或PID控制器。内模控制器的一个有趣的特点是在设计中明确考虑了鲁棒性。鲁棒性是通过合理调整滤波器Gf来实现的。通过使用Tf作为设计参数，可以在性能和鲁棒性之间进行权衡。IMC可以设计成对设定值变化做出良好的响应。由于设计方法本身就意味着要对被控对象的零极

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