2023新教材高中数学第8章成对数据的统计分析章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第三册

第8章成对数据的统计分析章末综合提升类型1回归分析回归分析在统计中占有重要地位，高考中经常涉及，难度在逐步增加，主要以回归分析为主，考查方程拟合、预测分析等．求解的关键是先求出经验回归方程，其中求eq\o(b,\s\up8(^))和eq\o(a,\s\up6(^))可借助于计算器完成．【例1】为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049其中ui＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(u)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i．(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋eq\f(d,x)哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)．(3)若该图书每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v1)(ω2，v2)…(ωn，vn)，其经验回归方程eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(ω))[解](1)由散点图判断，y＝c＋eq\f(d,x)适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y关于u的经验回归方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)＝eq\f(7.049,0.787)≈8.96，∴eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝3.63－8.96×0.269≈1.22，∴y关于u的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u，从而y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq\f(8.96,x)．(3)假设印刷x千册，依题意：10x－1.22＋eq\f(8.96,x)·x≥78.840．即8.78x≥87.8，解得x≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78840元．类型2独立性检验独立性检验问题是统计的重要内容之一，也是高考的热点问题，常与其他知识点交汇命题，难度中等，以客观题为主．独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)χ2统计量法：通过公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，先计算χ2，根据小概率值α的独立性检验，推断H0是否成立，最后得出结论．【例2】某校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远地区去支教，校学生就业部针对即将毕业的男、女生是否愿意到西部支教进行问卷调查，得到的情况如下表所示：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合计70100(1)完成上述2×2列联表；(2)根据表中的数据，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意去西部支教是否与性别有关？解：(1)2×2列联表如下：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合计7030100(2)零假设H0：支教与性别相互独立，即是否愿意去西部支教与性别无关．根据2×2列联表中的数据，可得χ2＝eq\f(100×300－8002,50×50×30×70)≈4.762>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否愿意去西部支教与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．根据2×2列联表中的数据计算，女生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为eq\f(30,50)＝0.6，eq\f(20,50)＝0.4；男生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为eq\f(40,50)＝0.8，eq\f(10,50)＝0.2．由eq\f(0.4,0.2)＝2可见，女生不愿意去支教的频率是男生不愿意去支教的频率的2倍．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女生不愿意去支教的概率明显大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明显与性别有关．类型3独立性检验与统计的综合应用独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算χ2的值，从而解决问题．【例3】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)若频率分布直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为视力与学习成绩有关联？视力学习成绩合计名次在1～50名名次在951～1000名近视413273不近视91827合计5050100(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层随机抽样在不近视的学生中抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年级名次在1～50名的概率．[解](1)由频率分布直方图可知第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人．因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，公差小于0，所以后四组的频数依次为27，24，21，18．所以视力在5.0以下的人数为3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×eq\f(82,100)＝820．(2)零假设H0：视力与学习成绩相互独立，即视力与学习成绩无关．根据2×2列联表中的数据可得χ2＝eq\f(100×41×18－32×92,50×50×73×27)≈4.110>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为视力与学习成