数学建模-篮球比赛分析预测

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B题：篮球比赛问题

专业班级：*******

姓名：刁述祥姓名：周姓名：王

2011年5月28日

要关联度标准化指标要关联度标准化指标综合指数得分比

本文主要研究了某大学篮球比赛中技术指标、成绩、排名等相关问题，并对各篮球队提出了技术方面的相关建议。针对问题一，本文运用灰色系统理论建立了一个综合评价模型，求解出每支代表队的技术指标与该队成绩之间的关联关系。首先，本文对每个队的各项指标数据进行统计处理、标准化处理（无量纲化），并求解出各项指标的差数列表。根据灰色系统理论建立了综合评价模型。最后通过Excle求解，得出了各个参赛队的技术指标与成绩之间的关联度。（结果见问题求解及附表）。针对问题二，本文按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，对这些技术指标进行排序。本文认为：某项技术指标与成绩的关联度越高，则该技术指标对代表队的成绩的影响越大。因此，本文将关联度大小做为衡量贡献度大小的依据。最后对每个学院的各项技术指标进行合理的排名。（结果见问题求解及附录）针对问题三，本文找出了对各代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。首先，本文认为关系是否被淘汰的场次、关系是否晋级的场次和积分相同的两支队伍之间的比赛场次是重要的场次。然后引入关键度的概念，按照关键度的大小对重要场次进行评比，通过这个标准找出了各参赛队的关键的场次。针对问题四，本文采用综合指数法建立了一个综合评价模型，预测了最后的冠军得主，并且将12支代表队进行了排名。首先，本文根据积分和得分比，从两个小组选出了四支参加决赛的队伍（A组：数学学院、化学学院B组：信电学院、机电学院）。然后对各项数据进行归一化处理、标准化处理，建立了一个综合评价模型。接着本文通过Excle求解，预测数学学院代表队能够获得冠军。最后本文通过积分数和比分率对未进入决赛的队伍进行排名。结果如下：1-4名：数学学院、信电学院、机电学院、化学学院5-8名：管理学院、物理学院、测绘学院、生物学院9-12名：能源学院、计算机学院、资源学院、地理学院针对问题五，本文对各个参赛队在技术方面提出了一些建议。首先，本文将所有参赛队的各项指标分别进行处理，求得各项指标的平均值作为一个参考量。然后通过作图的方式进行评比，找出各个学院比较落后的技术指标。最后根据比较结果并参考各项指标的关联度提出了相应的建议。在模型的优化和推广中，本文考虑了时间安排对结果的影响，提出了增加权重指标进行排名的思想，优化了模型，最后对模型的推广进行了阐述。关键词：灰色

1

----和某代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；----某代表队的17项技术指标（=1、2、3......16、----某代表队的球员（x=4、5、6......16）；----和某代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；----某代表队的17项技术指标（=1、2、3......16、----某代表队的球员（x=4、5、6......16）；----灰色关联度模型中的分辨系数，0＜＜1。----进入决赛所必须得到的最低积分----满足第一种情况的所有的场次集合---不满足第一种情况且满足第二种情况的所有场次的集合----不满足第一二种情况且满足第三种情况的所有比赛场次的集合----不满足第一二三种情况的其他特殊情况的集合j17）；

运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。篮球竞赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动队竞赛成绩的客观标准。某大学有12个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛。首先进行分组赛，共分两组，每组6支代表队；小组赛结束后，每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛。附表1和附表2分别为第一组和第二组的比赛结果。请你根据这些数据，研究各个代表队的下列问题：（1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。（2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行排序。（3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。（4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并将这12支代表队的名次进行排序。（5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞技水平。

符号说明i•

j

x

RZ

M

N

2

iii

i题目中所给条件和数据是确定的、有效的。忽略各种外界、主观因素的影响，如：裁判误判、放弃比赛、场地影响等。默认在所有比赛中所有队伍都是正常发挥，不存下超常发挥、状态不良等情

忽略个人对总成绩的影响，队员上场时间不作为技术指标。假设灰色关联度模型中分辨系数：ζ=0.5。每组进行循环赛，每个组共有15场比赛，每个代表队有5场比赛。假设在小组赛中积分规则为：胜：iii

i题目中所给条件和数据是确定的、有效的。忽略各种外界、主观因素的影响，如：裁判误判、放弃比赛、场地影响等。默认在所有比赛中所有队伍都是正常发挥，不存下超常发挥、状态不良等情

忽略个人对总成绩的影响，队员上场时间不作为技术指标。假设灰色关联度模型中分辨系数：ζ=0.5。每组进行循环赛，每个组共有15场比赛，每个代表队有5场比赛。假设在小组赛中积分规则为：胜：2分，负：0分，没有平局。.从积分和比分率两个方面评判是否有资格进入决赛。关键场次分为三类，一类是决定是否淘汰的场次，一类是决定是否入选决赛i----某代表队标准化处理后技术指标X与总成绩的Xi的差值的绝对值。jai(x)---某代表队和第i队比赛时x球员第j项的指标数；jXi----某代表队和第i个队比赛时第j项的指标总数。j

X----某代表队标准化处理后和第个队比赛时第j项的指标总数。j

Xjj1Ai----第只代表队的关键场次的集合

S----各项指标的个体指数。j

S----参加决赛的四支队伍的综合指标。j

Maxj----第j项技术指标与总成绩的标准最大偏差值

Minj----第j项技术指标与总成绩的标准最小偏差值

模型假设

1、2、3、况。4、5、6、7、8、9、的场次，一类如果两支队伍积分相同，则二者比赛的那一场也是关键场次。

模型的建立与求解

针对问题一一、问题的分析

3

j

1、题意分析及简化处理j

（1）通过对题目的仔细阅读和初步分析我们得到如下信息：

➢一共有12个学院的12支篮球代表队，每6个代表队为一组进行比赛。➢比赛为小组循环制，因此每个代表队都会参加五场比赛。➢题目中给出了各代表队每场比赛中每个球员上场时间、2分球、3分球、罚球、进攻、防守等相关数据。➢在小组循环赛中没有队伍弃权或放弃比赛。

（2）需要解决的问题：对各个篮球代表队的各项技术指标数据进行统计、计算、分析，得出每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。

（3）在问题的条件和目的明确之后，我们对问题进行初步的分析，提出了如下基本假设和简化运算方法：

➢默认题中所给每个队的各项技术指标数据能够客观反映一个队的整体水平。➢不用单独的去分析每个队员的各项技术指标情况，而将每一项指标做为一个整体来讨论分析。简化运算，提高模型的可操作性。➢因为从整体考虑，因此队员上场时间不纳入技术指标的范围。➢最后确定在一场比赛中的技术指标为：2分球、三分球、罚球的进球数、投篮数、命中率、进攻次数、防守次数、攻防合计次数、犯规次数、失误次数、抢断次数、盖帽次数。➢因为12支代表队的各项指标种类一样，因此选取一支代表队作为例子推导建立模型，最后通过建立的模型分别求解其他11支代表队的结果。

2、基本模型的分析推导

通过分析，题中所给的各种技术指标的数据没有统一的单位度量，例如：进攻、防守等技术指标的单位是“次数”，而2分球、3分球命中率是一个比率。因此需要通过标准化处理（无量纲化），对数据进行统一，然后对处理后的数据进行分析和比较得出各技术指标和成绩之间的关联关系。通过大量查阅资料，本文选择采用灰色系统中的灰色关联分析法来进行求解。

设：任取一个代表队为T；设：i•---和T代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；设：j---T代表队的17项技术指标（=1、2、3......16、17）；

设：x---T代表队的球员（x=4、5、6......16）；设：ai(x)----T代表队和第i队比赛时x球员第j项的指标数；j设：Xi----T代表队和第i个队比赛时第j项的指标总数。j

4

ai(4)iai(5)i……iii15i11X2……116117XiXiai(4)iai(5)i……iiX122……X16X17iiXai(4)iai(5)i……ii21X2……216217j0ai(4)iai(5)i……iiX132……X16X17…3X…33X4XX4X44X5XX5ai(4)iai(5)i……iii15i11X2……116117XiXiai(4)iai(5)i……iiX122……X16X17iiXai(4)iai(5)i……ii21X2……216217j0ai(4)iai(5)i……iiX132……X16X17…3X…33X4XX4X44X5XX555i

ai(5)i

已知：ai(x)=i…ai(14)ai(14)ai(14)ai(14)ai(14)i

ai(15)ai(15)ai(15)ai(15)ai(15)i

首先，通过前面的分析，将每一项指标做为一个整体来讨论分析。因此我们可得，第个队比赛时第j项的指标总数为：

Xiai(x)jx4

X1

X12可得：Xi=j…X16

X17

其次，因为所求的指标总数不统一，我们对数据进行标准化处理。即取在一场比赛中数据作为参考数据，然后将五组数据分别对这组数据进行商运算。从而得到一组没有量纲的数据，把各种不同单位数据建立有机的联系。

设：---T代表队标准化处理后和第个队比赛时第j项的指标总数。j设：X0----T代表队在5场比赛中选取的第j项的指标总数参考数据。j

标准化的各指标总数：Xjj

5

X11X22……X1616X1717ijXXjiiijXX21XX31X…XX161XX1712X12X2……2X162X17iii1122212231i…22162217X11X12……X116X17117XX21XX31……X1X13132……3163X33213331……316317XXXX…X16XX1XXXX…X1X14141414174444…3171317X11X22……X1616X1717ijXXjiiijXX21XX31X…XX161XX1712X12X2……2X162X17iii1122212231i…22162217X11X12……X116X17117XX21XX31……X1X13132……3163X33213331……316317XXXX…X16XX1XXXX…X1X14141414174444…31713171X1X2X16XX17XXXXX…XX5X5X515155554411XXXX121144XXXXXX115555

1

1

2

可得到：Xi=j…

1

16

1

17

然后，通过求解出的标准化的无量纲数据，我们可以建立各项指标与总成绩的差数列，从而可以得到各指标对总成绩的偏差范围。

设：Xi---T代表队标准化处理后和第个队比赛时第项的指标总数。j

设：---T代表队标准化处理后技术指标X与总成绩的的差值的绝j对值。则：XXXj

0

0

计算可得：=j…

0

0

6

2i

2iXMax(j)j1、2、3......16、17）；iMi2i

2iXMax(j)j1、2、3......16、17）；iMinjMaxj

ij

最大偏差：MaxjMax(X1、XX1X)11jj最小偏差：MinjMin(X1、XX1X)11jj

设：-----为分辨系数，0＜＜1。

设：Ki----T代表队与第i代表队比赛时第j项指标与总成绩的关联度。j则在每场比赛中各项指标与总成绩的基本关联系模型为：

ijj其中：i•={1、2、3、4、5}

j{1、2、3......16、17}

通过对基本模型的分析和推导，我们得到了各项指标与总成绩的基本关系模型。有了可靠的数学推导方法，由此深入，我们可以建立最终的模型。

二、模型的建立

通过上面对问题一的题意分析和基本模型的推导过程，我们可以得到在每场比赛中各项指标都与总成绩有一个关联系数。已知每个代表队有五组比赛成绩，因此只要我们对这五个关联度求均值，就能求出各项指标与总成绩的最终的关联关系度。因为12支代表队的指标种类相同，可以采用相同的模型进行求解，因此这次取任意一个代表队建立模型。

设：T----任意取一支代表队的名称；设：i•----和T代表队比赛的其他队伍的编号（i•1、2、3、4、5；设：j----T代表队的17项技术指标（

设：k----参加比赛的总的次数。设：Ki----T代表队与第代表队比赛时第项指标与总成绩的关联度；j设：R(j)-----各项指标与成绩的最终关联度。

7

1

j{1、2、3......16、17}

XMax(j)Max(X1、XX)Min(X1、XX)1

j{1、2、3......16、17}

XMax(j)Max(X1、XX)Min(X1、XX)iiiXii17MinjMaxj

i2i2iiXai(x)0j0150

R(j))jj1约束条件：

比赛次数：k5对手编号：i•={1、2、3、4、5}技术指标：

每场比赛的各项指标与总成绩的关联关系值：Ki0,1j

ijj分辨系数：0＜＜1

最大差值：Maxj11j最小差值：Minj11j对应差数列：XXX0jj1

标准化后的各指标总数：Xjj

初始各指标总数：Xjix4各队员在每场比赛中的各项指标：ai(x)0i

三、模型的求解

（1）通过上面的分析和建立的模型，求解过程如下：

1)统计处理。将各个代表队在各场比赛中的的各项技术指标进行统计求和。2)标准化处理（无量纲化）。采用除运算去掉成绩和各技术指标量纲，并转化为一个比较小的数据，简化运算。

8

根据指标总数模型Xiai(x)统计每场比赛各项技术指标之和。i数学学院8422405592536131515物理学院94173253.13143046.671826化学学院69143441.1892931.031419生物学院62132944.83103727.03610资源学院902238根据指标总数模型Xiai(x)统计每场比赛各项技术指标之和。i数学学院8422405592536131515物理学院94173253.13143046.671826化学学院69143441.1892931.031419生物学院62132944.83103727.03610资源学院90223857.89112445.831326并提出各项指标的最大偏差和最小偏差数据。4)求解关联系数。通过建立的基本关系模型，确定分辨系数的值，求解出在每场比赛中各技术指标与总成绩之间的关联系数。5)求解关联度。将已求解出来的关联系数取平均值，求解出各项技术指标与总成绩的关联系数。

（2）以计算机学院为例：

1）

x4最后通过Excle统计处理后的数据如下：

计算机学院与其他学院比赛的技术指标（1）

对手

技术指标

总得分（分）

2分命中（次）

2分总投（次）

2分命中率

（%）

3分命中（次）

3分总投（次）

3分命中率

（%）

罚中次数（次）

罚投次数（次）

9

86.6715254092113121Xi数学学院11169.238162411301232iX物理学院1.11900.77270.800073.687323915211422j0化学学院0.82140.63640.8500601326396271981生物学院0.73810.59090.72505061622142512101资源学院1.07141.00000.9500

罚进率（%）86.6715254092113121Xi数学学院11169.238162411301232iX物理学院1.11900.77270.800073.687323915211422j0化学学院0.82140.63640.8500601326396271981生物学院0.73810.59090.72505061622142512101资源学院1.07141.00000.9500

进攻（次）

防守（次）

合计（次）

助攻（次）

犯规（次）

失误（次）

抢断（次）

总积分（分）

（表1）

2）根据标准化模型X，将总成绩和所有指标数据进行无量纲化处jj理。通过分析，与数学学院比赛时计算机学院代表队的各项指标的数据比较适中，因此在这里我们选择和数学学院比赛的各项技术指标数据作为参考数据，做商运算。通过Excle计算最后得到如下数据：

计算机学院与各学院之间的比赛指标（2）

对手

技术指标

总得分

2分命中

2分总投

10

111111111111111iij0.96601.55561.20001.29641.38461.73330.79880.53330.64000.60001.22221.42860.92310.25002.0000X10.74871.00001.16000.86191.07691.26670.85010.46671.28000.97501.66671.00001.07690.16672.0000i0.81511.11111.48000.75080.46150.66670.69230.86671.04000.97500.66671.28571.46150.66671.0000，我们带入通过标准化处理后的数据，通过1.05251.22220.96001.27311.00001.73330.57690.40000.64000.55001.55561.19050.92310.83331.0000

2分命中率111111111111111iij0.96601.55561.20001.29641.38461.73330.79880.53330.64000.60001.22221.42860.92310.25002.0000X10.74871.00001.16000.86191.07691.26670.85010.46671.28000.97501.66671.00001.07690.16672.0000i0.81511.11111.48000.75080.46150.66670.69230.86671.04000.97500.66671.28571.46150.66671.0000，我们带入通过标准化处理后的数据，通过1.05251.22220.96001.27311.00001.73330.57690.40000.64000.55001.55561.19050.92310.83331.0000

3分命中

3分总投

3分命中率

罚中次数

罚投次数

罚进率

进攻

防守

合计

助攻

犯规

失误

抢断

盖帽

（表2）

3）经过标准化处理后，我们得到了总成绩与各项指标的无量纲化数据，统一了度量之后我们就可以求解出对应的差数列以及差数列中对应的各项指标的最大偏差值和最小偏差值。通过差值模型XXjExcle求解结果如下：

计算机学院与各学院之间的比赛指标差数列及最大偏差最小偏差

11

数学学院00000000000000000MinMaxjXMax(j)物理学院0.34630.31900.15300.43650.08100.17730.26560.61430.32030.58570.47900.51900.10320.30950.19600.86900.8810ji化学学院生物学院0.18510.02860.07270.17860.33860.04050.25550.44520.02870.35480.45860.15360.84520.17860.25550.65481.1786资源学院0.14720.01310.07700.37300.74190.01270.27660.07140.04580.12860.30190.23690.07140.54760.72340.07140.2619Min0.07140.12140.01890.15080.11140.20160.07140.66190.49450.67140.43140.52140.48410.11900.14840.23810.0714Max000000000000000000.34630.31900.15300.43650.74190.20160.27660.66190.49450.6714数学学院00000000000000000MinMaxjXMax(j)物理学院0.34630.31900.15300.43650.08100.17730.26560.61430.32030.58570.47900.51900.10320.30950.19600.86900.8810ji化学学院生物学院0.18510.02860.07270.17860.33860.04050.25550.44520.02870.35480.45860.15360.84520.17860.25550.65481.1786资源学院0.14720.01310.07700.37300.74190.01270.27660.07140.04580.12860.30190.23690.07140.54760.72340.07140.2619Min0.07140.12140.01890.15080.11140.20160.07140.66190.49450.67140.43140.52140.48410.11900.14840.23810.0714Max000000000000000000.34630.31900.15300.43650.74190.20160.27660.66190.49450.67140.47900.52140.84520.54760.72340.86901.1786技术指标2分命中

2分总投

2分命中率

3分命中

3分总投

3分命中率

罚中次数

罚投次数

罚进率

进攻

防守

合计

助攻

犯规

失误

抢断

盖帽

（表3）

4）得到差数列后，我们得到了各项指标在每场比赛和总成绩之间的最大偏差值

和最小偏差值。建立的基本关系模型为：Ki求解出各jj场比赛各技术指标与总成绩的关联关系，最后通过最终的灰色关联系数模型

12

)求解得出最后的关系度。数学学院1111111111111111物理学院0.62980.64880.79380.57450.87920.76870.68930.48960.64790.50150.55160.53170.85100.65560.750417化学学院0.76100.95380.89020.76740.63510.93570.69760.56960.95360.62420.56240.79330.41080.76740.6976生物学院0.80010.97830.88440.61240.44270.97880.68060.89190.92790.82090.66120.71330.89190.51830.4489资源学院0.89190.82910.96900.79620.84100.74510.89190.47100.54370.46740.57730.53050.54900.83190.7989关联度0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.67050.71380.74050.75470.7392

)求解得出最后的关系度。数学学院1111111111111111物理学院0.62980.64880.79380.57450.87920.76870.68930.48960.64790.50150.55160.53170.85100.65560.750417化学学院0.76100.95380.89020.76740.63510.93570.69760.56960.95360.62420.56240.79330.41080.76740.6976生物学院0.80010.97830.88440.61240.44270.97880.68060.89190.92790.82090.66120.71330.89190.51830.4489资源学院0.89190.82910.96900.79620.84100.74510.89190.47100.54370.46740.57730.53050.54900.83190.7989关联度0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.67050.71380.74050.75470.7392jj1

根据上网查阅资料和分析，我们设分辨系数=0.5，通过Excle计算得到了

计算机学院与各学院之间的比赛指标的关联系数和关联度如下表：

计算机学院与各学院之间的比赛指标的关联系数和关联系数和关联度

对手

技术指标

2分命中

2分总投

2分命中率

3分命中

3分总投

3分命中率

罚中次数

罚投次数

罚进率

进攻

防守

合计

助攻

犯规

失误

13

112分投0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.8146防守0.68280.67050.71380.74050.75470.73920.69640.66372分%0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.8136112分投0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.8146防守0.68280.67050.71380.74050.75470.73920.69640.66372分%0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.8661合计0.67470.64390.68200.84140.79010.82410.78790.61482分投0.95230.92760.82650.85730.84210.83440.78930.71070.9384防守0.76740.88620.87680.82820.76200.80650.80460.77022分%0.76380.8169合计0.40410.40082分%

合计3分中助攻2分%合计3分中0.86700.79230.85520.82190.70830.70250.9171助攻0.47370.33333分中助攻3分投犯规3分中助攻3分投犯规0.89190.69233分投犯规3分%失误3分投犯规3分%失误0.71220.89193分%失误罚中抢断3分%失误罚中抢断0.69640.6637罚中抢断罚次盖帽罚中抢断罚次盖帽罚次盖帽罚%罚次盖帽罚%罚%罚%

盖帽

（表4）

（3）将以上求解过程推广到其他11个学院的代表队中，我们即可以得到各个学院篮球代表队的各项技术指标与总成绩的关联度。

问题一最终的结果如下：

A组学院计算机学院各技术指标与总成绩的关联度2分中关联度进攻关联度

数学学院各技术指标与总成绩的关联度2分中2分投关联度进攻防守关联度

(详细数据请见附件)

B组学院机电学院各技术指标与总成绩的关联度2分中关联度进攻关联度

信电学院各技术指标与总成绩的关联度2分中2分投关联度进攻防守

14

0.76530.65750.7340.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.7688

(详细数据请见附件)

针对问题二

1、问题的分析通过对题意的仔细阅读和分析，本文需要解决的问题是根据技术指标的对成绩贡献度的大小，对这些技术指标进行排名。通过查阅互联网资料和社会经验分析，再一支篮球队中，每一项技术指标都对成绩有影响作用。并且关联度越高则对结果的影响越大。因此，我们简化运算，通过判定各项指标的关联度的大小来对贡献大小进行排名。

2、问题的求解以计算机学院为例，根据模型一建立的关联度模型和求解出来的各项指标的关联度。最后的排名如下表：

A组学院数学学院各技术指标排名123456789技术指标罚%助攻2分%失误罚次犯规2分投抢断罚中1011121314151617技术指标2分中3分投3分%合计进攻防守盖帽3分中

物理学院各技术指标排名123456789技术指标2分%2分中犯规助攻2分投3分%3分中罚中防守1010111213141516技术指标合计盖帽罚次罚%3分投失误进攻抢断

(详细数据请见附件)

B组学院地质学院各技术指标排名123456789技术指标2分%2分中3分%合计抢断罚%3分中防守3分投1011121314151617技术指标失误助攻犯规盖帽进攻2分投罚中罚次

信电学院各技术指标排名

15

R

123456789R技术指标罚%2分%3分投3分%2分投犯规助攻3分中盖帽1011121314151617技术指标进攻2分中合计抢断罚中罚次失误防守

(详细数据请见附件)针对问题三一、问题的分析1、题意的分析及简化处理（1）通过对问题的仔细阅读和初步分析，我们得到如下信息：

➢12支队伍被分成2组，每组6个代表队。➢每组进行循环赛，每个组共有15场比赛，每个代表队有5场比赛。➢最后每个有且仅2个代表队进入决赛。➢本问主要是针对小组循环赛的比赛。

（2）需要解决的问题是：找出每个代表队成绩起重要作用的关键场次。

（3）在问题的条件和目的明确之后，我们对问题进行初步的分析，提出了如下基本假设和简化运算方法：

➢在比赛中不想存在平局。➢比赛以积分制。胜积1分，败积0分。➢各小组代表队比赛的场次顺序按照题目所给数据的顺序。➢最后选择两支积分最高的队伍进入决赛。➢如果有两只队伍积分相同，且只有一个进入绝赛的名额，则判定在他们比赛的那一场获得胜利的队伍参加决赛。➢如果有三只或三只以上的队伍积分相同时，只有一个晋级名额时，比较它们的比分率之和，比分率之和最大的队伍就晋级参加决赛。

2、基本模型的分析与推导在对题意和问题要求做出了分析假设和简化过之后。我们开始推导基本的求解模型。因为我们知道了最后的总成绩，因此可以求解出选入决赛的最低要求,即总积分应该排名第二，且积分排名第一的队伍只有一个。我们采用这个排名第二的积分数值作为最低要求，在这里设为。通过分析，关键场次主要分为三个部分：1）第一种情况：当比赛还未进行完，积分数差一分就能达到最低要求分数时的后面的比赛。如果后面的比赛胜利了，则顺利的进入决赛。后面的比赛就比不再作为关键场次。如果没有胜利，则关键场次应该一直向后增加，直到再取得一场胜利或者比赛结束。本文在这里将这些场次统一设为Z。

16

第二种情况：当已经输掉了5-R+1场比赛时之后的比赛。因为如果再输

第二种情况：当已经输掉了5-R+1场比赛时之后的比赛。因为如果再输

第三种情况：

N第四种情况：iN掉一场那么队伍将无缘于决赛，因此下一场是决定是否能够进入比赛的关键场次。如果下一场比赛输掉了，则该队已经不能不能进入决赛，因此后面的比赛将不再作为关键场次。如果在后一场比赛中获胜了，那么再后面一场比赛又变为关键的比赛场次，直到比赛结束或者再输掉一场比赛。本文取不满足第一种情况的这些场次统一设为M。

3）当两支队伍积分相同且都排名第二的情况下，因为最终的判定规则是两支队伍比赛时获胜的一方进入决赛。因此两只队伍之间的比赛也将成为关键的比赛场次。本文取不满足第一种情况及第二种情况的这些场次统一设为。4）当出现三支及以上的队伍出现积分相同的情况下，经过上面的判别之后对剩下队伍选取最先达到该积分的队伍进入决赛。但这些情况包含在了第一种情况内，因此这里不再做单独的讨论，如果有其他情况则统一设这些场次为。

二、模型的建立

根据以上的分析，我们可以得到求解关键场次的模型。设：i----代表队的编号设：R----进入决赛所必须得到的最低积分。设：Ai----第只代表队的关键场次的集合；设：Z-----满足第一种情况的所有的场次集合。设：M----不满足第一种情况且满足第二种情况的所有场次的集合。

设：----不满足第一二种情况且满足第三种情况的所有比赛场次的集合。

设：--------不满足第一二三种情况的其他特殊情况的集合。

则初步筛选的关键场次的集合为：Ai{Z,M,N,}

约束条件：

17

0ZB组：R3关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：0ZB组：R3关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：计算机学院VS关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：关键比赛场次：N化学学院VS数学学院VS物理学院VS生物学院VS资源学院VS资源学院信电学院机电学院测量学院管理学院能源学院地质学院生物学院化学学院化学学院化学学院数学学院VS能源学院VS地质学院VS管理学院VS信电学院VS管理学院VS能源学院R0Z0M0N0

在求解出关键场次的集合后，按照关键度的大小来进行排名，最后求得最关键场次作为结果。设：-------为关键度。

本文在这里假设关键度的排名为：M最后通过关联度的排序，求解出各学院代表队最关键的场次。

三、模型的求解

通过以上建立的模型，通过题目中给出的数据我们得到了两个小组的积分情况，因此在A、B两组中对应入围基本分数R的取之情况为：A组：R3通过Eecle及查阅判断，我们最终得到了参赛的12支代表队的关键比赛场次。经过删选和评比，最关键的场次如下：

A组学院化学学院数学学院物理学院生物学院资源学院计算机学院关键比赛场次：

B组学院信电学院机电学院测量学院管理学院能源学院地质学院

(详细求解数据请见附录。)

18

jSSXXXXjSSXXXXij00ji（1）（2）

一、问题的分析1、题意的分析及简化处理(1)通过对问题的仔细阅读，本问需要解决的问题是：1）预测哪支代表队最有可能夺冠2）将这12支代表队的名次进行排序

（2）通过对题意的初步分析，现确定如下条件和假设：

➢小组比赛结束后，会选取两支队伍进入决赛。➢按照前面的假设，各小组中积分最高的两支队伍将进入决赛。➢冠军肯定产生于进入决赛的四支队伍中。➢决赛中不会出现平局，因此冠军只能在某一支队伍获得。➢没有进入决赛的队伍按照积分进行排名。如果积分相同则根据其比分率的和的大小进行排序。

3、基本模型的分析和推导（1）预测哪支队伍能够夺冠因为在之前只进行过小组循环赛，两个小组的队伍之间没有比赛过。又因为两组对应的第一名和第二名成绩相同，因此不能通过积分来判别最后的冠军。经过分析和查阅资料，本文采用综合指数法建立综合评价模型。求解出对四个队伍技术指标的综合指数进行比较，最后预测出那支队伍最容易夺得冠军。首先，本文根据上面的假设选择各小组进入决赛的队伍。然后，我们对四支队伍中的指标进行处理。在17项技术指标中犯规次数、失误次数指标为反向指标，其它均为正向指标。设：i•---参加决赛的队伍的编号（i•=1、2、3、4）；设：j---各代表队的17项技术指标（=1、2、3......16、17）；

设：x---各代表队的球员（x=4、5、6......16）；设：Xi----第i代表队第j项的指标总数；j设：X0----选取的各项指标的参考值；j

设：Sj----各项指标的个体指数。通过假设可知：犯规次数为第14项指标，失误次数为第15项技术指标。因此我们建立各项技术指标的个体指数模型为：

当j14、15时：jj

当j=14、15时：jj

19

j1717XXSS

j1717XXSS00jij0的四支代表队的综合指数。设：S-----参加决赛的四支队伍的综合指标。j

各代表队的综合指标为：S（=1、2、3......16、17）jjj1在求得了各个学院的综合指标后，我们就可以对综合指标进行排名，从而预测出最有可能夺冠的队伍。

（2）将这12支代表队的名次进行排序在这12支队伍中共分为两部分，一部分是参加决赛的4支队伍，其余的是没有进入决赛的队伍。因为通过综合指数评判方法我们可以得到参加决赛的四支队伍的综合指标，从而预测决赛的6场比赛的结果，排列出前四名。但是因为其余未进入决赛的队伍已经没有比赛了，所以本文将积分值作为排名的依据。因为存在积分相同的队伍，我们求解出积分相同的队伍比分率之和，即自己的比分除以对手比分然后在求和。痛过比分率的大小来判定名次。本文在这里设比分相同的队伍的总积分率为：

二、模型的建立

通过上面的对问题四的分析，我们可以得到四支队伍的综合指数。我们统一数据的时候采用的是正指标，所以在求解得出的综合指数越大的队伍综合实力越强，而综合实力最强的队伍就最有可能夺得冠军。通过以上分析我们可以建立一个求解夺冠热门队伍的数学模型。设：i•---参加决赛的队伍的编号（i•=1、2、3、4）；

设：Sj-----参加决赛的四支队伍的综合指标。设：T----预测的最容易夺冠的队伍。TMaxS,S,S,S1234约束条件：

i•=1、2、3、4

Sjjj1

当=14、15时：Sjj

20

XX5分化学学院（综合指数：11.1588）（综合指数：10.5445）（综合指数：10.2168）（综合指数：10.2000）根据比赛成绩排名冠军亚军季军4数学5各场比赛的比分率之和10.554510.2168ij0数学学院3分5信电310.200005分6机电32.60837化学212.56638管理02.48689物理2.4638XX5分化学学院（综合指数：11.1588）（综合指数：10.5445）（综合指数：10.2168）（综合指数：10.2000）根据比赛成绩排名冠军亚军季军4数学5各场比赛的比分率之和10.554510.2168ij0数学学院3分5信电310.200005分6机电32.60837化学212.56638管理02.48689物理2.46382.452610测绘2.414811生物能源计算机12资源地理jj

三、模型的求解

1、预测哪支队伍能够夺冠

（1）求解过程：1）、根据积分和比分率之和判断出进入决赛的四支队伍。2）、将各项指标统一，通过取倒数将负指标变成正指标。3）、通过综合指数法求解出各项技术指标指标的个体指数。4）、将这些个体指数求和，根据综合指数排名，排第一的则为热门夺冠队伍。

（2）通过上面的求解方法和步骤，通过Excle求解，我们最终得到参加决赛的队伍为：

信电学院A组：B组：机电学院3分

综合指数排名及名次预测如下：

冠军：数学学院亚军：信电学院季军：机电学院第四名：化学学院

2、将这12支代表队的名次进行排序因为上面已经求解出前四名的预测排名，因此根据积分的大小我们将剩下的队伍进行排名，比分相同的队伍我们求解出其对应的比分率，根据比分率的和来排列名次。最后得到的排名如下表：

预测排名名次

学院积分平均综合指数11.1588

21

物理31.05信电45.034化学42.292机电39.636物理31.05信电45.034化学42.292机电39.636生物28.182管理27.46计算机37.312能源38.52资源40.234测绘36.124

一、问题的分析1、通过对问题的仔细阅读，本文需要解决的问题是：对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，提升其实力。

2、问题的分析和解决方案已知，在每支队伍中都有17项技术指标，因此提高各队比较差的技术指标则可以帮助其提高水平。因此本文将12支代表队的各项指标求解出平均值，获得了这17项指标的平均水平。判断各队的各指标与平均指标的大小就可以判断出哪些队伍的哪些技术指标低于平均水平，需要加强。另外，本文将参考网上篮球比赛分析，综合考虑，给出建议。

二、问题的解决1、根据上面对问题的分析。我们对各项指标进行求平均值,然后选出正指标在平均值之下的队伍以及负指标在平均值以上的队伍，这些队伍在这些指标上就需要加强。以三分命中率为例：

学院数学3分命中率（%）29.976学院地质3分命中率（%）37.462

平均3分命中率为：36.11%我们作图分析：

22

各学院“3分命中率”技术指标比较平均36.11中

0机电计算系列140命各学院“3分命中率”技术指标比较平均36.11中

0机电计算系列140命30的球20分10率

3

学院学院学院学院学院学院学院学院学院学院学院学院数学物理化学生物资源地质信电机管理能源测绘

通过柱形图观察，我们可以判定需要提高3分命中率的的代表队有：数学学院、物理学院、生物学院、管理学院。由此方法我们可以得到其余17项指标所需要提高的学院（见附录）

3、在求解出17项指标对应应该提高的学院后，本文将这些数据进行整合，并且查阅大量资料后，最终得到了对各个代表队在技术上的相关建议如下：

A组学院

针对数学学院，本文的建议是：提高2分球、三分球投篮数量，加强三分球命中率，增加进攻、助攻次数。

针对物理学院，本文的建议是：增加3分球、罚球、盖帽次数，并提高命中率；将强防守、并减少犯规次数。

针对化学学院，本文的建议是：增加2分球、罚球次数，并提高命中率；加强进攻，并减少犯规次数。

针对生物学院，本文的建议是：技术、罚球、助攻、抢断、盖帽，减少失误。

针对计算机学院，本文的建议是：增加2分球、罚球、盖帽次数，并提高命中率；加强助攻，并减少犯规次数。

针对资源学院，本文的建议是：增加2分球、3分球、罚球次数，并提高命中率；加强助攻、抢断、盖帽、篮板等技术，并减少犯规次数。

B组学院

针对地质学院，本文的建议是：增加2分球、罚球次数，并提高命中率，并提高篮板、助攻、抢断等技术。

针对信电学学院，本文的建议是：提高2分投篮数和2分命中率，减少犯规

23

和失误次数。

针对机电学学院，本文的建议是：增加2分命中数、3分投篮数、罚球数，加强进攻、助攻技术，并减少犯规和失误次数。

针对管理学院，本文的建议是：增加3分球次数，提高3分球及罚球命中率，减少失误次数等。

针对能源学院，本文的建议是：增加2分球、罚球数，并提高2分命中率；加强进攻、防守、抢断、盖帽等技术。

针对测绘学院，本文的建议是：加强3分球数，并提高2分球、三分球、罚球命中率；加强篮板、助攻、盖帽等技术，减少犯规次数等

模型的评价

1、模型的优点

在本文中，我们引入了灰色系统、综合指数法等比较好的综合评价方法，模型构建和求解中存在了不少的优点，如下：

（1）针对问题一、问题二，本文引入了灰色系统这种综合评价模型。切合题目所给的数据，采用关联度分析方法是根据因素之间发展趋势的相似性和相异程度来衡量因素间关联程度的。在本文中能很好的揭示各项技术指标与总成绩之间的动态关联度。题目给出了各种不同量纲的技术指标数据，不能直接评判起相互关系。关联度分析法是以发展趋势为立足点的，所以他对样本量的多少没有过分要求。灰色系统理论认为这些数据并不是不可捉摸的，为了处理这些数据可以把随机量看成是一定范围内变化的灰色量，按适当的方法对原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，从生成数进而转化的到规律性很强的生成函数。最后充分利用手头已有的数据和信息，求解出同一系统的指标的特定功能和贡献大小。由于灰色系统的这些优点是的非常适合本题的建模。他很好的解决了本体所给出的数据不充分和不典型性。（2）针对问题三，本文的假设很合理。关键场次分为了三类，囊括了机会全部的情况，采用逻辑推理的方法，求解出了结果。这种方法在各种比赛中普遍适用，具有广泛性。（3）针对问题四，本文引入了综合指数法这种综合评价模型。将各平均个体指标求和，得到各个参赛队伍的综合指标，反映了各个代表队的综合实力。采用比分率的方法可以有效的排列积分相同的队伍的名次。针对进入决赛的队伍，因为是预测冠军的得主，而且各小组之间的代表队并没有比赛过。因此，不能通

24

jj

过积分来判定强弱，采用综合评价的方法就可以有效的、准确的确定实力的强弱，jj从而增大预测成功的概率。（5）针对问题五，本文采用了将各项指标和平均指标相比的方法，得到各个学院比较薄弱的技术项目。将各项指标在12支队伍中相互比较，就能寻找到各队之间的差距，从而能够有效的提出合理的建议。

2、模型的缺点

在建模过程中，本文提出了一些假设，并且做了一些简化处理。带有一定的主观性和理想性，因此也存在一些缺点。（1）、数据处理方面：因为数据量大，为了简化运算。本文并没有对各项数据进行具体的分析，没有考虑奇异数据的情况。（2）、在问题假设方面，有一些假设是建立在理想基础上的，而在现实情况下，可能会出现各种其他因素的影响。（3）、在模型构架方面，做的不是很完美，但是求解过程都是经过严密验证的，在这种情况下模型求解做到了最好。

模型的优化与推广

针对上面的分析，考虑到模型可能存在的缺点。在此，本文对部分模型进行优化和推广。

一、模型的优化

1、考虑时间安排在比赛中影响（1）在问题一中，本文假设队员上场时间不做为技术指标，并且将一个队伍的技术指标作为一个整体来建立模型。因为上场时间最多的是最优秀的一些球员，因此相应求得的关联度反映的是上场时间最多的哪些球员的各项指标与成绩之间的关系。因此，本文将模型进行优化，考虑时间在各项技术指标中占的权重，然后运用灰色系统建立综合评价模型。已知：每场比赛的时间数确定为200分钟，任选择一支队伍设为T代队表设：i•---和T代表队比赛的其他队伍的编号（i•=1、2、3、4、5）；设：---T代表队的17项技术指标（=1、2、3......16、17）；

设：x---T代表队的球员（x=4、5、6......16）；设：-----为分辨系数，0＜＜1；

25

x----x号球员在第X0iai

Xiiii

2i

2i

MinjMaxjXMax(j)罚%i17

ijXit200

0x

设：tj上场的时间数。x----x号球员在第X0iai

Xiiii

2i

2i

MinjMaxjXMax(j)罚%i17

ijXit200

0xj设：ai(x)----T代表队和第i队比赛时x球员第j项的指标数；j设：Xi----修正后的T代表队和第i个队比赛时第j项的指标总数。j

设：---修正后的T代表队标准化处理后和第i队比赛时j的指标总数。j设：X----修正后的T代表队选取的第j项的指标总数参考数据。j

设：Ki----修正后的T代表队与第代表队比赛时第j项指标与总成绩j的关联度。

根据前面的分析，和第i个队比赛时第j项的修正后指标总数为：

ijjj1

修正后对应的标准化指标为：Xjj

修正后对应差数列：XXXjj1

修正后的最大偏差：MaxjMax(X1、XX1X)11jj

修正后的最小偏差：MinjMin(X1、XX1X)11jj

最终建立的模型为：Kij

j

以计算机学院为例，通过Excle求解，我们得到了修正后的各项指标与成绩的关联度，如下表：

修正后计算机学院各技术指标与总成绩的关联度

2分中2分投2分%3分中3分投3分%罚中罚次

26

0.8865防守0.6008胡知能主编邓聚龙主编张兴永编著华东师大数学系编高等教育出版社0.7521合计0.6547科学出版社华中科技大学出版社中国矿业大学出版社高等教育出版社0.8120助攻0.72470.8552犯规0.74050.8219失误0.75470.7083抢断0.73920.7821盖帽0.74750.8865防守0.6008胡知能主编邓聚龙主编张兴永编著华东师大数学系编高等教育出版社0.7521合计0.6547科学出版社华中科技大学出版社中国矿业大学出版社高等教育出版社0.8120助攻0.72470.8552犯规0.74050.8219失误0.75470.7083抢断0.73920.7821盖帽0.74750.6434

0.65530.8325进攻关联度

经过检验，我们发现个指标与总成绩之间的关联度更加的精确，采用如上方法推广到其他11代表队求解出修正后的关联度。（详细答案见附表）

2、考虑权重对问题四的影响。在问题四的综合评价模型中，如果可以引入权重对比赛结果的影响，则可以为排名提供更有效的依据。对于具体的求解过程，本文不再作过多讨论。

二、模型的推广

1、运用的灰色系统的综合评价模型，可以切合题目所给的数据，采用关联度分析方法是根据因素之间发展趋势的相似性和相异程度来衡量因素间关联程度的。因此可以推广到各种关系不大的指标以及不同量纲的指标的评价。例如：推广到足球比赛等其他各类比赛、房屋建筑指标评定等。综合指数法的综合评价模型可以推广到其他行业进行综合评价排名。例如：职工的业绩排名、医院的各月份的综合排名等。2、引入的比分率的概念，可以推广到其他各类比赛、评比上面。在日常生活中和比赛中经常遇到比分或者成绩等相同的情况，在这种情况下考虑比分率的大小就可以有效减少相同名次的出现和排名困难的囧地。3、按照与平均水平的比较求解的方法可以推广到其他方面评比方面，利用图表可以直观的表现出哪些指标低于平均水平，从而可以判定哪些指标需要加强。这种方法适用于学习、工作和各种竞赛中。

参考文献

【1】运筹学【2】灰理论基础【3】数学建模简明教材【4】数学分析（第三版）【5】高等数学（第五版）同济大学应用数学系编著【6】网站:/view/108b8c4533687e21af45a9c2.html百度文库《灰色关联度分析》

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物理0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.86610.6747化学0.92970.8576物理0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.86610.6747化学0.92970.85760.95540.83160.71190.83520.82550.77740.75160.6859生物0.94590.90640.96130.92030.90230.90450.76330.73630.90310.6987计算机0.78020.78340.82570.64530.73420.68100.79910.76740.86880.6983资源0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.88650.75210.81200.79400.74910.80750.55230.61280.83320.6243

1、各学院各项指标与总成绩的关联度

A组学院数学2分中2分投2分%3分中3分投3分%罚中罚次罚%进攻

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0.64390.68200.84140.79010.82410.78790.6148信电0.89040.72490.89600.86800.84360.88500.59130.54040.87350.77120.86250.87920.82440.80910.84310.87400.79452罚%112分中22分%10合计0.80880.78040.87720.88650.69770.54620.7804机电0.76380.81690.86700.79230.85520.82190.70830.70250.91710.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.76883450.64390.68200.84140.79010.82410.78790.6148信电0.89040.72490.89600.86800.84360.88500.59130.54040.87350.77120.86250.87920.82440.80910.84310.87400.79452罚%112分中22分%10合计0.80880.78040.87720.88650.69770.54620.7804机电0.76380.81690.86700.79230.85520.82190.70830.70250.91710.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.7688345助攻1213143分投3452分中111213盖帽0.93400.91620.83240.85920.71940.89570.7952管理0.95230.92760.82650.85730.84210.83440.78930.71070.93840.76740.88620.87680.82820.76200.80650.80460.770262分%失误罚次153分%合计进攻6犯规助攻2分投14罚次罚%3分投0.93680.87250.79460.74370.54200.70540.6574能源0.85130.93640.85280.70830.74750.65530.87190.79680.88050.73100.79890.80790.76260.72940.77630.80180.71097犯规16防守73分%15失误0.67050.71380.74050.75470.73920.69640.6637测绘0.92470.89590.90910.67670.69500.87990.67510.67470.81810.78920.76900.78610.65500.77620.76170.66810.583182分投17盖帽83分中16进攻0.88210.78210.64340.83250.68550.62000.53200.81630.79350.77530.70900.59280.80310.61940.64970.83980.66510.79000.74230.78080.60470.72470.76710.55309抢断

3分中9罚中

抢断罚中防守合计助攻犯规失误抢断盖帽

B组学院地质2分中2分投2分%3分中3分投3分%罚中罚次罚%进攻防守合计助攻犯规失误抢断盖帽2、各学院代