二项式系数的性质

关于二项式系数的性质第1页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数表11121133114641151010511615201561第2页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三《详解九章算法》记载的表杨辉

三角杨辉

以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第3页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：二项式系数的性质111211331146411510105116152015612134610第4页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二项式系数的性质先增后减对称第5页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数。可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。★对于二项式系数，r与之间也有对应关系，即：r012

…r…n…二项式系数与函数…第6页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三

从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定义域为{0，1，2，…，n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

即：r是自变量，r自变量二项式系数是函数值，组合数公式就是相应函数的解析式。123二项式函数值二项式系数与函数第7页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三①当n=6时，二项式系数（0≤r≤6）用图象表示：7个孤立的点13……n…12322nOrf(r)6361420

①与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值①先增后减②关于r=3对称②r=3时取得最大值第8页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三f（r）n为奇数；如n=7f（r）rnO6152013n为偶数；如n=620103035On743①关于r=n/2对称②r=3和r=4时取得最大值第9页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三二项式系数的性质

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项二项式系数和相等，且同时取得最大值。即

即

和第10页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n是偶数时，中间的一项取得最大时；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k•(k-1)=Ck-1n•kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn–k+1>1k<n+12因而2.增减性与最大值第11页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n+++…+令x=1；赋值法令x=-1；0++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=

也就是说,(1+x)n的展开式中的各个二项式系数的和为，且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和2n第12页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().C课堂练习:A.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项().4，化简+++

+=3，已知展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=______。18第13页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例1、证明的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。ban)(+证明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展开式中1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，则得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项系数的和。证毕。上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解第14页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三变式练习：+…7210)(+++=-72721xaxaxaax已知则=+++6420aaaa71a=+++2aa…7=+++531aaaa简解:令x=1,则则令x=-1,7a++5a6a102++aaa+=++3a4a(=)-721•1-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a---)+(721•1=371…2…1由得71a=+++2aa…-212-)(2由得12+)(2由得-2-109410937=+++531aaaa-1094=+++6420aaaa1093(

x=0时,a0=1)第15页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三123……n…123注意：

求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取－1，1，0。第16页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三小结:

（2）数学思想：函数思想a图象、图表；b单