二次型化为标准型的三种方法

关于二次型化为标准型的三种方法1第1页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三2定理任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形。(1)若aii不全为零,设a11≠0则上式可写成第2页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三3配方第3页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三4第4页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三5它是非退化的,代入后对y2,y3,…,yn的二次型.第5页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三6当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)(2)若aii=0(i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,设a12≠0,则第6页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三7它是非退化线性的替换,代入后第7页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三8反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型化为标准形.因为x=Cy,|C|≠0y=Dz,|D|≠0则x=(CD)z,|CD|=|C||D|≠0也是非退化线性替换.第8页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三9以上做法中,每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二次型为标准形.定理对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC为对角阵.即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法.第9页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形.拉格朗日配方法的步骤例1第10页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三解含有平方项去掉配方后多出来的项第11页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三所用变换矩阵为第12页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三13解:配方化简第13页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三14代入可得标准形为第14页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三15非退化线性替换矩阵为第15页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三16

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第16页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三解例3由于所给二次型中无平方项，所以第17页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三再配方，得第18页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三所用变换矩阵为第19页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三20第20页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三21第21页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第22页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三解step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例()()9182--=ll从而得特征值第23页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三step2．求特征向量得正交向量组step3．将特征向量正交化第24页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P第25页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三于是所求正交变换为第26页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三27第27