新教材2023版高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切第1课时两角和与差的正弦学案新人教B版必修第三册

8．2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦【课程标准】1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系．2．能运用上述公式进行简单的恒等变换．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝______________________．(2)Sα－β：sin(α－β)＝______________________．知识点二辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝____________sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝____________，sinθ＝____________.状元随笔根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．基础自测1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值为()A．12 B．C．32 D2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝(A．－7210 B．7210 C．－2103．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是()A．π2 B．π C．2π D．4．已知α为锐角，sinα＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝课堂探究·素养提升——强化创新性题型1利用公式化简求值例1(1)sin47°-sinA．－32 B．－C．12 D．(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．状元随笔(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．方法归纳(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：①化为特殊角的三角函数值；②化为正负相消的项，消去，求值；③化为分子、分母形式，进行约分再求值．(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．跟踪训练1化简下列各式：(1)sin(x＋π3)＋2sin(x－π3)－3cos(2π3(2)sin2α+βsinα－题型2给值(式)求值例2(1)设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cosα＝－12，sinβ＝－32，求sin(应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．(2)已知sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114且α①求sin(2α＋β)；②求β.跟踪训练2已知0<β<α<π2，点P(1，43)为角α的终边上一点，且sinαsin(π2－β)＋cosαcos(π2＋β)＝3314，则角A．π12 B．C．π4 D．方法归纳(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．题型3辅助角公式的应用【思考探究】(1)函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？[提示]不对．因为sinx＋cosx＝2(22sinx＋2＝2(sinx·cosπ4＋cosx·sinπ＝2sin(x＋π4)所以函数的最大值为2.(2)函数y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？[提示]因为y＝3sinx＋4cosx＝5(35sinx＋45cosx令cosφ＝35，sinφ＝4则y＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，所以函数y的最大值为5.(3)如何推导asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)(tanφ[提示]asinx＋bcosx＝a2+b2(aa2+令cosφ＝aa2+b2，sinasinx＋bcosx＝a2+b2(sinxcosφ＋cos＝a2+b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝ba确定，或由sinφ＝ba2+b例3(1)函数f(x)＝sin2x＋3cos2x的单调递增区间是()A．[kπ－5π12，kπ＋π12](kB．[2kπ－π3，2kπ＋π6](k∈C．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈D．[2kπ－5π12，2kπ＋π12](k(2)设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋π3)①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到．状元随笔辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．跟踪训练3(1)已知a＝(3，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间；状元随笔解答此类问题的关键是巧妙构建公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(2)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x，将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一个对称中心是(A．(3π8，0)B．(πC．(5π8，0)D．(3方法归纳(1)把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．(2)函数图象可通过y＝sinx→y＝sin(x＋π6)→y＝3sin(x＋π6教材反思(1)两角和与差的正弦公式的结构特点①公式中的α，β均为任意角．②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系(3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式．8．2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦新知初探·自主学习[教材要点]知识点一(1)sinαcosβ＋cosαsinβ(2)sinαcosβ－cosαsinβ知识点二a2+b2[基础自测]1．解析：原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12答案：A2．解析：∵cosα＝－45，α为第三象限角，∴sinα＝－35，由两角和的正弦公式得sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosα·sinπ4＝(－35)×22＋(－答案：A3．解析：y＝sinx－cosx＝2(22sinx－22cosx)＝2sin(x－π4)，答案：C4．解析：∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝4又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－45∴cosβ＝45，sinβ＝－3∴sin(α＋β)＝35×45+45答案：0课堂探究·素养提升例1【解析】(1)sin＝sin＝sin＝cos17°sin30°(2)原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ【答案】(1)C(2)见解析(3)见解析跟踪训练1解析：(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3-3cos2π3＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－＝(12＋1－32)sinx＋(32-(2)原式＝sin＝sin＝sin＝sinβ例2【解析】(1)因为α∈(π2，π)，cosα＝－1所以sinα＝32因为β∈(3π2，2π)，sinβ＝－所以cosβ＝12所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝32×12＋(－12)×(－(2)①因为α，β∈(0，π2)，sinα＝4所以cosα＝1-sin2又因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1-cos2所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝437×(－1114)＋1②sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314·17+1114·又因为β∈(0，π2)，所以β＝π跟踪训练2解析：因为|OP|＝7，所以sinα＝437，cosα＝由已知sinαsin(π2－β)＋cosαcos(π2＋β)＝根据诱导公式化简得sinαcosβ－cosαsinβ＝33所以sin(α－β)＝33因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π所以cos(α－β)＝1-sin2所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×因为0<β<π2，所以角β＝π答案：D例3【解析】(1)f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，(k∈即函数的单调递增区间为[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈(2)①f(x)＝sinx＋sinxcosπ3＋cosxsinπ3＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sin＝3(sinxcosπ6＋cosxsinπ6)＝3sin(x＋π当sin(x＋π6)＝－1时，f(x)min＝－3此时x＋π6＝3π2＋2kπ(k∈Z)，所以x＝4π3＋2kπ(所以f(x)的最小值为－3，x的集合为{x|x＝4π3＋2kπ，k∈Z②将y＝sinx的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y＝3sinx的图象；然后将y＝3sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f(x)＝3sin(x＋π6【答案】(1)A(2)见解析跟踪训练3解析：(1)f(x)＝3sinx－cosx＝2(sinx·32－cosx·1＝2(sinxcos