八年级数学竞赛试题201304

八年级数学竞赛试题201304

八年级数学竞赛试题一、选择题（每小题4分，共32分）1.已知$x^2+kxy+64y^2$是一个完全平方式，则$k$的值是（）A.8B.±8C.16D.±162.下列各命题中，假命题的个数为（）①面积相等的两个三角形是全等三角形；②三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等；④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形。A.1B.2C.3D.43.已知点$P_1(a-1,5)$和$P_2(2,b-1)$关于$x$轴对称，则$(a+b)^{2005}$的值为（）。A.B.-1C.1D.$(-3)^{2005}$4.如图14-85所示，在锐角三角形$ABC$中，$CD$，$BE$分别是$AB$，$AC$边上的高，且$CD$，$BE$交于一点$P$，若$\angleA=50°$，则$\angleBPC$的度数是（）A.150°B.130°C.120°D.100°5.如图14-15所示，有一矩形纸片$ABCD$，$AB=10$，$AD=6$，将纸片折叠，使$AD$边落在$AB$边上，折痕为$AE$，再将$\triangleAED$以$DE$为折痕向右折叠，$AE$与$BC$交于点$F$，则$\triangleCEF$的面积为（）A.4B.6C.8D.106、直线与$y=x-1$两坐标轴分别交于$A$、$B$两点，点$C$在坐标轴上，若$\triangleABC$为等腰三角形，则满足条件的点$C$最多有（）。A、4个B、5个C、7个D、8个7、如图，从下列四个条件：①$BC=B'C$，②$AC=A'C$，③$\angleA'CA=\angleB'CB$，④$AB=A'B'$中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，是一个改造后的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知$|a+1|<3$，则$a$的取值范围是$(-\infty,\quad\_\_\_)\cup(\_\_\_\quad,\quad\infty)$。2、已知$\log_32=a$，$\log_43=b$，则$\log_29=$\underline{\quad\quad}。3、已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，$E$为$AD$的中点，则$BE=$\underline{\quad\quad}。4、若$3^x+3^{-x}=18$，则$x=$\underline{\quad\quad}。5、若$\log_2a+\log_4b=3$，$\log_2b+\log_4a=5$，则$\log_2ab=$\underline{\quad\quad}。6、已知$\triangleABC$的三边长分别为$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sinA=$\underline{\quad\quad}。三、解答题（共38分）1、（10分）如图，在$\triangleABC$中，$AD$，$BE$，$CF$为三条角平分线，且$AD$，$BE$交于点$O$，求证：$OC$垂直于$EF$。2、（12分）已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{4-x}$，$x\in(-\infty,2)\cup(2,4)\cup(4,\infty)$，求$f(x)$的最小值和最大值。3、（16分）已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-2x+3}{x^2+1}$，$x\in\mathbb{R}$，求$f(x)$的单调区间和最值。AD⊥BC，DE⊥AB，DE=2，求BC的长。解析：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AB=AC，设AB=AC=x，则BD=CD=x/2。又因为AD⊥BC，所以AD是BC的中线，所以AD=BD=x/2。又因为DE⊥AB，所以AE=EB，由勾股定理可得AE=EB=√(x²/4-1)。又因为AD=BD=x/2，所以DE=AD-AE=x/2-√(x²/4-1)。又因为DE=2，所以x/2-√(x²/4-1)=2，解得x=2√5。所以BC=AB=AC=2√5。(1)根据题目所给的条件，E和F分别是AB和AC上的点，且BE=AF。要证明△DEF为等腰直角三角形。证明：首先，连接DE和DF，我们可以得到△DEF。由于BE=AF，所以AE=BF，因此△ABE和△ACF是全等三角形。因此，∠BAE=∠CAF，∠ABE=∠ACF，∠AEB=∠AFC。由于∠ABE和∠ACF为直角，所以∠AEB和∠AFC为直角。因此，△DEF为等腰直角三角形，证毕。(2)在这种情况下，E和F分别是AB和CA的延长线上的点，但仍有BE=AF。现在要证明△DEF是否仍为等腰直角三角形。证明：首先，连接DE和DF，我们可以得到△DEF。由于BE=AF，所以AE=BF，因此△ABE和△ACF是相似三角形。因此，∠BAE=∠CAF，∠ABE=∠ACF，∠AEB=∠AFC。由于∠ABE和∠ACF为直角，所以∠AEB和∠AFC为直角。因此，△DEF为等腰直角三角形，证毕。(3)某批发商要将一批海产品从A地运往B地，路程为120千米。汽车货运公司和铁路货运公司均提供海产品运输服务，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时。两家公司的收费标准如下表所示：运输工具运输费单价（元/吨·千米）冷藏费单价（元/吨·小时）过路费（元）装卸及管理费（元）汽车252005火车1.8516005（1）设该批发商待运的海产品有x吨，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1和y2，求y1和y2与x的函数关系式。解：对于汽车货运公司，运输费用为2元/吨·千米，冷藏费为5元/吨·小时，过路费为200元，装卸及管理费为5元，总费用为：y1=2x×120+5x×1+200+5=240x+205对于铁路货运公司，运输费用为1.8元/吨·千米，冷藏费为5元/吨·小时，过路费为1600元，装卸及管理费为5元，总费用为：y2=1.8x×120+5x×1+1600+5=216x+1605因此，y1和y2与x的函数关系式分别为y1=240x+205和y2=216x+1605。（2）如果该批发商待运的海产品不少于30吨，为了节省运费，他应该选择哪家