人教版高中数学必修五23等比数列1课件

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必修5第二章数

列2.3

等比数列第二章第1课时等比数列的概念及通项公式课堂典例讲练2课时作业4课前自主预习1易错疑难辨析3课前自主预习我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫

“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？1．等比数列的定义如果一个数列从

第2项起，每一项与它的前一项的比都等于

同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

公比

，公比通常用字母

q

表示．2．等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，填表：递推公式通项公式an

＝

q

(n≥2)an－1a

＝

a1qn－1n

3.等比中项如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么G2＝xy

，即

G＝±

xy

．n11.在等比数列{a

}中，已知a1＝9，5

3a

＝9，则a

＝(

)B．3D．±3A．1C．±1[答案]

A[解析]

设公比为q，则a5＝a1q4，∴q4＝81，∴q2＝9.3

11∴a

＝a

q2＝9×9＝1.2．已知－1，x，－4成等比数列，则x的值为()5A．2

B．－2C．2或－2

D.

2或－

2[答案][解析]C由题意，得x2＝4，又∵x是－1和－4的等比中项，∴x＝±2.3．(2013～2014学年度吉林省白城市高二期末测试)已知等差数列{an}的公差为2，若a3是a1与a4的等比中项，则a2＝(

)B．－6D．－10A．－4C．－8[答案][解析]B由题意，得a＝a1·a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8.∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成

个？[答案][解析]256设逐次分裂后的个数为an，则{an}构成以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2n，经过4小时，共分裂

8次，∴a8＝28＝256，∴这种细菌经过4小时可由1个繁殖成256个．5．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝

.[答案][解析]32设公比为q，则a4＝a1q3，a4

8∴q3＝a

＝1＝8，∴q＝2.1∴a6＝a1q5＝25＝32.6．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，求公比q的值．[解析]

由anan＋1＝16n，得a1a2＝16，a2a3＝162，a2a31

22∴a

a

＝q

＝16，1∴q＝±4.又∵a1a2＝a2q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.课堂典例讲练等比数列的通项公式解法一：∵a1a3＝a2，∴a

a

a

＝a3＝8，2

1

2

3

2[解析]∴a2＝2.从而a1＋a3＝5a1a3＝4，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.1

11当a

＝1时，q＝2；当a

＝4时，q＝2，n故a

＝2—n

1n或a

＝2—3

n.解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2.代入已知得a1＋a1q＋a1q2＝72a1·a1q·a1q

＝8，即

a1(1＋q＋q2)＝73

3a1q

＝8，∴a1(1＋q＋q2)＝7(1)a1q＝2

(2)1将a

＝2q代入(1)2得2q

－5q＋2＝0，∴q＝212或q＝

.由(2)得a1＝1q＝2或a1＝41q＝2，以下同解法一．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．a[解析]

设这三个数为q，a，aqqa＋a＋aq＝14①根据已知条件得aq·a·aq＝64②1由②得a＝4，代入①得q＝2或q＝2，∴这三个数为2,4,8或8,4,2.等比中项[解析]

设公差为d，由题意得a2＝a

·a

，∵a

＝1，2

1

5

1∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴S10＝10×1＋10×92×2＝100，故选B.[答案]

B等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，a2＋a4＋a10a1＋a3＋a9则

＝

.[答案][解析]1316由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴a2＝a

a

，∴(a

＋2d)2＝a

(a

＋8d)，解得a

＝d，3

1

9

1

1

1

1a1＋a3＋a9∴24a

＋a

＋a1013d

13＝16d＝16.等比数列的判定[解析]

∵Sn＝2an＋1(n∈N*)，∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即anan－1n＝2(n≥2)．故数列{a

}是等比数列．已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn,

且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．[解析]

∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)，∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)，两式相减，得an＋1＝2an＋1，n＋1

n∴a

＋1＝2(a

＋1)，∴＋n

1a

＋1na

＋1

＝2(n≥2)．∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16，∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11.2

1an＋1＋1n∴a

＋1＝12＝2(a

＋1)．∴

a

＋1

＝2(n∈N*)．又a1＋1＝6，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.等比数列的实际应用培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的

120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?[解析]

由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010.答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒．容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，混合溶液后再倒出1L，又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%.[解析]

开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝11－a.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度n＋1

nan

1是a

＝a

(1－

1

)．所以{a

}构成以a

＝11

1—a

为首项，q＝1－a为公比的等比数列．所以n1a

＝a

q—n

11an＝(1－

)，即第n次操作后溶液的浓度是(1－1an1n

n).当a＝2时，由a

＝(2

)<10

1

，得n≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.易错疑难辨析[错解]

设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝1684a1q－a1q

＝42，∴a1(1＋q＋q2)＝1683a1q(1－q

)＝42①②∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，1∴由②除以①，得q(1－q)＝4.1∴q＝2，1∴a

＝422－(2)1

1

4＝96.6

115

5∴a

＝a

q

＝96×(2)

＝3.∵a5、a7的等比中项为a6，∴a5、a7的等比中项为3.[辨析]

错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．[正解]

设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝1684a1q－a1q

＝42，∴a1(1＋q＋q2)＝1683a1q(1－q