2022年河北省保定市同口镇中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年河北省保定市同口镇中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是锐角，且cos（）=﹣，则sin的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B2.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E满足，则的值为（

）A．1

B．3

C．

D．参考答案：A由四边形ABCD为矩形，由数量积几何意义知：.故选：A

3.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）()A.

B.C.

D.300参考答案：A4.点P是双曲线2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为 （

） A． B． C． D．参考答案：A5.是的（

）充分不必要条件

必要不充分条件充分必要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A6.先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：根据题意，利用随机事件的概率公式，分别求出事件A的概率与事件A、B同时发生的概率，再用条件概率公式加以计算，可得P（B|A）的值．解答： 解：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A的概率为P（A）=而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为P（AB）=因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）=．故选：A．点评：本题主要考查了随机事件的概率公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．7.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为A．1

B．

C．2

D．

参考答案：D8.

参考答案：A9.执行如图所示的程序框图，如果输入的依次为2，2，5时，输出的为17，那么在框中，可以填入（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A．32

B．4

C．8

D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合，且下列四个关系：①；

②；

③；

④.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是___________.参考答案：6略12.已知向量且则的值是__________参考答案：13.向等腰直角三角形内任意投一点,则小于的概率为

参考答案：略14.定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是

.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】a解析：解：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，即，即a，故答案为：a．【思路点拨】根据题意求方程，利用数形结合的方法可求a的取值范围.15.直线与圆相交的弦长为

.参考答案：16.若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数可得切线的斜率，由点斜式方程进而可得切线的方程，可得其截距，运用三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：对y=求导数可得y′=，∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=||?|﹣a|=，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属基础题．17.对任意，恒成立，则满足________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0，得f′（x）=，从而f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）由f′（x）=，当函数f（x）在[1，2]上是减函数时，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）≤0得a范围是（﹣∞，）；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，求出函数的导数，讨论a≤0，0＜＜e，≥e的情况，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣1（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）∵f′（x）=，当函数f（x）在[1，2]上是减函数时，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）=8+2a﹣1≤0②，由①②得：a≤﹣，∴a的范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]．∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②当0＜＜e时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；③当≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．19.已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，，的最小值记为，．（I）若为，，，，，，，，，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值．（II）设是正整数，证明：的充分必要条件为是公比为的等比数列．（III）证明：若，，则的项只能是或者，且有无穷多项为．参考答案：（I）， （II）（III）见解析（I）由题知，在中，，，，∴，，（II）证明：充分性：∵是公比为的等比数列且为正整数，∴，∴，，∴，（，，）．必要性：∵，（，，），∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴为公比为的等比数列．（III）∵，，∴，，∴对任意，，假设中存在大于的项，设为满足的最小正整数，则，对任意，，又∵，∴且，∴，，，故与矛盾，∴对于任意，有，即非负整数列各项只能为或．20.

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

参考答案：略21.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD（Ⅰ）证明：PQ⊥QC（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）推导出PQ⊥DC，PQ⊥QD，从而PQ⊥平面DCQ，由此能证明PQ⊥QC．（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，PQ为棱锥P﹣DCQ的高，由此能求出棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，2QA=2AB=PD，∴PDAQ为直角梯形，QA⊥平面ABCD，平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD，又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，∴PQ⊥DC，在直角梯形PDAQ中，DQ=PQ=PD，∴PQ⊥QD，PQ⊥平面DCQ，∴PQ⊥QC．解：（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，∴棱锥Q﹣ABCD的体积V1=，由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高，∵PQ=，△DCQ的面积为a2，∴棱锥P﹣DCQ的体积，∴棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：1．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个几何体的体积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22.定圆M：，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.（I）求轨迹E的方程；（II）设点A，Ｂ，Ｃ在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最