福建省泉州市南安宝莲中学高三数学理上学期期末试题含解析

福建省泉州市南安宝莲中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜参考答案：D【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜me＜，故选：D．2.已知函数（，且）在R上单调递增，且关于x的方程恰有两个不等的实数解，则a的取值范围是（

）A.(1,2) B.(1,2]C.(1,2]∪{3} D.(1,2)∪{3}参考答案：A【分析】先根据分段函数的单调性求出，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.【详解】由在上递增，得，又由在上单调递增，则，解得如图所示，在同一坐标系中作出函数和的图象，当时，由图象可知，上，有且仅有一个解，在上同样有且仅有一个解.当时，直线与相切时有一个交点，由（其中），得：，则，解得或此时切点横坐标分别为与矛盾，故或不符合题意,综上所述.【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.3.小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：D4.函数的值域是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】对数函数B7【答案解析】B解析：解：由定义域可求.所以B为正确选项.【思路点拨】对真数进行化简，再利用对数函数的性质求解.5.命题“设，”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B略6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（

）A．B．C．D．参考答案：A7.，则“”是“”的

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：B试题分析：或，，因此，所以“”是“”的必要不充分条件，答案选B.考点：集合的关系与命题间的关系8.已知函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是（

）

参考答案：B略9.已知数列的前项和为,,,则（）A． B． C． D．参考答案：B10.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为

参考答案：【知识点】等比数列的通项公式．D3

解析：根据题意得对任意有,使，即，因为，所以是正整数1、3、9、27、81，的所有可能取值的集合为.【思路点拨】依题意可求得该等比数列的通项公式an，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，求得，分析即可．12.已知双曲线C2与椭圆C1：+=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1：+=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．13.在△ABC中，，则的值为

．参考答案：14.若实数满足，则的最大值为____▲____．参考答案：15.如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则的取值范围为

▲

．参考答案：16.i是虚数单位，若复数为纯虚数，则b=

。参考答案：略17.（09南通期末调研）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是

▲

．参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴由sin2α+cos2α=1，得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，即x2+y2=6x+2y，由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0，∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆，圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==，∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线被圆截得的弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、普通方程、参数方程互化公式的合理运用．19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=AB=1，AD=，求点P到平面AEC的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD交AC与点O，连结EO，OE为△PBD的中位线，由此能证明PB∥平面AEC．（2）由已知P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，从而VP﹣AEC=VB﹣AEC=VE﹣ABC，由此能求出P到平面AEC的距离．解答： （1）证明：连结BD交AC与点O，连结EO，∵底面ABCD为矩形，∴O为BD的中点又∵E为PD的中点∴OE为△PBD的中位线，则OE∥PB，…又OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．…（2）解：∵PB∥平面AEC，∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等，∴VP﹣AEC=VB﹣AEC=VE﹣ABC，…又S△ABC=，且E到平面ABC的距离为，AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=…设P到平面AEC的距离为h，则，解得h=∴P到平面AEC的距离为．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点.（1）求证：EF∥平面PCD；（2）若，求三棱锥P-DEF的体积.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）取中点，连接．推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面；．

（2）推导出，，从而平面，进而平面平面，平面，推导出，从而平面

平面，得点点到平面的距离等于点到平面的距离.，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．【详解】（1）证明：取中点，连接.在△中，有

分别为、中点

在矩形中，为中点

四边形是平行四边形

而平面，平面

平面

（2）解：

四边形是矩形

，

平面平面,平面平面=，平面

平面

平面平面，平面

，满足

平面

平面

点到平面的距离等于点到平面的距离.而

三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题21.

设等差数列{}的前n项和为S，且S3=2S2+4，a5=36．

(I)求，Sn；

(Ⅱ)设，，求Tn参考答案：略22.

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：学生数学8991939597物理8789899293（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动