湖南省岳阳市临湘聂市中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省岳阳市临湘聂市中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是(

)A．40 B．39 C．38 D．37参考答案：B【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】各组被抽到的数，应是第一组的数加上间隔的正整数倍，倍数是组数减一．【解答】解：根据系统抽样的原理：应取的数是：7+16×2=39故选B【点评】本题主要考查系统抽样，系统抽样要注意两点：一是分组的组数是由样本容量决定的，二是随机性是由第一组产生的数来决定的．其他组加上间隔的正整数倍即可．2.若实数满足不等式组，则的最大值为（

）A.1

B.0

C.-1

D.-3参考答案：B3.已知是定义在上的奇函数，当时，.则函数的零点的集合为

A.

B.

C.

D.

参考答案：C4.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是（)A．(－∞，7] B．(－∞，－20]

C．(－∞，0] D．[－12,7]参考答案：6.“双曲线的一条渐近线方程为”是“双曲线的方程为”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.不充分不必要条件参考答案：B略7.已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B8.已知可导函数满足，则当时，和大小关系为A. B.C. D.参考答案：B【分析】构造函数，求导后可知，从而可确定在上单调递增，得到，整理可得到结果.【详解】令，则又，

在上单调递增，即

本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的问题，关键是能够构造出新函数，通过求导得到函数的单调性，将问题转变为新函数的函数值之间的比较问题.9.曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45° C．﹣45° D．135°参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选D10.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是（

）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知有下面程序，如果程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为

参考答案：（或）

12.观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝___▲_____.参考答案：962 略13.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则该双曲线的离心率是________________。参考答案：14.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号(I)分组(睡眠时间)组中值(GI)频数(人数)频率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S的值是________．参考答案：6.4215.设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．参考答案：（0，±1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=∴e=，F1（，0）．∵|F1A|=|x1﹣|，|F1B'|=|x2﹣|，从而有：|x1﹣|=5×|x2﹣|，由于≤x1，x2，∴﹣x1＞0，﹣x2＞0，即=5×=5．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y1﹣0）=5（﹣﹣x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1=0．代入椭圆的方程得：y1=±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（xA，yA），B（xB，yB），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cosθ=，sinθ=，k=tanθ=，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．16.若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为

．参考答案：1略17.如下左图，在长方形中，为的四等分点（靠近处），为线段上一动点（包括端点），现将沿折起，使点在平面内的射影恰好落在边上，则当运动时，二面角的平面角余弦值的变化范围为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。参考答案：19.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.

(1)求油罐被引爆的概率.

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望参考答案：20.已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证k?k′为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出4a=8，方程组只有一组解，利用根的判别式求出=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：，得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用已知条件推导出直线PF2的斜率为k′=﹣，从而能够证明k?k′为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切，∴4a=8，解得a=2，∴方程组只有一组解，即方程（b2﹣4）x2+12﹣4b2=0只有一个实数根，∴△=0﹣4（b2﹣4）（12﹣4b2）=0，解得=3或b2=4（舍），∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2）…5分将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…6分∵点F2在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，，…7分直线AE的方程为：，直线AF的方程为：，令x=4，得点M（4，2），N（4，2），∴点P的坐标（4，（）），…9分直线PF2的斜率为k′==（）=?=?，…11分将，代入上式得：=﹣，∴，∴k?k′为定值．21.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．（Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

优秀合格合计大学组

中学组

合计

注：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.100.050.005k02.7063.8417.879（Ⅱ）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（Ⅲ）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b，求使得方程组有唯一一组实数解（x，y）的概率．参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由条形图可知2×2列联表，计算k2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为．可得其中优秀等级的选手人数；（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可求出使得方程组有唯一一组实数解（x，y）的概率．【解答】解：（Ⅰ）由条形图可知2×2列联表如下

优秀合格合计大学组451055中学组301545合计7525100…∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关．…（Ⅱ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为．∴所有参赛选手中优秀等级人数约为万人．…（Ⅲ）a从1，2，3，4，5，6中取，b从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，要使方程组有唯一组实数解，则，共33种情形．故概率．…22.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）问题等价于ln＞，令，则t＞1，，设，根据函数的单调性证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又g′（x）=，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在0