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湖南省岳阳市临湘聂市中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33~48这16个数中应取的数是(

)A.40 B.39 C.38 D.37参考答案:B【考点】系统抽样方法.【专题】计算题.【分析】各组被抽到的数,应是第一组的数加上间隔的正整数倍,倍数是组数减一.【解答】解:根据系统抽样的原理:应取的数是:7+16×2=39故选B【点评】本题主要考查系统抽样,系统抽样要注意两点:一是分组的组数是由样本容量决定的,二是随机性是由第一组产生的数来决定的.其他组加上间隔的正整数倍即可.2.若实数满足不等式组,则的最大值为(

)A.1

B.0

C.-1

D.-3参考答案:B3.已知是定义在上的奇函数,当时,.则函数的零点的集合为

A.

B.

C.

D.

参考答案:C4.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D5.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是()A.(-∞,7] B.(-∞,-20]

C.(-∞,0] D.[-12,7]参考答案:6.“双曲线的一条渐近线方程为”是“双曲线的方程为”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.不充分不必要条件参考答案:B略7.已知点分别是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,若是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:B8.已知可导函数满足,则当时,和大小关系为A. B.C. D.参考答案:B【分析】构造函数,求导后可知,从而可确定在上单调递增,得到,整理可得到结果.【详解】令,则又,

在上单调递增,即

本题正确选项:【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的问题,关键是能够构造出新函数,通过求导得到函数的单调性,将问题转变为新函数的函数值之间的比较问题.9.曲线y=﹣2x在点(1,﹣)处切线的倾斜角为()A.1 B.45° C.﹣45° D.135°参考答案:D【考点】直线的倾斜角.【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化,要求曲线在点(1,)处切线的倾斜角,我们可以先求出曲线方程的导函数,并计算出点(1,)的斜率即该点的导数值,然后再计算倾斜角.【解答】解:∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点(1,)处切线的斜率为:﹣1故曲线在点(1,)处切线的倾斜角为:135°故选D10.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0;

②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;

④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是(

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知有下面程序,如果程序执行后输出的结果是11880,那么在程序UNTIL后面的“条件”应为

参考答案:(或)

12.观察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测,m-n+p=___▲_____.参考答案:962 略13.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点,点为抛物线的焦点,若△为直角三角形,则该双曲线的离心率是________________。参考答案:14.某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号(I)分组(睡眠时间)组中值(GI)频数(人数)频率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中,一部分计算见流程图,则输出的S的值是________.参考答案:6.4215.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的焦点,点A,B在椭圆上,若=5;则点A的坐标是.参考答案:(0,±1)【考点】椭圆的简单性质.【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B',由椭圆的对称性,得,利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1,x2的方程,解之即可得到点A的坐标.【解答】解:方法1:直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性,得设A(x1,y1),B'(x2,y2)由于椭圆的a=,b=1,c=∴e=,F1(,0).∵|F1A|=|x1﹣|,|F1B'|=|x2﹣|,从而有:|x1﹣|=5×|x2﹣|,由于≤x1,x2,∴﹣x1>0,﹣x2>0,即=5×=5.①又∵三点A,F1,B′共线,∴(,y1﹣0)=5(﹣﹣x2,0﹣y2)∴.②由①+②得:x1=0.代入椭圆的方程得:y1=±1,∴点A的坐标为(0,1)或(0,﹣1)方法2:因为F1,F2分别为椭圆的焦点,则,设A,B的坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),若;则,所以,因为A,B在椭圆上,所以,代入解得或,故A(0,±1).方法三、由e=||,λ=5,e=,cosθ=,sinθ=,k=tanθ=,由,即可得到A(0,±1).故答案为:(0,±1).16.若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是,则的值为

.参考答案:1略17.如下左图,在长方形中,为的四等分点(靠近处),为线段上一动点(包括端点),现将沿折起,使点在平面内的射影恰好落在边上,则当运动时,二面角的平面角余弦值的变化范围为

.参考答案:

三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数。参考答案:19.在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是.,每次命中与否互相独立.

(1)求油罐被引爆的概率.

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望参考答案:20.已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,△EFF1的周长为8,且椭圆C与圆x2+y2=3相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=4于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证k?k′为定值.参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出4a=8,方程组只有一组解,利用根的判别式求出=3,由此能求出椭圆C的方程.(Ⅱ)设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x﹣1),设点E(x1,y1),点F(x2,y2),将直线l方程y=k(x﹣1)代入椭圆C:,得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由此利用已知条件推导出直线PF2的斜率为k′=﹣,从而能够证明k?k′为定值.【解答】(Ⅰ)解:∵过椭圆右焦点F2斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,△EFF1的周长为8,且椭圆C与圆x2+y2=3相切,∴4a=8,解得a=2,∴方程组只有一组解,即方程(b2﹣4)x2+12﹣4b2=0只有一个实数根,∴△=0﹣4(b2﹣4)(12﹣4b2)=0,解得=3或b2=4(舍),∴椭圆C的方程为.(Ⅱ)证明:设过点F2(1,0)的直线l方程为:y=k(x﹣1),设点E(x1,y1),点F(x2,y2)…5分将直线l方程y=k(x﹣1)代入椭圆C:,整理得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,…6分∵点F2在椭圆内,∴直线l和椭圆都相交,△>0恒成立,且,,…7分直线AE的方程为:,直线AF的方程为:,令x=4,得点M(4,2),N(4,2),∴点P的坐标(4,()),…9分直线PF2的斜率为k′==()=?=?,…11分将,代入上式得:=﹣,∴,∴k?k′为定值.21.传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?

优秀合格合计大学组

中学组

合计

注:,其中n=a+b+c+d.P(k2≥k0)0.100.050.005k02.7063.8417.879(Ⅱ)若参赛选手共6万人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;(Ⅲ)在优秀等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在良好等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为a,在选出的6名良好等级的选手中任取一名,记其编号为b,求使得方程组有唯一一组实数解(x,y)的概率.参考答案:【考点】BO:独立性检验的应用;B8:频率分布直方图.【分析】(Ⅰ)由条形图可知2×2列联表,计算k2,与临界值比较,即可得出结论;(Ⅱ)由条形图知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为.可得其中优秀等级的选手人数;(Ⅲ)确定基本事件的个数,即可求出使得方程组有唯一一组实数解(x,y)的概率.【解答】解:(Ⅰ)由条形图可知2×2列联表如下

优秀合格合计大学组451055中学组301545合计7525100…∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.…(Ⅱ)由条形图知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为.∴所有参赛选手中优秀等级人数约为万人.…(Ⅲ)a从1,2,3,4,5,6中取,b从1,2,3,4,5,6中取,故共有36种,要使方程组有唯一组实数解,则,共33种情形.故概率.…22.已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设两个极值点分别为x1,x2,证明:x1?x2>e2.参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,或转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点;或转化为g(x)=lnx﹣ax有两个不同零点,从而讨论求解;(Ⅱ)问题等价于ln>,令,则t>1,,设,根据函数的单调性证出结论即可.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;即方程lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;(解法一)转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,如右图.可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0<a<k.令切点A(x0,lnx0),故k=y′|x=x0=,又k=,故=,解得,x0=e,故k=,故0<a<.(解法二)转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点.又g′(x)=,即0<x<e时,g′(x)>0,x>e时,g′(x)<0,故g(x)在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减.故g(x)极大=g(e)=;又g(x)有且只有一个零点是1,且在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→0,故g(x)的草图如右图,可见,要想函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,只须0<a<.(解法三)令g(x)=lnx﹣ax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,而g′(x)=﹣ax=(x>0),若a≤0,可见g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)单调增,此时g(x)不可能有两个不同零点.若a>0,在0

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