湖南省益阳市沅江茶盘洲镇中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省益阳市沅江茶盘洲镇中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从区间内任取一个数,则这个数小于的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A．e﹣1 B．e C．1﹣e﹣3 D．1参考答案：C【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题．【分析】令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，求出导数，分类讨论，进而得到b≥﹣lna+a+2，可得≥，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．【解答】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′=﹣a，若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．若a＞0，由y′=0得：x=，当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b+2≤0，∴b≥﹣lna+a+2，∴≥，令t=，∴t′=，∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．∴的最小值为1﹣e﹣3．故选：C．3.已知双曲线（a>0,b>0)的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为(A)

(B)

(C)2

(D)参考答案：A略4.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出M的坐标，代入圆的方程求得离心率．【解答】解：设P（0，3y），则M（c，2y），则∵OM⊥PF，∴=﹣1，取y=，M的坐标代入圆x2+y2=a2，即圆c2+=a2，∴，故选：B．5.函数在上为减函数，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.设复数z满足，（为虚数单位），则的共轭复数为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C，，故选C。7.下列图象不能作为函数图象的是（

）参考答案：B试题分析：B不行，因为一个对应了个，不是函数图象.考点：函数图象.8.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A．2y±x＝0

B．2x±y＝0

C．8x±y＝0

D．x±8y＝0参考答案：B9.

已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C10.命题p：“若x2－3x+2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数当时，实数a的取值范围是______；若函数恰有一个零点，则实数b的取值范围是_______.参考答案：(－1,+∞)；(－∞,－4)∪[－1,+∞)

12.已知则z=3x﹣y的最大值为．

参考答案：9考点： 简单线性规划．专题： 不等式的解法及应用．分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点B（3，0）时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大．此时z=3×3=9，故答案为：9．点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13.正三角形ABC的边长为，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的体积为___________.

参考答案：略14.已知则的值为

。参考答案：36【知识点】对数与对数函数B7由于，所以f(9-x)=9-=9-x-于是有f(x)+f(9-x)=9从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值为【思路点拨】根据函数的性质找出规律求出结果。15.求值：_________．参考答案：1=1【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。16.若△的内角满足,则的最小值是

▲

.参考答案：17.已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是_____________；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：．参考答案：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解析：解法1：（I）证：由，有，

．（II）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是

．当时，

．当时，

．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：

，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．19.设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．参考答案：考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： （Ⅰ）根据函数f（x）=+=?+≤?=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=+=?+≤?=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评： 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．20.（16分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）将f（x）化成y=Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的周期；（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内有图象；（3）写出函数f（x）的单调区间．x

0π2πf（x）

参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 作图题；三角函数的图像与性质．分析： （1）由两角差的正弦公式化简即可得解析式：f（x）=2sin（2x﹣），由周期公式即可求解；（2）列表，描点连线即可用五点法做出图象；（3）根据正弦函数的性质即可求得单调区间．解答： （1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），所以函数f（x）的周期为=π．（2）列表：2x﹣0π2πxy020﹣20描点作图：（3）函数f（x）的单调递减区间是：[k，k]（k∈Z）；单调递增区间是[k，k]（k∈Z）．点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，五点法作图，属于基础题．21.已知直三棱柱的底面中,,,,是的中点，D是AC的中点，是的中点,(1)证明：平面；

（2）试证：参考答案：证明：(1)连,为中点，为中点，,又平面,平面,平面(2)直三棱柱平面

平面,又,平面平面,平面

在与中，∽平面平面，平面略22.已知函数，函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求证不等式成立.参考答案：（1）解：函数的定义域为，因为，，所以.当时，在区间内恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区