广西壮族自治区柳州市拉堡中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市拉堡中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是（

）A．若，，则

B．若，，，，则C．若，，则D．若，，，则参考答案：D略2.()A.8 B.－8 C. D.参考答案：C【分析】利用诱导公式将化为，通分后可利用二倍角公式和辅助角公式将所求式子化为，由可约分得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用.3.当满足约束条件(为常数)时，取得最大值12，则此时的值等于(

).A.

B.9

C.

D.12参考答案：A略4.若集合A={x|}，B={x||x|＜3}，则集合A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．5.若复数是纯虚数，其中是实数，则= A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：D由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。7.已知函数，则下列说法不正确的是(

)A.f(x)的一个周期为 B.f(x)向左平移个单位长度后图象关于原点对称C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的图象关于对称参考答案：B

8.如图，已知，圆心在上，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间（≤≤，单位：）的函数的图像大致为参考答案：B9.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．10.已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（

）A.

B.

C.6

D.4参考答案：A，，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是

．参考答案：12.已知为等差数列，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于___________.参考答案：613.数列中，若，（），则

.参考答案：2/3略14.定义运算，例如，，则函数的最大值为．参考答案：15.在的二项展开式中任取项，若用随机变量表示取出的项中系数为奇数的项的个数，则随机变量的数学期望

参考答案：16.已知角终边上一点，则的值为．参考答案：17.不等式的解集为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)从天气网查询到邯郸历史天气统计(2011-01-01到2014-03-01)资料如下：

自2011-01-01到2014-03-01，邯郸共出现：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，阴33天，其它2天，合计天数为：1128天。本市朱先生在雨雪天的情况下，分别以的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式仅选一种），每天交通费用相应为2元或40元；在非雨雪天的情况下，他以90%的概率骑自行车上班，每天交通费用0元；另外以10%的概率打出租上班，每天交通费用20元。（以频率代替概率，保留两位小数.参考数据：）（I）求他某天打出租上班的概率；（II）将他每天上班所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望。参考答案：(Ⅰ)0.18;(Ⅱ)分布列见解析,5.80（Ⅰ）设表示事件“雨雪天”，表示事件“非雨雪天”，表示事件“打出租上班”，…………2分

……4分（Ⅱ）的可能取值为0，2，20，40

………………6分

…………10分∴的分布列为0220400.720.100.080.10（元）…………12分

19.设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）设直线l的方程为y=k（x+1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（I），得，由，得y2=从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y=k（x+1）可化为将代入x2+3y2=a2，消去x，得①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=化简整理即得．（☆）（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），由①，得②因为，由，得y1=﹣2y2③由②③联立，解得y2=④△OAB的面积=上式取等号的条件是3k2=1，即当时，由④解得；当时，由④解得．将及这两组值分别代入①，均可解出a2=5经验证，a2=5，满足（☆）式．所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2=5注：若未验证（说明）满足（☆）式，扣．【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．20.已知等差数列前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令（）求数列前项和为参考答案：解：(1)由题意得，即，

，故

（2）由（1）有

∴21.（本小题满分16分）设函数，．（1）对于任意都有成立，求的取值范围；（2）当时对任意恒有，求实数的取值范围；（3）若存在，使得与同时成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)由题意可知对于任意都有.

即对于任意恒成立.设，………………3分所以，解不等式组可得或.……………5分

（2）由题意可知在区间上，.…………………6分

因为对称轴，所以在上单调递减,可得。因为在上单调递减,可得。所以，可得.……………………10分（3）若，则，不合题意，舍去；………………11分

若，由可得。原题可转化为在区间上若存在，使得，因为在上单调递增，所以，可得，又因为，不合题意

……………………13分

若，由可得。原题可转化为在区间上若存在，使得。当时，即时，，可得；当时，即时，，可得或.

……………………15分

综上可知.

……………………16分22.过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点.（1）试证明两