江苏省扬州市红桥中学2022年高三数学理模拟试题含解析

江苏省扬州市红桥中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则的取值范围是()A.

B.

C. D.参考答案：C略2.若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的解法以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由a2＞a得a＞1或a＜0，则“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．3.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为（A）0

（B）1

（C）

（D）3参考答案：

B

由，得。所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.4.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(

)A．

B．

C．

D．16参考答案：A由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为，所以侧视图的面积为，选A.5.在中，，且对任意都有：(1),(2),（3）;给出下列三个结论：①；

②；

③;其中正确的结论个数是（

）个

A.

3

B.

2

C.

1

D.

0参考答案：A略6.已知、，以为一腰作的直角梯形，且中点的纵坐标为1，若椭圆以、为焦点且经过点，则此椭圆的方程为（

）

参考答案：C7.扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C、D、E将弧AB分成四等分，连结OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰好为的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：图中共有10个不同的扇形，其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个，故选A．解答： 解：依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，∵，R=1∴∴其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个：AOD，EOC，BOD，即扇形因此所求的概率等于，故选：A．点评：本题考查了几何概型，确定基本事件个数和事件发生个数是关键．8.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（▲

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：B略10.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和 B．计算数列{2n﹣1}前6项的和C．计算数列{2n﹣1}前5项的和 D．计算数列{2n﹣1}前6项的和参考答案：D【考点】E7：循环结构．【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为______.参考答案：55%

后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为。12.已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为____________.（2）若是真命题，则实数的取值范围为____________.参考答案：略13.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

．参考答案：【知识点】定积分B13【答案解析】解析：解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．

【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出14.曲线在点处的切线方程为

.参考答案：15.过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，即P在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．16.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题p、q、r满足“p或q”真，“或r”也真，则“q或r”假；③若，则使得恒成立的x的取值范围为{或}；④将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为.其中真命题的序号为________.参考答案：①③④【分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17.如右图所示,过抛物线的焦点的直线与抛物线和圆交于四点,则

.参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知函数(1）求函数的最小值和最小正周期；(2）求函数的单调递增区间。参考答案：（1）． 则的最小值是－2，．最小正周期是；(2）函数的单调递增区间19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆C方程为+y2=1．（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，切点的纵坐标y0=kx0+t=，所以=﹣，所以k=﹣，所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）=﹣（x﹣x0），化简得：+=1．当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，PA，PB是椭圆+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，过点B的椭圆的切线为+y2y=1．由两切线都过P点，+y1yP=1，+y2yP=1即有切点弦AB所在直线方程为+yyP=1．M（0，），N（，0），|MN|2=+=（+）?=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=即xP2=，yP2=时取等，则|MN|，即|MN|的最小值为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，以及基本不等式的运用，属于中档题．20.如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB?PC=PA?AC（Ⅱ）求AD?AE的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB?PC=PA?AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD?AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB?PC=PA?AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB?PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．21.已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式解集非空，求实数的取值范围.参考