人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)资料来源于网络仅供免费交流使用新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【空间几何体的结构394899棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第1页。有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第1页。判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；SSSSDDCCBBAAECBAS3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱．要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第2页。1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第2页。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第3页。要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第3页。特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第4页。由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第4页。③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第5页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第5页。举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1B．2个C．3个D．4个【答案】C【空间几何体的结构394899同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第6页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第6页。举一反三：【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确．【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O与⊙O1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO底面的平面截圆锥SO而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14cm，，7cm和21cm．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长交的延长线于点S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°．∴SO＝AO＝3xcm，．∴，解得x＝7，∴圆台的高，母线长，底面半径分别为7cm和21cm．【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第7页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第7页。举一反三：【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【解析】设圆锥的高为，上、下底半径为．则，解得．类型三、简单几何体的组合体例5．指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【解析】分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．【变式2】如下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转得到的．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第8页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第8页。【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体．类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．请画出下图所示的几何体的表面展开图．【解析】将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．表面展开图如下图所示．【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第9页。【变式1】（2016广东雷州市月考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第9页。【思路点拨】根据折叠前、后的图形情况，结合线面垂直的判定定理，得出该多面体是直三棱锥．【答案】直三棱锥【解析】在正方形ABCD中，AB⊥BF，AD⊥DE，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥A—CEF中，AC⊥CE，AC⊥CF，CF∩CF=C，∴AC⊥平面CEF，三棱锥A—CEF是直三棱锥．故答案为：直三棱锥．【巩固练习】1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（）．A．棱锥B．四棱柱C．正四棱柱D．长方体2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是（）．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的4.下列图形不是正方体表面展开图的是（）．5．下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面．其中正确的个数是（）．A．0B．1C．2D．36．一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（）A．一个圆台B．一个圆锥C．由两个圆锥组成的组合体D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7．（2016春河北石家庄期末）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第10页。8．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第10页。9．为球面上相异两点，则通过两点可作的球大圆有个．10．（2016春安徽宿松县月考）一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32cm2，且满足，求这个长方体所有棱长之和．11．已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积．12．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为、，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】1．【答案】B【解析】由棱柱定义可知，选B．2．【答案】A【解析】连结三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形．3．【答案】D【解析】两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．4．【答案】C【解析】由展开图折回去形不成正方体可知选C．5．【答案】C【解析】①②正确，③中截面也可以是一个三角形或椭圆等．6．【答案】D【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱．7．【答案】C【解析】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC的各边均为正方形的对角线长，△ABC为等边三角形，∴∠ABC的度数为60°．故选C．8．【答案】49．【答案】一个或无穷多个10．【答案】32cm【解析】∵长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，∴abc=8，∵它的全面得32cm2，∴2(ab+bc+ca)=32，∵，∴b=2，ac=4，a+c=6，∴这个长方体所有棱长之和为4(a+b+c)=32（cm）．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第11页。11．【答案】人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第11页。【解析】如右图，△A＇B＇C＇为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得△A＇B＇C＇∽△ABC，且对应边长之比为1∶2．【答案】∴．又∵，∴．12．【答案】【解析】上、下底面正方形的边长为、，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为；斜高为.空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第12页。5．平行投影的性质人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第12页。（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图395059三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图395059斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第13页。②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第13页。③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点五、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1．下列命题中正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第14页。【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第14页。例2．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是．①线段②直线③圆④梯形⑤长方体【答案】②⑤【解析】线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．举一反三：【变式1】有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D类型二、空间几何体的三视图例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的．正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下图．【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．（2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第15页。例4．如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第15页。【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台．它的上底面是边长为60mm的正方形，下底面是边长为100mm的正方形，高为20mm．底座的上面是一个底面对角线长为40mm，高72mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28mm的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如上图所示．【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．举一反三：【变式1】右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题，其中真命题的个数是（）．①存在三棱柱．其正（主）视图、俯视图如右图②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图A．3B．2C．1D．0【答案】A【变式2】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成，从上往下看，外层轮廓线是一矩形，矩形内部有一条线段连接两个三角形．故选B．类型三、空间几何体的直观图人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第16页。例5．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第16页。【答案】详见解析【解析】（1）如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．（2）在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm．（3）连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1．在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2．在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3．画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变．举一反三：【变式1】已知正角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A＇B＇C＇的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A＇B＇C＇的边长及夹角求解．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第17页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第17页。如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A＇B＇=AB=a，，在图（2）中作C＇D＇⊥A＇B＇于D＇，则．∴．【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．例6．（2016春福建漳州月考）已知某几何体的三视图如图，画出该几何体的直观图．【思路点拨】这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与四棱锥的组合体，可得该几何体的直观图；【解析】几何体的直观图如图．【巩固练习】1．下列实例中，不是中心投影的是（）．A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉2．下列种说法：①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．其中，说法正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是().A．球体B．圆锥C．圆柱D．长方体人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第18页。4．一个建筑物的正视图、侧视图、俯视图如下图所示，则组成这个建筑物的组合体是（）．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第18页。A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为7．平行投影与中心投影之间的区别是________________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．（2016大庆模拟）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成的，其正视图、侧视图均如图所示，则此几何体最少由________块木块堆成．10．用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图．11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．12．（2016安吉县月考）（1）用斜二测画法作出边长为3cm、高4cm的矩形的直观图；人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第19页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第19页。【答案与解析】1．【答案】A【解析】由中心投影的特点可知，B、C、D均是中心投影．2．【答案】B【解析】由直观图的画法可知③、④正确．3．【答案】D【解析】4．【答案】C【解析】由三视图可知，组合体上部分是圆锥，下部分为正四棱柱．5．【答案】C6．【答案】C【解析】正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A，故选C．7．【答案】平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．8．【答案】2.5【解析】由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5．9．【答案】5【解析】由三视图可知这几个正方体木块有三层，底层至少有3个小正方体，第2层和第3层至少有一个小正方体，所以该几何至少共有3+1+1=5块正方体，故答案为：5．10．【解析】采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴、轴，使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如右图）．（1）在已知ABCD中取AB，AD所在边为x轴与y轴，相交于点O（O与A重合），画对应的x＇轴、y＇轴，使∠x＇O＇y＇=45°．（2）在x＇轴上取A＇，B＇，使A＇B＇=AB=4，在y＇轴上取D＇，使A＇D＇=AD=，过D＇作D＇C＇平行x＇的直线，且等于A＇B＇长．（3）连C＇B＇，所得四边形A＇B＇C＇D＇就是矩形ABCD的直观图．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第20页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第20页。11．【答案】【解析】先画出正三角形ABC，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a，O′A′＝．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，则A′M＝O′A′·sin45°＝．∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M＝．12．【解析】（1）①在已知ABCD中取AB、AD所在边为X轴与Y辆，相交于O点（O与A重合），画对应X＇轴，Y＇轴使∠X＇O＇Y=45°②在X＇轴上取A＇，B＇使A＇B＇=AB，在Y＇轴上取D＇，使，对D＇作D＇C＇平行X＇的直线，且等于A＇D＇长．③连C＇B＇所得四边形A＇B＇C＇D＇就是矩形ABCD的直观图．（2）正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第21页。空间几何体的表面积和体积人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第21页。【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.【要点梳理】【空间几何体的表面积和体积395219空间几何体的表面积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．（2）圆柱的表面：．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第22页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第22页。3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇环的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．（2）圆台的表面积：．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．【空间几何体的表面积和体积395219空间几何体的体积】要点三、柱体、锥体、台体的体积1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh．2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．综上，台体的体积公式为．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第23页。4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第23页。【空间几何体的表面积和体积395219球的体积与表面积】要点四、球的表面积和体积1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．要点五、侧面积与体积的计算1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第24页。例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第24页。【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。【答案】32cm248cm2【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴．因此，S表面积=S侧+S底=32+16=48（cm2）．【总结升华】求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．举一反三：【空间几何体的表面积和体积395219例1】【变式1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。【答案】【变式2】圆锥的母线长扩大到原来的倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的（）A．1倍B．倍C．倍D．倍【答案】A例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。【答案】【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为．则有，即，∴R=2r，,令圆柱和圆锥的表面积分别为S1和S2∴【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．例3．一个直角梯形的上底、下底、高的比为，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右图，设上、下底和高分别为x、2x、，则母线，人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第25页。∴S上底=πx2，S下底=π(2x)2=4πx2，S侧=π(x+2x)2x=6πx2．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第25页。∴圆台的上、下底面积及侧面积之比为1∶4∶6．【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究．举一反三：【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留π）【答案】1100π【变式2】邻边长为a，b的平行四边形，且a＞b，分别以a，b两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．S1≥S2【答案】A类型二、简单几何体的体积例4．（2016南通模拟）如图，在长方体中，已知AD==1，AB=2，点E是AB的中点．求三棱锥的体积．【思路点拨】（1）；【答案】【解析】由长方体性质可得，⊥平面DEC，所以是三棱锥的高，∴三棱锥的体积．【总结升华】求几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．举一反三：【变式1】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V=________．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第26页。（2）如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第26页。A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【答案】（1）；（2）D【解析】从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，即y的大小，影响P到面A1B1CD的距离，因此会导致四面体体积的变化．故选D．例5．（2015年重庆高考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，故选A．【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A． B． C． D．【答案】A【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即．类型三、球的表面积与体积例6．求体积为的正方体的外接球的表面积和体积．【答案】【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．如图，以正方体的对角面作球的截面，则球心为的中点，设正方体的棱长为，则，而人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第27页。人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第27页。【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．举一反三：【变式1】（2015年全国Ⅱ高考）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O—ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，故R=6，则球O的表面积为，故选C．【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是cm．【答案】4【解析】设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有，由此解得r=4。【巩固练习】1．侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A.B.C.D.人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第28页。5．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第28页。A．B．C．D．6．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()7.过球半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆面积之比是．8．（2016上海闵行区一模）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥面积等于________．9.正六棱柱的高为5，最长的对角线长为13，则它的侧面积为．10.若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是_____________．11.已知正三棱柱的侧面积为，高为．求它的体积．12．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．13．（2016上海普陀区一模）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的项端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）．【答案与解析】1．【答案】B【解析】正三棱锥的底面面积为，高为，则体积为．2.【答案】B【解析】长方体的对角线是球的直径，3.【答案】A人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第29页。【解析】人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第29页。4.【答案】B【解析】从此圆锥可以看出三个圆锥，5．分析：根据外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出外接球半径，求出棱长和外接球的半径之比．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为．故选C．点评：本题考查球内接多面体．外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键．6．【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，故选B．7.【答案】3:4【解析】如图，求出截面圆的半径为，则截面的面积与大圆的面积比为．8．【答案】15π．【解析】设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长，∴圆锥的侧面积S=πrl×5π=15π，故答案为15π．9.【答案】180【解析】正六棱柱的底面最长对角线为，所以底面边长为6，则它的侧面积为．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第30页。10.【答案】人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第30页。【解析】11．【答案】【解析】由已知得棱柱底面边长，则体积为．12．【答案】【解析】如图，E、分别是BC、的中点，O、分别是下、上底面正方形的中心，则为正四棱台的高，则．连接OE、，则,．过作，垂足为H，则，，．在Rt△中，，所以．所以S侧＝．13．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为，则2πr=24π，解得．∴笼具的体积《空间几何体》全章复习与巩固【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图．（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第31页。【知识网络】人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第31页。【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)全文共218页，当前为第32页。旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．人教版高中数学(必修二)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、