同济大学高等数学知识点总结

同济大学高等数学知识点总结同济同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第1页。高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第2页。在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。2.能力层面从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于千锤百炼的解题之中。3.创新层面同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第3页。数学解题要创新，首先是思想创新，我们称之为“同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第3页。还有一类数学解题中的创新，是代换，构造新函数新某某某形等等，俗称代换法、构造法，这里有更大的思维跨越，在解题的其中一阶段有时出现山穷水尽，无计可施时，用代换与构造，就会使思路豁然开朗、柳暗花明、思路顺畅、解答优美，体现数学之美。常见的代换有变量代换，三角代换，整体代换;常用的构造有构造函数、构造某某某形、构造数列、构造不等式、构造相关模型等等。总之，数学是一门规律性强、逻辑结构严密的学科，它有规律、有模型、有式子、有某某某形，只要我们掌握了它的规律、看清了模型、了解了式子、记住了某某某形，数学就会变成一门简单而有趣的科学。这种战略上的藐视与战术上的重视，将会使考生们超常发挥，取得优异的成绩。高等数学学习方法养成良好的学习数学习惯多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自同济同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第4页。及时了解、掌握常用的数学思想和方法中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。高等数学学习技巧1.先看笔记后做作业。有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水平。因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练习不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的练习类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。2.做题之后加强反思。学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第5页。第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2.会建立简单应用问题中的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。4.掌握基本初等函数的性质及某某某形。5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。9.掌握极限性质及四则运算法则。10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。第二章：导数与微分同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第6页。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。3.了解函数某某某形的作某某某步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。4.掌握不定积分的换元积分法。同济同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第7页。1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。2.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。3.了解广义积分的概念，并会计算广义积分4.掌握反常积分的运算。5.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。第六章：定积分的应用1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面某某某形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。第七章：微分方程1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。2.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解一些微分方程.3.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换解一些微分方程。4.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解一些高于二阶的常系数齐次微分方程。5.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程.6.会用降阶法解下列微分方程y=f(x，y).同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第8页。8.会解欧拉方程。第八章：空间解析几何与向量代数1.理解空间直线坐标系，理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的数量、积向量积、混合积并能用坐标表达式进行运算，了解两个向量垂直、平行的条件。3.掌握向量的线性运算，掌握单位向量、方向角与方向余弦，掌握向量的坐标表达式掌握用坐标表达式进行向量运算方法。4.掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线及点到平面的距离。5.掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹角，并会用平面的相互关系(平行相交垂直)解决有关问题。6.理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其某某某形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。7.了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。一、历年微积分考试命题特点微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第9页。二、微积分中三大主要函数微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。三、微积分复习方法微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在考研教育网辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。同济同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第10页。一、一元函数积分学(一)不定积分1.知识范围(1)不定积分原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质(2)基本积分公式(3)换元积分法第一换元法(凑微分法)第二换元法(4)分部积分法(5)一些简单有理函数的积分2.要求(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。(2)熟练掌握不定积分的基本公式。(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第11页。(二)定积分1.知识范围(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件(2)定积分的性质(3)定积分的'计算变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法(4)无穷区间的广义积分(5)定积分的应用平面某某某形的面积旋转体体积物体沿直线运动时变力所作的功2.要求(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。(2)掌握定积分的基本性质。(3)理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第12页。(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面某某某形的面积以及平面某某某形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件2.要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。(3)熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。同济大学高等数学知识点同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第13页。1.知识范围(1)常见的平面方程点法式方程一般式方程(2)两平面的位置关系(平行、垂直和斜交)(3)点到平面的距离(4)空间直线方程标准式方程(又称对称式方程或点向式方程)一般式方程参数式方程(5)两直线的位置关系(平行、垂直)(6)直线与平面的位置关系(平行、垂直和直线在平面上)2.要求(1)会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。(2)会求点到平面的距离。(3)了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。(4)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。(三)简单的二次曲面1.知识范围同济同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第14页。2.要求了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其某某某形。三、多元函数微积分学(一)多元函数微分学1.知识范围(1)多元函数多元函数的定义二元函数的几何意义二元函数极限与连续的概念(2)偏导数与全微分偏导数全微分二阶偏导数(3)复合函数的偏导数(4)隐函数的偏导数(5)二元函数的无条件极值与条件极值2.要求(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二次函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续概念(对计算不作要求)。(2)理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。同济大学高等数学知识同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第15页。(5)会求二元函数的全微分。(6)掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。(7)会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。(二)二重积分1.知识范围(1)二重积分的概念二重积分的定义二重积分的几何意义(2)二重积分的性质(3)二重积分的计算(4)二重积分的应用2.要求(1)理解二重积分的概念及其性质。(2)掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。(3)会用二重积分解决简单的应用问题(限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板质量)。四、无穷级数(一)数项级数同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第16页。(1)数项级数数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本性质级数收敛的必要条件(2)正项级数收敛性的判别法比较判别法比值判别法(3)任意项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼茨判别法2.要求(1)理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。(2)掌握正项级数的比值判别法。会用正项级数的比较判别法。(3)掌握几何级数、调和级数与级数的收敛性。(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。(二)幂级数1.知识范围(1)幂级数的概念收敛半径收敛区间(2)幂级数的基本性质(3)将简单的初等函数展开为幂级数同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第17页。(1)了解幂级数的概念。(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。(4)会运用麦克劳林(Maclaurin)公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。五、常微分方程(一)一阶微分方程1.知识范围(1)微分方程的概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3)一阶线性方程2.要求(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。(2)掌握可分离变量方程的解法。(3)掌握一阶线性方程的解法。(二)可降价方程同济大学高等数学知同济大学高等数学知识点总结全文共20页，当前为第18页。(1)型方程(2)型方程2.要求(1)会用降阶法解型方程。(2)会用降阶法解型方程。(三)二阶线性微分方程1.知识范围(1)二阶线性微分方程解的结构(2)二阶常系数齐次线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线性微分方程2.要求(1)了解二阶线性微分方程解的结构。(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。知识点一：函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、