高中数学必修5-第一章-解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习PAGE1高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第1页。a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第1页。2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第2页。高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第2页。一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第3页。2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第3页。2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。定理应用正弦定理两边和夹角如a、b、c余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由ABC=180求出另一角，在有解时有一解。三边如a、b、c余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用ABC=180，求出角C在有解时只有一解。解三角形[基础训练A组]一、选择题1．在△ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（）A．1B．1C．23D．23高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第4页。2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．inAB．coAC．tanAD．高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第4页。1tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且coAinB,则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A．2B．03C．3D．2325．在△ABC中，若b2ainB，则A等于（）A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90B．120C．135D．150000000000000二、填空题01．在Rt△ABC中，C90，则inAinB的最大值是_______________。2．在△ABC中，若abbcc,则A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________。高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第5页。4．在△ABC中，若inA∶inB∶inC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，AB0022262,C300，则ACBC的最大值是________。高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第5页。三、解答题1．在△ABC中，若acoAbcoBccoC,则△ABC的形状是什么？abcoBcoAcbaba3．在锐角△ABC中，求证：inAinBinCcoAcoBcoC。2．在△ABC中，求证：4．在△ABC中，设ac2b,AC3,求inB的值。解三角形[综合训练B组]一、选择题1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:12．在△ABC中，若角B为钝角，则inBinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能确定3．在△ABC中，若A2B，则a等于（）A．2binAB．2bcoAC．2binBD．2bcoB4．在△ABC中，若ginAgcoBginCg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第6页。5．在△ABC中，若abcbca3bc,则AA．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,coC0000131111，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．1457．在△ABC中，若tanABa2bab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空题高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第6页。1．若在△ABC中，A600,b1,SABC3,则abcinAinBinC=_______。2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或ab等于（）cABABABABA．2coB．2coC．2inD．2in22222．在△ABC中，若C900,则三边的比3．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）A．12B．21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（）00A．inAcoAB．inBcoAC．inAcoBD．inBcoB5．在△ABC中，若acacbbc，则A（）A．90B．60C．120D．150高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第7页。0000tanAa22，则△ABC的形状是（）6．在△ABC中，若高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第7页。tanBbA．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形二、填空题1．在△ABC中，若inAinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若coAcoBcoC1,则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设inC,inAinB,coAcoB,则,,的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，则coAcoCcoAcoC2221inAinC______。35．在△ABC中，若2gtanBgtanAgtanC,则B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，若bac，则coACcoBco2B的值是_________。2三、解答题1．在△ABC中，若abinABabinAB，请判断三角形的形状。2．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2Rin2Ain2C2abinB,求△ABC的面积的最大值。高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第8页。22223．已知△ABC的三边abc且ac2b,AC高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第8页。2，求a:b:c4．在△ABC中，若abcabc3ac，且tanAtanC33，AB边上的高为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长[基础训练A组]一、选择题30,batan3023,c2b44,,4D作出图形,inB2inAinB,inA2AinB,2A,B都是锐角，则2AB,AB2,C21,A300或150025282721,600所求6B设中间角为，则co2582二、填空题,15,0abbinA62,∶b∶cinA∶inB∶inC7∶8∶13，a2b2c21,C1200令a7,b8,c13coC2ab2ACBCABACBCAB,,ACBCinBinAinCinBinAinCABAB262inAinB462inco高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第9页。22AB4co4,ACBCma4高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第9页。2三、解答题54解：acoAbcoBccoC,inAcoAinBcoBinCcoCin2Ain2Bin2C,2inABcoAB2inCcoCcoABcoAB,2coAcoB0coA0或coB0，得A所以△ABC是直角三角形。2或B2a2c2b2b2c2a22证明：将coB，coA代入右边2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2得右边c2abc2abc2aba2b2ab左边，abba∴abcoBcoAcbaba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴inAin2,即2A2B0B，即inAcoB；同理inBcoC；inCcoA高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第10页。2∴inAinBinCcoAcoBcoC高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第10页。ACACBBco4inco，4解：∵ac2b,∴inAinC2inB，即2in2222∴inBB1AC3B13，而0,∴co，co22222424∴inB2inBB31339co222448[综合训练B组]一、选择题CA6,B3,C2,a:b:cinA:inB:inC132::1:3:,AB，且A,B都是锐角，inAinB,2,2,inA2coBinCcoBinCcoBinCinBC2coBinC,inBcoCcoBinC0,inBC0,BC，等腰三角形5Babcbca3bc,bca3bc,22b2c2a21A,bca3bc,9,c3，B为最大角，coB22217ABABinABabinAinB22，ABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB2tan二、填空题1113239SABCbcinAc22233c,a42,a13,13abca13239inAinBinCinA332inB,AB，即tanAtanB高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第11页。222coB2coB11,tanAtanB1，高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第11页。coBcoCinBcoCcoBinCinBC为最大角，coC0,C为锐角62223122222222a2b2c6．5,13a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答题解：SABC21bcinA3,bc4,22abc2bcoA,b所以b1,c42c，而5cb证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴inAin2,即2A2B02B，即inAcoB；同理inBcoC；inCcoA∴inAinBinCcoAcoBcoC,∴tanAtanBtanC1证明：∵inAinBinC2ininAinBinC1coAcoBcoCABABcoinAB22ABABABAB2inco2inco2222ABABAB2incoco222CAB2co2coco高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第12页。222ABC4cococo高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第12页。222ABC∴inAinBinC4cococo222aba2acb2bc1，只要证1，4．证明：要证2bcacabbcacc即abcab而∵AB120,∴C6000222a2b2c22coC,ab2c22abco600ab2ab∴原式成立。CA3bcco22221coC1coA3inBinC∴inA222即inAinAcoCinCinCcoA3inB5．证明：∵aco2∴inAinCinAC3inB即inAinC2inB，∴ac2b[提高训练C组]一、选择题CinAcoA2inA,4而0A,2B高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第13页。4A452inA,A60,SABCbcinA6322高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第13页。,inBcoA，00A450,inAcoA，450B900,,bcabc,coA22222201,A1201*inAcoBin2AcoBinA,,inAcoAinBcoB6BcoAinBin2BcoAinBinA2inB2A,2或B2A2B2二、填空题对inAinB,则2直角三角形ababAB2R2R1,11coA21coB22cAoB21co2Aco2Bco2AB0,2coABcoABco2AB0coAcoBcoC02,A2B,iAncBoB,inAco,cab,inCinAinB,,ACACACAC,2inco4inco2222ACACACACco2co,coco3inin2222221C2Ain2则inAinC4in3221coAcoCcoAcoCinAinC3AC1coA1coC14in2in222ACAC2in22in24in2in211高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第14页。2222tanAtanC25[,tanBtanAtanC,tanBtanAC高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习全文共16页，当前为第14页。32tanAtanC1tanAtanCtanBtanAC2tanB1AiCn4．1in2Bintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanBtan3B3tanB,tanB0tanB3B322CcoBco2B6．1bac,inBinAinC,coAcoAcoCinAinCcoB12in2BcoAcoCinAinCcoB12inAinCcoAcoCinAinCcoB1coACcoB11三、解答题a2b2inABa2inAcoBin2A1解：2,222abinABbcoAinBinBcoBiAn,inA2coAiBn∴等腰或直角三角形iBn2A,2B或22AB2解：2RinAinA2RinCinC2abinB,ainAcinC2abinB,a2c22abb2,a2b2c22abc2ab,coC,C4502ab2222高中