一曲线的参数方程

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如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究Av=100m/s第2页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究xyOAv=100m/s-500第3页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究MxyOAv=100m/s-500第4页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数第5页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.第6页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.练习：指出下列参数方程中的参数第7页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三例1.第8页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2、参数方程和普通方程的互化第9页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么就是曲线的参数方程。第10页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？第11页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三（2）把平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。所以代入第12页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。练一练第13页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三2.求参数方程表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，）：（B）抛物线的一部分，这部分过（1，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，）第14页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解∵x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。

∵，又0<<2，0<x，故应选（B）说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。第15页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三例3

解（1）把

带入椭圆方程，得到

于是由参数的任意性，可取因此椭圆的参数方程为（为参数）

第16页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？因此椭圆的参数方程为（t为参数）和（2）把代入椭圆方程，得第17页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.曲线y=x2的一种参数方程是（）.

注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练一练第18页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三普通方程参数方程引入参数消去参数小结第19页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？3.圆的参数方程概念第20页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？3.圆的参数方程概念第21页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r，那么由三角函数定义有即讲授新课第22页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).讲授新课第23页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三讲授新课

考虑到＝t，也可以取为参数，于是有

这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.第24页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？第25页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)第26页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()第27页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()D第28页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习.的圆心为_________，半径为______.第29页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习.的圆心为_________，半径为______.(4,0)第30页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习.的圆心为_________，半径为______.(4,0)2第31页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圆x2+y2=16的参数方程为例1.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?参数方程的应用(1)参数法求轨迹方程第32页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三解:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例1.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?第33页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).∴x2+y2

的最大值为14+2，最小值为14-2。（2）.参数法求最值第34页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。第35页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三1.已知点P(x，y)