最优的折扣率问题

分类号：015密级：公开UDC：D10532-407-(2010)分类号：015密级：公开编号：2008062035最优的折扣率问题论文作者姓名： 王教申请学位专业： 信息与计算科学申请学位类别： 理学学士指导教师姓名： 李晓吉论文提交日期：最优的折扣率问题对于追求利润最大化的厂商决策者们，价格是市场营销组合中唯一能创造利润的因素。在众多的定价方法中，差别定价的作用日益突出。差别定价是厂家获利的一种重要的价格战略手段，通过差别定价，企业能够获得比同一定价时更多的消费者剩余。在垄断市场条件下,垄断厂商为了获取更多的消费者剩余,常采用二级价格歧视的方法获取最大利润。二级价格歧视理论近年来受到普遍关注，有很多学者对其进行了研究。目前，关于二级价格歧视理论的研究主要分为两个方面：一是在既知的需求条件下研究厂商如何对需求区间进行分段以获得最大利润；二是在线性需求条件下垄断厂商通过向消费者进行打折即固定折扣率的方法进行二级价格歧视。关键词：二级价格歧视、最佳分段、最优折扣率TheoptimaldiscountproblemDecision-makersofcompanyinordertothepursuitofprofitmaximization,thepriceisuniquefactorinthemarketingmixtocreateprofits.Inalargenumberofpricingmethods,differentialpricingplayanincreasinglyprominentrole.Differentialpricingisanimportantstrategicmethodforcompaniesachieveprofit,throughthedifferentialpricing,companiescangetconsumersurplusmorethanthesameprice。Inthemonopolymarketconditions,monopolistinordertogetmoreconsumersurplus,oftenusedthemethodofSecondDegreePriceDiscriminationtoobtainthemaximumprofit.Inrecentyears,theoryofSecondDegreePriceDiscriminationreceivedwideattention,meanwhilemanyscholarsstudyaboutit.Atpresent,thetheoryofSecondDegreePriceDiscriminationwasdividedintotwomainareas.Ontheonehand,underknownconditionsofdemand,Scholars'researchfactoryownershowdivideintointervalofdemand,inordertogetmaximumprofit.Ontheotherhand,underlinearconditionsofdemand,throughthediscountmethodforcustomers,inotherwords,throughthestationarydiscountratemethodachieveSecondDegreePriceDiscrimination.KeywordsSecondDegreePriceDiscriminationBestsectionTheoptimaldiscount目录论文总页数：24页TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 4\o"CurrentDocument"课题背景 5\o"CurrentDocument"国内外研究现状 5本课题的研究意义 6\o"CurrentDocument"本课题的研究方法 7\o"CurrentDocument"二级价格歧视原理的使用限制及实施措施 7\o"CurrentDocument"二级价格歧视的使用限制 7\o"CurrentDocument"建立数学模型研究两厂商的最优折扣率问题 8\o"CurrentDocument"在既知的需求条件下研究厂商如何对需求区间进行分段以获得最大利润 8线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化分析 8非线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化分析 10线性需求函数条件下垄断厂商利润最大化分析 13非线性需求函数条件下垄断厂商利润最大化分析 15总结 16\o"CurrentDocument"线性需求条件下最优特定折扣率的确定 16非线性需求条件下最优特定折扣率的确定 17特殊非线性需求条件下最优特定折扣率的确定 17一般非线性需求条件下最优特定折扣率的确定 19结论 21\o"CurrentDocument"参考文献 22声明 错误！未定义书签。引言1.1课题背景在垄断市场条件下,垄断厂商为了获取更多的消费者剩余,常采用价格歧视的方法获取最大利润。关于价格歧视的概念,泰勒尔在产业组织理论一书中的描述被公认是比较权威的：“当两个单位的同种商品对同一消费者或不同消费者售价不同,我们就可以说生产商实行了价格歧视。”其实这句话可以反过来理解：如果不同价格反映了产品的质量和成本的不同,那么这只是价格差别而非价格歧视。也就是说，价格歧视强调的是同一产品或微小差异的产品在不同情况下向不同或相同的消费者索取不同的价格,此时产品若有差别,则是来自生产商人为的划分。按照英国经济学家庇古在1920年的分类，价格歧视可以分为3类:完全价格歧视(个人化定价)即生产商能够实现向每个消费者索取他愿为每单位产品支付的最高价格。此时,生产商可以获得全部消费者剩余。这显然有个前提：生产商对消费者的需求了如指掌,因而才能实现对消费者的个人化定价。二级价格歧视(版本划分)它是通过生产商将自己的产品推出不同的版本用不同的价格卖给不同的消费者来实现的。这种价格歧视运用较广,因为它不需要生产商对消费者的情况很了解,变数也较大。这种价格歧视是基于消费者的自我选择机制的,生产商只是对自己的产品做了划分而已,并以此来区别消费者。在二级价格歧视下,如果每个版本的商品数越来越少,直到每个版本仅含有一个单位的商品时,就与完全价格歧视的情况完全相同。因此,完全价格歧视是二级价格歧视的极端状态。三级价格歧视(群体定价)即相同的产品,生产商对不同群体的消费者索取不同的价格,这种价格歧视也需要生产商熟谙消费者的情况。与二级价格歧视不同,这种价格歧视是直接将消费者群体做了划分,而不是借划分自己的产品来间接区分消费者。和完全价格歧视相比,在同一消费群体的消费者之间,无法再度形成价格歧视这种情形下,往往对产品需求程度高的或者对行情不大了解的消费者被索要高价，反之则享受低价。1.2国内外研究现状价格歧视理论近年来受到了普遍关注，并在垄断行业中得到了广泛的应

用。价格歧视就是出售技术上相同的物品，但其售价和边际成本不成比例。在垄断竞争市场中，在有着众多竞争对手、竞争激烈的行业里，价格歧视则以各种灵活的形式被广泛的应用。它作为一种有效的营销策略，不仅有利于增强企业的竞争力，实现其经营目标，也顺应了消费者心理差异，能够满足消费者的多层次需求。二级价格歧视是指垄断厂商把商品的购买量划分为两个或两个以上的等级，对不同等级的购买量索取不同的价格。二级价格歧视较多的出现在社会公用事业中。以电力公司为例对二级价格歧视作一个简单分析。假定每个家庭对电力的需求是相同的，家庭每月对电力的需求如图1所示：在图1中，D表示需求曲线；P表示价格；Q表示用电量。垄断厂商定价方法如下：当用电量为Q（或不足Q时），每千瓦时电的价格为P；当用111；用电量超过Q部分2电量超过Q达到Q或不足Q时，超过；用电量超过Q部分212212的价格为P。如果每个家庭月用电量为P，则每个家庭所缴的总电费为33f=PQ+P（Q-Q）+P（Q-Q）。f实际上就是垄断厂商的总收益。如果电1112213321力公司只获准收取一种价格，则当用电量为Q时，每千瓦时电的价格为P。33此时垄断厂商的总收益为f=PQ。记f=f-f，贝f表示垄断厂商从消费者23312处获得的消费者剩余，这部分消费者剩余就是垄断厂商因采用二级价格歧视所获得的收益。本课题的研究意义二级价格歧视是指消费者就某一商品或服务支付的总价格同购买的总数量不成线性比例的一种定价方式，如通常所说的数量折扣和数量补贴。自上世纪70年代以来，工业化国家普遍放松了对诸如电力、通信、自来水、煤气、铁路、民航等公用事业企业的规制，非线性定价也因此在这些行业的价格政策中得到了广泛的应用，其在理论层面的研究也得到了主流经济学的重视，成为产业组织理论、企业理论以及规制理论等微观经济学最新领域的核心研究内容。二级价格歧视也属于价格歧视领域，但这种方法有助于垄断厂商在识别消费者特征（比如，消费者口味）的基础上对消费者进行更仔细的歧视。两级定价作为一种最简单的非线性定价方法，已经得到了深入的研究。目前，对非线性定价的研究已从确定性和完全垄断条件的研究发展到随机性和竞争性条件下的研究。应当指出，规制条件下的（垄断）厂商定价问题也得到国内外学者的充分重视。因此，它对于我国公用事业领域正在进行的市场化导向的改革也具有重要的现实意义。1.4本课题的研究方法两厂商情形下的二级价格歧视讨论，主要利用微积分与最优化理论、博弈论等知识，建立数学模型，讨论在两个垄断厂商情形下最优的分段方法，或最优的折扣率问题，指导决策者的价格歧视策略，追求利润最大。本文主要通过两种方法来研究最优的折扣率问题：一是在既知的需求条件下研究厂商如何对需求区间进行分段以获得最大利润；二是在线性需求条件下垄断厂商通过向消费者进行打折即固定折扣率的方法进行二级价格歧视。二级价格歧视原理的使用限制及实施措施二级价格歧视的使用限制市场可以细分为不同需求弹性的消费者群体。该种细分能够达到市场内部最大同一性和细分市场之间的最大差别性的统一，只有如此，使用不同的策略才会更有针对性，更有效。细分市场之间不存在套利活动。如果套利成本小于价格差时，套利者就可能从一细分市场中以低价购买转向另一实行高价的细分市场转卖，从而使价格歧视成为投机者的空子。二级价格歧视的应用应考虑法律的限制：不能影响正当的竞争，其价格必须明码标价，并不构成暴利、价格欺骗或变相涨价。消费者不至于对二级价格歧视产生反感：当价格差别过大时，过多的支出并不能完全从心理满足上得到弥补。高价已超出弹性小的消费者的承受能力时，就会抵制购买从而使价格歧视无效。二级价格歧视的实施措施按地理位置不同，定以不同价格。在地区消费习惯、收人水平有较大差别时，可以使用。该种方式应充分考虑跨地区的套利成本。尤其是对于跨国公司来说，随着运输成本的减少，以及大多数国家之间的贸易壁垒减少的情况下，价格歧视应该慎重。按时间来划分。根据该商品或劳务的需求弹性变化具有时间性、周期性的特点，可根据一天的不同时间、一年的不同月份或淡季、旺季来制定不同的价格。因为服务业的生产与消费同时进行，但劳务不可贮存的特点，使套利成为不可能。因此，服务业在实行价格歧视时可不受这些限制。以购买数量为划分标准。这种方式常用于可以计量购买或消费量的行业。如水、煤、气、电等行业。该种方式的优点在于：消费者由自身需求弹性不同而选择自己认为最好的价格，企业不需细分；套利是不易发生的，消费者可以团结起来谋求折扣，这并不会造成企业的损失；对所有的消费者提供同样的价格结构，不会引起法律问题。以优惠券的形式给予消费者以折扣。这种方式很常用。通过在报刊、杂志上印优惠券，吸引收入水平低、对价格敏感的人去收集、享有低于市场价格的优惠。根据消费者的特点来区分。按年龄划分，如对儿童、学生、老年人收取特别入场费，按收入和教育来划分，如在电影、报纸、杂志订阅费、健康保险、餐馆等行业对学生实行特别价格；按职业划分，如对教师的折扣书价，对各级官员的优惠保险率，按是否是成员划分，如对图书馆、俱乐部和购买组织的成员的折扣等。当不能以时间、地理位置等方式将市场区分开来时，可以用非价格歧视的手段来支持价格歧视。二级价格歧视策略的运用使众多商家走出了单纯降价的“价格大战”的误区，成为越来越多的商家、企业所采用的更灵活、更主动的营销策略。二级价格歧视的运用也不再仅仅是企业短期内或临时性使用的战术，而使之成为更长期性、制度化、科学化的营销战略。二级价格歧视的运用也不单单是企业采用的唯一策略，而成为与其它营销策略相配合使用的营销组合。建立数学模型研究两厂商的最优折扣率问题3.1在既知的需求条件下研究厂商如何对需求区间进行分段以获得最大利润线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化分析设垄断厂商的产品的需求函数为P=a-bX。垄断厂商拟在一定销售范围内采用n段定价方法.设销售量X既定，将(o,x]分为n段，即(0,X ]=(0,X]u(x ,X ]u(x,X ]••• u (x ,X ]••• u (x ,x]第i段上的价格为n 1 1 2 2 3 -i 1 -n 1nP=a-bX。采用如此定价方法后，垄断厂商的收益TR为iiTR=PX+TR=PX+P(X-X)+P(X-X)+…+P(X-X)+…P(X1 1 2 2 1 3 3 2 iii-1nn)n-1将p二将p二a—bx•代人上式并化简可得iinnTR=-b乙X2+b乙ii=1XX+aXi-1i n=-b=-bSX2+b工ii=1XX+aX—bX2i-1i n n(1)在Q既定的条件下．TR最大化的条件为atr=0即a(1)在Q既定的条件下．TR最大化的条件为atr=0即aXiatr=baX1X-2X)=021(2)atr=baXi(X+X—2X)=0

i-1 i+1 i(3)i=2,3，…，n-1由式(2)可得X=2X,即214)由式由式(3)可得X+X-2X=0，即i-1 i+1i+1i=2，…,3，n-15)由式5)可得=X1i+1i=2，…,3，n-15)由式5)可得=X1，=XiXi-1Xn-1(6)由式4)和(6)可得TOC\o"1-5"\h\zX=X -X121(7)=X -X(7)32=，…，=X -Xi i-1=，…，=X -X

显然有：X+(X-X)+(X-X)+，…，+(X-X)+，…，+(X-X)=X12132ii-1nn-1n即X+X+X+，…，+X=X，即1111n1X=X1nni=2,3，…，n-1，由式(7)可得X=i=2,3，…，n-1，i1i-1由此可得=2X=2X=X+X:X2111nn123X=X+X=X+X:=312nnnnnX=XX=X+Xi1i-1X+X=Xn nn nnn-1X=X+X=Xn-11n-2nn归纳起来，有如下结论．结论1设垄断厂商在(0,X］上采用n段定价，垄断厂商收益最大化条件为niX=Xi=1,2,3，…，n-1•inn即X，X，X，…，X在需求量轴上呈等距分布•换言之，各分段区间的长1 2 3 n度相等．非线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化分析设垄断产品的需求函数为P=f(X)，f(X)%x的非线性函数.假定，f(X)为连续可导函数．进一步假定，f(X)严格单调递减，即f(X)<0.还假定f(X)>0,即假定需求曲线凸向原点.对于非线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化问题，不一定存在最优解•当需求函数f(X)在X=0处不连续(x=0为f(X)的第二类间断点)时，垄断厂商收益最大化问题就无解.解决此问题的办法是，任取x>0，在x的范围内实施价格歧视.因此X可以取得任意小，完全可以用在（X，X）的价格歧视作为在（O,X]00nn上的价格歧视．因此可以认为，非线性需求函数条件下垄断厂商收益最大化问题总是有解．下面来讨论垄断厂商采用n段定价方法时，垄断厂商收益最大化的条件.对于给定的X>0，，n将区间分为n段，即(o,x]=(对于给定的X>0，，n将区间分为n段，即(o,x]=(0,X]u(X,X]u(X,x]-U(x,Xn 1 1 2 2 3—i]…u(X,X]第i段上的价格为i1— nn1P=f（x），垄断厂商的收益TR为i iTR=f(X)X+f(X)(X—X)11221+…+f(X)(X—X)i i i—1+…+f(X)(X—X)nn n—1Lf(X)(X—X)i i i—1i二1规定X=0)0TR最大化条件为应=0即axiX—X)f('X)+f(X)-f(

i i—1 i ii=1,2,3，…，n-1X)=Oi+1(9)设x,x，…，x,x，…，x为式（9）的解，则必有:12, ii+1 n—10<X<0<X<X<,•••,<X<X<，…，<X1 2, i i+1<Xn—1 n(1O)由（10）式可得由（10）式可得x工x工x1 2,••，工X丰X，…，工X丰Xi—1 i n—1，从而由式（9）可11)(X)=f(X)-f(x11)i因此.在最优解存在的条件下，各分段点X（i=1,2,3，…，n-1）可以由式（9）或i者式（11）求出。关于各分段区间的长度之间的关系，有如下结论.结论20<X<X-X<X-X<,•••,<X-X<X-X<,•••,<X-X1 2 1 3 2 i i—1 i+1 i n n—1

f'(Xf'(X)=f(x)-f(x)ii+1X—XTOC\o"1-5"\h\zi i—1f(X)—f(X)X—X~i+1 iX—Xi i—1因，f(X)在［X,X］上连续，并在(x,X)上可导•根据拉格朗日定理,ii+1 ii+1必存在X*满足X<X*<Xi i+1使得f'(X*)=f(Xi+1)—f(X) (13)X—Xi+1 i将(13)带入(12)得：f'(X)=f'(X*) X~即i X—Xi i—1f'(X)X—Xi i+1 if'(X*)X—Xi i—1因为X<X*，且f(x)严格单调递减，所以f(x)在X处的斜率小于X*处的斜率。i故f'(X)<f'(X*)。因f'(X*)<0，故有1<尸"Xi)即1< X~，即i f'(X*) X—Xi i—1X—X<X—X。证毕。i i—1 i+1 i定理2表明，在非线性需求函数情形下，垄断厂商收益最大化条件为各分段区间的长度单调递增定理1表明，在采用n段定价方法时，对于线性需求函数情形，垄断厂商收益最大化条件为各分段区间的长度相等•下面将证明，定理1的逆定理也成立.有下述结论.定理3设垄断厂商在(0,n］上实施n段定价。垄断厂商收益最大化条件为各分段区间长度相等的充要条件为需求函数为线性需求函数.充分性前面已证明.现根据式(11)再证如下.设需求函数为线性需求函数p=a-bX(a>0,b>0)贝Uf'(x)=—bif(X)-f(X)=(a-bX)—(a-bX)=—b(X-X)i+1 i i+1 i i+1 i由式(11)可得f'(X)=f(X) -f(X)ii+f'(X)=f(X) -f(X)ii+1X-Xi i-1-b(X -x)从而有—b—-b(X-X)X-Xi i-1X-Xi i-1即X-X=X-Xi i i-1面证明必要性。如果X-X=X-Xiii=l,2,3,•••.n-1,由(11)式可得f(x)=f(x)—f(x)i+X-Xi i-1f(X)-f(X)X-Xi+1 iAf(X)Af(X)AXii—1,2,3.n—1(14)i-1式(14)中Af(X)—f(X)-f(Xi-1TOC\o"1-5"\h\zi i-1 if(X)表示经过需求曲线上点(X，f(X))的切线的斜率。Af(Xi)表示连i i i AXi接需求曲线上两点(X,f(X))和(X,f(X))的割线的斜率．考虑到i i i+1 i+1需求函数的凸性假定，由式(14)可以得出，需求函数P—f(X)在每一个分段区间上都必须是线性函数.再由需求函数连续可导的条件可知，需求函数p—f(X)在区间(0,X]]上必须是线性函数•由于X可以任意给定，故需求函数P-f(X)nn在其整个定义域上必须是线性函数。证毕线性需求函数条件下垄断厂商利润最大化分析设垄断厂商的成本函数为TC(X)设垄断厂商的利润最大化产量为X*，记X-X*•与垄断厂商收益最大化问题不同的是X不是既定，而是需要作为待定nn数由最优化条件加以确定.将区间(o,x]分成n段，即n(o,x]—(o,x]u(X,x]u(X,x (X,x(x,x]n 1 12 23 i-1i n-1n第i段上的价格为P-a-bX•垄断厂商的利润兀为ii

n=PX+P(X—X)+…+P(X—X)+…+P(X—X)—TC(X)11221iii-1nnn-1nX2+ZXX+ax—TC(X)i i—1inni二1 i二2n最大化的条件—=0,i=1,2,3，….n，即axiX—2■2X=01(15)X+X=2Xi=1,2,3，….n—1(16)i—1i+1 ibX—2bx+a+MC(X)=0(17)n-1 n n联立求解式(15)，式(16)和式(17)即可求出最优的X，i=1,2,3，….ni求解步骤如下:1)联立求解式(15)和式(16)可得18)1918)19)X=X,i=1,2,3，….ninn2)将Xn-11X代人(17)式并整理可得a-b(1+丄)X=MC(X)

nnn2)将Xn-1由式(19)可以解出X再由式(18)可具体算出X,i=1,2,3，….n-1ni由式(18)可知，在线性需求函数情形下，垄断厂商的利润最大化条件为各分段区间的长度相同．由式(17)，可以得出如下结论．结论4在线性需求函数情形下，垄断厂商采用n段定价法的利润最大化产量大于其在非价格歧视条件下的利润最大化产量．证明垄断厂商采用n段定价法的利润最大化产量x满足式(17).由式(17)n可得1X+a—2bx—MC(X)=0即nn n n1bX+MR(X)=MC(X) (20)nnnn21)22)设垄断厂商在非价格歧视条件下的利润最大化产量为X#，则X21)22)MR(X#)=MC(X#)由式(20)可得MR(X)<MC(X)

无论是价格歧视还是非价格歧视，垄断厂商利满最大化产量都位于边际成本递增的阶段.将式(21)和式(22)相比较可得出x>X#证毕n设某垄断厂商的成本函数为TC=60X+X2,需求函数为p=360-2X・设垄断厂商在实施价格歧视时,采用二段定价法.求利润最大化产量,并确定价格的分段区间.解本例中，n=2,a=360,b=2,MC(X)=60+2X.设利满最大化产量为X。，则由式(19)可得360-2(1+-)X=60+2X(23)222解式(23)可得X=60.相应的价格为P=360-2X60=240由式(⑸可得22X=-X=-X60=30相应的价格为P=360-2x30=30012221垄断厂商的最大利润为n=PX+P(X-X)-TC(X)112212=300x30+240(60-30)-(602+602)=9000注：在非价格歧视条件下，垄断厂商的利润最大化产量为50,相应的最大利润为7500．非线性需求函数条件下垄断厂商利润最大化分析设垄断厂商采用n段定价方法.各分点为x,X,…，X设垄断厂商的需求函12n数为p=f(X)，成本函数为TC(Q),贝U利润n为n=tf(X)(X-X)-TC(X)TOC\o"1-5"\h\zii i-1 n0i二1可以证明,n最大化的条件为24)25)f(X)-f(24)25)f(X)=e ti=1,2-yn一1i X-Xi i-1f'(XnMC(X)-f'(Xnn nX-X联立求解式(24)和式(25)可得到最优分点X，i=1,2,…ni根据式(24)和式(25)，可以证明下述结论定理5设X，(i=1,2,…n)表示最优的分点，则有i结论1X<X-X<…<X-X<…<X-X1 2 1 i i-1 n n-1结论2x=x-x=…=X-X=…=X-X的充要条件是p=f(x)为1 2 1 i i-1 n n-1线性需求函数。结论3垄断厂商采用n段定价法的利润最大化产量大于其在非价格歧视条件下的利润最大化产量．下面只对结论3的证明作一个简要说明关键是证明MR(X)<MC(X).nn由式(25)可得Xf'(X)-Xf'(X)=MC(X)-f(X)即TOC\o"1-5"\h\zn n n-1 n n nXf'(X)+f(X)-Xf'(X)=MC(X)n n n n-1 n nMR(X)-Xf'(X)=MC(X) (26)n n-1 n n因f'(X)<0，从而—Xf'(X)>0n-1 n由式(26)可得MR(X)<MC(X)nn总结在既知的需求条件下厂商如何对需求区间进行分段以获得最大利润？上文分别在线性需求函数和非线性需求函数情形下讨论了垄断厂商的收益最大化和利润最大化问题，并给出了有关的计算公式．这些公式的计算量都不大(线性需求函数条件下尤其如此)，因而很便于在实际中推广应用．关于二级价格歧视问题的分段段数的确定，主要取决于实际操作上的方便．一般说来，分段的数目越少．操作上越方便．建议分段的数目以3一5为宜．线性需求条件下最优特定折扣率的确定设需求函数为P=a-bX，[0,cx]=[0,x]U[x,x]U[x,x]U-[x,x],特定折扣率为R 0 01 1 2 n-1 nP=pp则总收益见图（2）nn0p,P=pp则总收益见图（2）nn01 2 n 1 10-X)n-1P卩—P卩—01TR=PX+P(X-X)+…+P(X0 0 1 1 0 -X)n-1P卩—P卩—01TR=PX+P(X-X)+…+P(X0 0 1 1 0 na-P°F-P卩°=P0+Pp0 01+Pp0b 0 1b 0 2 b■0 2+・・・+P卩0=・(-1+卩+卩卩+•b112••+Pp-p2-p2 p2)+1 2 nn-1naTR/ap=0,(i=1,2,…,n)i「1—2卩+p=012p-2p+p=01 2 3即….p—2卩+p=0n-2 n-1 np-2p=0n-1n解为：p=口,p=心，…,p1n2n此时，X-X=X-X=X-X=…X-X=P/nb1 0 2 1 3 2 n n-1 0通过对线性需求条件下最优折扣率的研究可以得出：线性需求条件下采用最优特定折扣率定价与等分需求区间定价的效果是等价的。文献[1]指出:在线性需求条件下,等分需求区间、固定折扣率与特定折扣率定价方式在使垄断厂商获取的消费者剩余方面无明显差异,但从（1）式可以看出,采用特定折扣率给消费者一种打折幅度更大的感觉（如n二4时，折扣率为0.75、0.50、0.25）。最优特定折扣率确定时，线性需求条件下大产量由分段数n确定。5非线性需求条件下最优特定折扣率的确定5.1特殊非线性需求条件下最优特定折扣率的确定设需求函数为特殊的非线性函数：P=a/X（a>0）。并且假设[0,X]=[0,x]U[X,x]U[X,x]U・[X,x],p=p卩，…,p=p卩，p=p卩n 0 0 1 1 2n-1 nn n-1n-1则P=P/卩卩…卩，P=P/卩卩…卩，…，P=P/卩1n12 n-12n23 n-1 n-1 n，从而得n-1到特殊非线性需求下的总收益（见图3）：322211TR=PX+P(X—X)+…+P(X—X)TOC\o"1-5"\h\z112 2 1 nn n—1Pa a=na—n0 —…—P0B…B P n_P_2 n—1 n n卩卩…卩卩12 n—1 n—1=na—aB—aB—…—aB1 2 n—1因为dTR/dB=-a<0，固故使总收益最大的特定折扣率(0<B<1)并不存ii在。若在X=0右边取一个足够小的点X考虑其经济意义,可以取为一个单位产0品，则在［X,X］上实行价格歧视完全可以看成(0,X］是在上实行价格歧视。。0n n就经济意义而言，价格P”也是不可能的。在［X,X］上分n段实行二度价格0n歧视，设[x,X]=[X,X]U[x,X]U…[x,X]，则总收益为:0n 01 12 n—1nTR=P(X—X)+P(X—X)+…+P(X—X)11 0 22 1 nn n—1P a a P一na— n 0 —-…一P0 — n XB…Bp/BB•BnP/B BB…B2 n—1 n12n—1n n—1 1 2 n—1=na—aB—aB—…—aB—PX/BB…卩12nn012 n—1令aTR/SB=0,(i=1,2,3,-…,n)iPX/B2B……B-a=0n012n—1即PX/BB2…B-a=0n012n—1PX/BB••B2—a=0n012n—1TOC\o"1-5"\h\z解为：B=B=…=B="、：px/a="、：x/X (2)1 2 n—1 n0 0 n最优特定折扣率为：B*=BB・・・B=\.;，Xi/Xi，1<i<n-1i 1 2 i 0 n特殊非线性需求条件下最优特定折扣率为固定折扣率，它完全由X，X及0n分段数n确定。文献［4］中，最优固定折扣率B*并没有给出具体解。实际上，由(2)式可知：在特殊非性需求条件下最优固定折扣率为B*=/X。在此0 n解决了现有文献在一般非线性需求条件下，对固定折扣率只能讨论解的存在性而无法求出具体解的难题。结论2：在特殊非线性需求条件下特定折扣率定价与固定折扣率定价等价。一般非线性需求条件下最优特定折扣率的确定设需求函数P=f(X)，由于f'(X)<0，则反函数X=g(P)存在，且g'(Pg'(P)<0。将［X,X］分成n段,即0n[X,X]=[X,X]U[X,X]U-[X0n 0 1 1 2 n-1X]，待nIX.X.X.X”X.X图4-般非线形条件下的收益定，X(i=1， 2,3,IX.X.X.X”X.X图4-般非线形条件下的收益ip=Bp,p=Bp,p=Bp,…,p=pp，b为特定折扣率。则垄断厂TOC\o"1-5"\h\z1 1 0 2 2 0 3 3 0 n n0商以特定折扣率进行二度价格歧视获取的总收益(见图4)为：TR=PX+P(X-X)+P(X-X)+…+P(X-X)00 1 1 0 2 2 1 nn n-1=Pg(P)+卩P[g(卩P)-g(P)]+…+pP[g(卩P)-g(卩P)]0 0 10 10 0 n0 n0 n-10令aTR/。卩=0,(i=1,2,…,n)iP[g(卩P)-g(P)]+卩P2g'(卩P)-卩P2g'(卩P)=0010010102010P[g(卩P)-g(卩P)]+卩P2g'(卩P)-卩P2g'(卩P)=0TOC\o"1-5"\h\z0 20 10 20 20 30 20P[g(卩P)-g(卩P)]+卩P2g'(BP)=00 n0 n-10 n0 n0令H(卩)