注重数学语言各种形态之间的互译能力培养

注重数学语言各种形态之间的互译能力培养

摘要：数学语言是数学知识的重要组成部分，它既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现；它既是表达的工具，又是交流的工具。数学语言与符号的使用能力是数学素质的一个重要因素。“数学教学也就是数学语言的教学”。那么数学学习也是数学语言的学习。无论教师的教还是学生的学，都要注重数学语言各种形态之间的互译能力培养和训练。对学好数学和问题解决起着重要作用。

关键词：数学语言；互译；

数学语言中的符号语言、图形语言是一种有别于自然语言的科学专业化语言，是人类数学思维长期发展过程中形成的特殊表达形式。数学语言是数学知识的重要组成部分，数学语言与符号的使用能力是数学素质的一个重要因素。它既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现；它既是表达的工具，又是交流的工具。数学语言归纳为三种形式，即符号语言、图形语言、普通语言。同一数学研究对象，往往可用不同的语言形态表达。普通语言比较自然、生动、通俗。中学数学教材中的概念、定理等多以普通语言的形式叙述。图形语言易引起清晰的视觉形象，直观、明了、易懂。图形语言则是作为普通语言与符号语言的补充，为数学思维活动提供直观模型，变抽象为具体。数学所特有的符号语言与普通语言相比有其简单性、严密性和可操作性的特点。数学符号语言除了较大地简化复杂的理论和数学问题解决的操作过程之外，还为数学的发展和创造起着重要作用。如，当学生听到或者读到“增函数”概念时，他应该能联想起增函数的性质和图象：函数在单调区间内，函数值随着自变量的增大而增大。图象在单调区间内从左到右呈单调上升趋势。而如果能够针对某个具体函数，说出或写出“对于任意两个属于单调区间的ｘ１，ｘ２，如果当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ＞ｆ，则说ｆ在这个单调区间上是增函数”，那么也就会判断一个函数的增减性了。三种语言形式从不同方面表达了问题的共同性。也即同一数学问题的多重性表达。正因为数学语言是数学知识的重要组成部分，在学习数学的过程中我们就应该注意数学语言的掌握，特别是不要为众多陌生符号的使用所“吓倒”。这就如同怀特海所指出的：“由于大量的数学符号，往往数学被认为是一门难懂而又神秘的科学。当然，如果我们不了解符号的含义，那就什么也不知道。而且对于一个符号，如果我们只是一知半解地使用它，则也无法掌握和运用自如。……但是，不能认为这些术语和符号的引入，增加了这些理论的难度。相反地，这些术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表达和解决问题。特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。”斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学”。老师的教与学生的学是以不同的数学语言信息形式进行沟通的。学生在数学学习中对数学语言的分辨、理解与使用能力直接关系到他们的数学思维的发展，及对数学知识的理解、掌握和应用。所以，数学学习中对学生的分辨、理解与使用数学语言能力的要求必然不同于一般的语言学习，它除了要求学生能够准确输入信息、快速和灵活处理信息、正确输出信息之外，还要求学生具备从一种语言形式转换到另一种语言形式的能力，要求学生“掌握数学语言的形式与所表达内容的正确联系，能将自然语言数学化，数学语言符号化和图式化，以及进行各种数学语言之间相互沟通”。[1]“培养学生的数学语言能力包括以下两个方面：一是掌握数学语言，包括接受和表达两种方式，二是帮助学生掌握好非数学语言和数学语言以及各种数学语言的互译转化。”数学语言各种形态之间的互译是指一种语言形态向另一种语言形态之间的相互转换与翻译。在数学学习中各种语言形态之间的互译，有利于对数学知识的理解和记忆，并为合理、简洁、准确地用数学语言表达数学思维过程和解决问题铺平道路。数学问题通过阅读理解、抽象思维、推理演算，直到问题解决，实质上是数学语言各种形态之间的转化或互译过程，也是数学语言各种形态的表达。以下通过几个教学实例的解析，谈谈三种数学语言形态之间互译以及在解题中的应用。普通语言与符号语言的互译例1已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先将普通语言转换为数学符号表达式：设长方体长宽高分别为x，y，z，则,长方体所求对角线长为：＝＝＝5所以选B。【评析】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，也即普通语言与符号语言的转化。观察和分析三个数学式，使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。对于数学建模题型，一般都是以普通语言的形式叙述的实际问题，学生在解决这方面的问题时，在信息提炼的过程中，受数学语言转换能力的影响，无法将实际问题和数学模型相联系，直接影响着实际问题数学化，以至于无法下手解题。例2长方体枕木的分散荷载是平均分布在枕木上的荷载，以枕木每厘米长度上荷载多少千克来计算，并称不致枕木被折断或发生永久变形时所承受的最大分散荷载的安全分散荷载。实验知道：枕木的安全分散荷载是跟它的宽度b成正比，跟它厚度d的平方成正比，而跟它的长度l的平方成反比。现有一根枕木，如果将它以长边为轴翻转90°，即让它的长度不变，原来的宽度变成厚度，原来的厚度变为宽度，则枕木的安全分散荷载将如何变化？现有一根圆形木材，截成横截面为矩形的枕木，木材长度即为枕木长度，试问如何截法，才能使得枕木的安全分散荷载最大。【分析】理解题意，写出原分散荷载的符号语言表达式为翻转后荷载的符号语言表达式为两式相比得：∴当厚度大于宽度时，翻转后荷载变小，当厚度等于宽度时，翻转后荷载不变；当厚度小于宽度时，翻转后荷载变大。设圆柱形木材的横截面半径为R，则b2+d2=4R2∵木材长度不变∴y=bd2最大时，分散荷载最大，此时。故当截取枕木的厚度是宽度的倍时，安全荷载最大。【评析】解答数学应用题必须加强阅读、理解能力的训练。准确、恰当地实施普通语言向符号语言的转化，是灵活运用数学知识建立数学模型和解答应用题的关键。符号语言与图形语言的互译例3如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，求的取值范围。【分析】本题若用代数方法设=k代入求解较繁。理解符号的几何意义，问题转译为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；也即过原点与圆相交的直线的斜率范围问题。只需求出两个与圆相切的直线的斜率即可。例4设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b}，B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15}(m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解。根据主参数a、b的不确定性，用动的观点看待之。则此问题可转译为普通语言表述：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，判定动点(a,b)与圆x＋y＝144的位置关系。问题转化为判定原点到直线L：nx＋y＝3n＋15的距离。

【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15；设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，圆心到直线的距离d＝＝3(＋)≥12∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。【评析】此题对集合符号语言的理解与转化为点集，特别是对“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意的理解是解决问题的关键。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。例5解不等式：。【分析】若应用常规的方法解此题：即平方、移项、合并同类项等方法将其化归为有理方程进行求解，其复杂性是显而易见的。注意到不等式左边的结构特点，即可化为：这时化静为动得到一个平面区域：如图1所示，这是一个a=4,c=3的椭圆及内部区域：再以静制动，令y=2可得原不等式的解为。【评析】此题典型体现了数学解题过程中动静的互相转化。也体现了符号语言向图象语言的转化，因而使得问题由抽象变为直观形象而易于解决。普通语言与图形语言的互译例6不等式恒成立，求实数a的取值范围。【分析】此题用两边平方、整理、讨论的代数方法解决较繁。如果构造函数和,便可利用函数图象的特点，使问题便于解决。解析：设，，在同一坐标系中分别作出它们的图象，如图2。不难看出当直线过点时这时,在定义域范围内不等式恒成立。∴时不等式恒成立。【评析】借用数形结合的思想方法，把普通语言转译为图形语言，利用函数图象的特点，使问题变的直观易解。例7求边长为1的正方形所在平面内的任一点到正方形四个顶点距离之和的最小值。【分析】这是一个以普通语言形式叙述的数学问题。我们不妨根据其几何意义用符号表示：如图3设P是边长为1的正方形ABCD所在平面内的任一点，求f(P)=PA+PB+PC+PD的最小值。建立直角坐标系，则有A，B，C(1,1)，D(0,1)。设P(x,y),则f(P)=PA+PB+PC+PD=面对此较复杂的式子一时难以下手,根据其特征，考虑复数方法解决，将其赋以复数符号语言：设z1=x+yi,z2=x+(1-y)i，z3=(1-x)+yi,z4=(1-x)+(1-y)i。则f(P)===。其中，等号当且仅当x=y=时成立。所以f(P)的最小值为。【评析