2023中考分类汇编平行四边形中等难度(含答案解析)

平行四边形中等难度教师版

选择题（共17小题）

1.（2023•枣庄）如图，△ABC中，AB=4,AC=3,AD>AE分别是其角平分线和中线，过

点C作CG_LAD于F,交AB于G,连接EF,那么线段EF的长为（）

A.1B.IC.ID.7

22

2.（2023•浙江模拟）如图，在口ABCD中，AD=6,AB=4,DE平分NADC交BC于点E,

那么BE的长是（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023・重庆）一个多边形的内角和是900。，那么这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

4.（2023・三明〕一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

5.（2023•泰安）如图，ZACB=90°,D为AB的中点，连接DC并延长到E,使CE=」CD,

3

过点B作BFIIDE,与AE的延长线交于点F.假设AB=6,那么BF的长为（）

A.6B.7C.8D.10

6.（2023・铁岭）如图，。ABCD中，NABC和NBCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,

CE=3,那么AB的长是（）

A.至B.3C.4D.5

2

7.（2023•淄博）如图，△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上，NABC的平分线垂直

于AE,垂足为Q,NACB的平分线垂直于AD,垂足为P,假设BC=10,那么PQ的长为

（）

A.卫B.三C.3D.4

22

8.（2023•益阳）如图，平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一

个条件使△ABE空△CDF,那么添加的条件不能是（）

A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.Z1=Z2

9.（2023•十堰）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD

于点E,那么ACDE的周长是（）

A.7B.10C.11D.12

10.（2023•汕头）如图，~ABCD中，以下说法一定正确的是（〕

A.AC=BDB.AC±BDC.AB=CDD.AB=BC

11.（2023・天水）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点,

假设A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，那么在平面内符合这样条件的点口有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.（2023•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB,BC的中点.假设△DBE的

周长是6,那么△ABC的周长是（）

A.8B.10C.12D.14

13.（2023・长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）

A.相等B.互相平分

C.互相垂直D.互相垂直且相等

14.（2023•呼伦贝尔）一个多边形的每个内角均为108。，那么这个多边形是（）

A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形

15.（2023•大庆校级模拟）以下说法中错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

16.（2023•达州）如图，在RsABC中,ZB=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上，以AC

为对角线的所有QADCE中，DE最小的值是（）

A.2B.3C.4D.5

17.（2023・临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）

A.减少180°B.增加90℃.增加180D增加360。

二.填空题（共5小题）

18.（2023•安徽）如图，在口ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CEJ_AB,垂足E

在线段AB上，连接EF、CF,那么以下结论中一定成立的是把所有正确结论的序号都填

在横线上）

①NDCF=izBCD；②EF=CF；③.BEC=2SACEF；④NDFE=3ZAEF.

2

19.（2023•福州）如图，在nABCD中，DE平分NADC,AD=6,BE=2,那么口ABCD的周

长是.

20.（2023♦无锡）如图，0ABCD中，AE_LBD于E,NEAC=30°,AE=3,那么AC的长等

于.

21.（2023•福州）如图，在RtZkABC中,NACB=90。，点D,E分别是边AB,AC的中点，

延长BC到点F,使CF=2BC.假设AB=10,那么EF的长是.

2

22.（2023・资阳）假设一个多边形的内角和是其外角和的3倍，那么这个多边形的边数是.

三.解答题（共8小题）

23.（2023•凉山州）如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及

等边△ABE.NBAC=30。，EF_LAB,垂足为F,连接DF.

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.

24.（2023•枣庄）如图，oABCD中，BD_LAD,NA=45。，E、F分别是AB,CD上的点，

且BE=DF,连接EF交BD于0.

（1）求证：BO=DO；

（2）假设EF_LAB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时，求AD的长.

25.（2023•宿迁）如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，AH是边

BC上的高.

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：ZDHF=NDEF.

26.（2023•舟山）：如图，在。ABCD中，O为对角线BD的中点，过点0的直线EF分别交

AD,BC于E,F两点，连结BE,DF.

（1）求证：△DOE2△BOF；

（2）当NDOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.

27.(2023•深圳)BD垂直平分AC,NBCD=NADF,AF±AC,

(1)证明四边形ABDF是平行四边形；

(2)假设AF=DF=5,AD=6,求AC的长.

28.(2023•南京)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EFIIAB,

交BC于点F.

(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

29.(2023•白银)D、E分别是不等边三角形ABC(即ABWBCHAC)的边AB、AC的中点.O

是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接

点D、G、F、E.

(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

(2)假设四边形DGFE是菱形，那么OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，

不需要说明理由.)

30.(2023•简阳市模拟)：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM.CM、

BA的延长线相交于点E.求证：

(1)AE=AB；

(2)如果BM平分NABC,求证：BM±CE.

平行四边形中等难度教师版

参考答案与试题解析

选择题(共17小题)

1.(2023•枣庄)如图，△ABC中，AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线，过

点C作CG_LAD于F,交AB于G,连接EF,那么线段EF的长为()

A.1B.IC.ID.7

22

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】由等腰三角形的判定方法可知AAGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由条

件可得EF为^CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长.

【解答】解：「AD是其角平分线，CG_LAD于F,

△AGC是等腰三角形，

AG=AC=3,GF=CF,

•••AB=4,AC=3,

BG=1,

•••AE是中线，

BE=CE,

EF为△CBG的中位线，

EFJBGJ,

22

应选：A.

【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线

平行于第三边，并且等于第三边的一半.

2.(2023•浙江模拟)如图，在口ABCD中，AD=6,AB=4,DE平分NADC交BC于点E,

那么BE的长是()

A.2B.3C.4D.5

【考点】平行四边形的性质.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD=6,CD=AB=4,ADIIBC,得

ZADE=ZDEC,又由DE平分NADC,可得NCDE=NDEC,根据等角对等边，可得

EC=CD=4,所以求得BE=BC-EC=2.

【解答】解：〈四边形ABCD是平行四边形，

BC=AD=6,CD=AB=4,ADIIBC,

•.NADE=ZDEC,

DE平分NADC,

/.ZADE=ZCDE,

ZCDE=ZDEC,

EC=CD=4,

BE=BC-EC=2.

应选：A.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理.注意当

有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形.

3.（2023・重庆）一个多边形的内角和是900。，那么这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【考点】多边形内角与外角.

【专题】计算题.

【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）・180。，这样就得到一个关于n的方程

组，从而求出边数n的值.

【解答】解：设这个多边形是n边形，

那么（n-2）•180°=900°,

解得：n=7,

即这个多边形为七边形.

故此题选C.

【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

4.（2023・三明）一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

【考点】多边形内角与外角.

【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解.

【解答】解：设所求正n边形边数为n,由题意得

（n-2）•180°=360°x2

解得n=6.

那么这个多边形是六边形.

应选：C.

【点评】此题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角

和的特征：任何多边形的外角和都等于360。，多边形的内角和为（n-2）・180。.

5.（2023・泰安）如图，ZACB=90°,D为AB的中点，连接DC并延长到E,使CE=』CD,

3

过点B作BFIIDE,与AE的延长线交于点F.假设AB=6,那么BF的长为（）

A.6B.7C.8D.10

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=』AB=3,那么结合条件

2

CEJCD可以求得ED=4.然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8.

3

【解答】解：如图，•••ZACB=90°,D为AB的中点，AB=6,

CD=1AB=3.

2

又CE」CD,

3

CE=1,

ED=CE+CD=4.

X-.-BFIIDE,点D是AB的中点，

ED是^AFB的中位线，

BF=2ED=8.

应选：C.

【点评】此题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线.根据条件求得ED的长

度是解题的关键与难点.

6.（2023•铁岭）如图，口ABCD中，NABC和NBCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,

CE=3,那么AB的长是（）

A.至B.3C.4D.5

2

【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理.

【分析】根据平行四边形的性质可证明ABEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长,

利用角平分线的性质以及平行线的性质得出NABE=NAEB,NDEC=NDCE,进而利用平

行四边形对边相等进而得出答案.

【解答】解：.•.四边形ABCD是平行四边形，ZABC.NBCD的角平分线的交点E落在

AD边上，

ZBEC=lxl80°=90°,

2

BE=4,CE=3,

BC=V32+42=5,

ZABE=ZEBC,ZAEB=ZEBC,ZDCE=ZECB,ZDEC=ZECB,

ZABE=ZAEB,ZDEC=ZDCE,

AB=AE,DE=DC,即AE=ED=1AD=2BC=2

222

由题意可得：AB=CD,AD=BC,

AB=AE=—,

2

应选：A.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理

等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键.

7.(2023•淄博)如图，△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上，NABC的平分线垂直

于AE,垂足为Q,NACB的平分线垂直于AD,垂足为P,假设BC=10,那么PQ的长为

()

A.圣.王C.3D.4

22

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】首先判断△BAE、ACAD是等腰三角形，从而得出BA=BE,CA=CD,由△ABC

的周长为26,及BC=10,可得DE=6,利用中位线定理可求出PQ.

【解答】解：BQ平分NABC,BQ_LAE,

△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，

.♦.点Q是AE中点，点P是AD中点(三线合一)，

二PQ是△ADE的中位线，

•••BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16,

DE=BE+CD-BC=6,

PQ=1DE=3.

2

应选：C.

【点评】此题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是判断出△BAE、4CAD是等

腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是4ADE的中位线.

8.(2023•益阳)如图，平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一

个条件使△ABE合△CDF,那么添加的条件不能是()

0•

A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.Z1=Z2

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定.

【专题】几何图形问题.

【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可.

【解答】解：A、当AE=CF无法得出△ABE2ACDF,故此选项符合题意；

B、当BE=FD,

•••平行四边形ABCD中，

AB=CD,ZABE=NCDF>

在4ABE和^CDF中

'ABXD

<NABE=/CDF，

BE=DF

△ABE空△CDF(SAS),故此选项错误;

C、当BF=ED,

BE=DF,

平行四边形ABCD中，

AB=CD,ZABE=ZCDF,

在^ABE和^CDF中

'AB=CD

<ZABE=ZCDF，

BE=DF

AAB空ACDF（SAS）,故此选项错误；

D、当N1=Z2,

平行四边形ABCD中，

AB=CD,ZABE=ZCDF,

在4ABE和4CDF中

'Nl=/2

<AB=CD，

ZABE=ZCDF

△AB敌ACDF（ASA）,故此选项错误；

应选：A.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三

角形的判定方法是解题关键.

9.12023•十堰）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD

于点E,那么ACDE的周长是（）

A.7B.10C.11D.12

【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】计算题.

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC,再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4,

AD=BC=6,进而可以算出△CDE的周长.

【解答】解：AC的垂直平分线交AD于E,

AE=EC,

•••四边形ABCD是平行四边形，

DC=AB=4,AD=BC=6,

：.ACDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10,

应选:B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边

形两组对边分别相等.

10.（2023♦汕头）如图，"BCD中，以下说法一定正确的是（）

A.AC=BDB.AC±BDC.AB=CDD.AB=BC

【考点】平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可.

【解答】解：A、AOBD,故A选项错误；

B、AC不垂直于BD,故B选项错误；

C、AB=CD,利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；

D、ABHBC,故D选项错误；

应选：C.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键.

11.（2023・天水）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点,

假设A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，那么在平面内符合这样条件的点D有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】平行四边形的判定.

【专题】几何图形问题.

【分析】根据平面的性质和平行四边形的判定求解.

【解答】解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构

成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个.

应选：C.

【点评】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题

在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系.注意图形结合的解题思想.

12.（2023•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB,BC的中点.假设△DBE的

周长是6,那么△ABC的周长是（）

A.8B.10C.12D.14

【考点】三角形中位线定理.

【分析】首先根据点D、E分别是边AB,BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然

后根据三角形中位线定理，可得DE=JAC,最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的

2

周长和△DBE的周长的关系，再结合ADBE的周长是6,即可求出△ABC的周长是多少.

【解答】解：..•点D、E分别是边AB,BC的中点，

DE是三角形BC的中位线，AB=2BD,BC=2BE,

DEiiBC且DEJAC,

2

又AB=2BD,BC=2BE,

AB+BC+AC=2（BD+BE+DE）,

即^ABC的周长是4DBE的周长的2倍，

•••△DBE的周长是6,

:ABC的周长是：

6x2=12.

应选：C.

【点评】（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握.

13.（2023•长沙〕平行四边形的对角线一定具有的性质是（）

A.相等B.互相平分

C.互相垂直D.互相垂直且相等

【考点】平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案.

【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，

应选:B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

14.（2023•呼伦贝尔）一个多边形的每个内角均为108。，那么这个多边形是（

A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形

【考点】多边形内角与外角.

【分析】首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解.

【解答】解：外角的度数是：180-108=72。，

那么这个多边形的边数是：360+72=5.

应选C.

【点评】此题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行

正确运算、变形和数据处理

15.(2023♦大庆校级模拟)以下说法中错误的是()

A.平行四边形的对角线互相平分

B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

【考点】平行四边形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】推理填空题.

【分析】根据平行四边形的性质即可判断A；根据图形和不能推出另一组对边也平行，即可

判断B；根据平行四边形的判定判断即可；根据平行线性质和推出ADIIBC,根据平行四边

形的判定判断即可.

【解答】解：A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；

B>BC.

NA+ND=180。，同时NB+NC=180。，只能推出ABHCD,不一定是平行四边形，故本选项

正确；

C、AC于BD交于O,OA=OC,OB=OD,.,.四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；

D、:ABIICD,

ZB+ZC=180°,

ZB=ZD,

ZC+Z0=180°,

ADIIBC,

二四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；

应选B.

【点评】此题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用

性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目.

16.(2023•达州)如图，在RIAABC中，ZB=90",AB=3,BC=4,点D在BC上，以AC

为对角线的所有cADCE中，DE最小的值是()

A.2B.3C.4D.5

【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离.

【专题】压轴题.

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD_LBC时，DE线段取最小

值.

【解答】解：,•・在RSABC中，ZB=90°,

BC±AB.

•••四边形ADCE是平行四边形，

OD=OE,OA=OC.

.1•当0D取最小值时，DE线段最短，止匕时OD±BC.

ODIIAB.

又点O是AC的中点，

OD是^ABC的中位线，

OD=1AB=1.5,

2

ED=2OD=3.

应选B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短.解答该题时，利用了“平行四边

形的对角线互相平分”的性质.

17.(2023・临沂)将一个n边形变成n+1边形，内角和将()

A.减少180°B.增加90℃.增加180°D.增加360°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】计算题.

【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案.

【解答】解：n边形的内角和是(n-2)・180°,

n+1边形的内角和是(n-1)•180°,

因而(n+1)边形的内角和比n边形的内角和大(n-1)•180°-(n-2)•180=180".

应选：C.

【点评】此题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容.

填空题(共5小题)

18.(2023♦安徽)如图，在QABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E

在线段AB上，连接EF、CF,那么以下结论中一定成立的是①②⑷.(把所有正确结

论的序号都填在横线上)

①NDCF=lzBCD；②EF=CF；③SABEC=2SACEF；④NDFE=3NAEF.

2

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AAEF2△DMF

(ASA),得出对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】解：①是AD的中点，

AF=FD,

,在口ABCD中，AD=2AB,

AF=FD=CD,

ZDFC=ZDCF,

•••ADIIBC.

ZDFC=ZFCB,

ZDCF=ZBCF,

ZDCF=lzBCD,故此选项正确；

2

延长EF,交CD延长线于M,

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.ABHCD,

ZA=ZMDF,

F为AD中点，

AF=FD,

在4AEFffADFM中，

—DM

<AF=DF，

ZAFE=ZDFM

△AEFTADMF(ASA),

FE=MF,ZAEF=ZM,

•••CE_LAB,

ZAEC=90°,

ZAEC=ZECD=90°,

­,•FM=EF,

FC=FM,故②正确；

③EF=FM,

「•SAEFC=SACFM,

,/MOBE,

「•SABEC<2SAEFC

故SABEC=2SACEF错误；

④设NFEC=x,那么NFCE=x,

ZDCF=ZDFC=90°-x,

zEFC=180°-2x,

ZEFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,

•・,ZAEF=90°-x,

NDFE=3NAEF,故此选项正确.

故答案为：①②④.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出

△AEF^△DMF是解题关键.

19.(2023♦福州)如图，在oABCD中，DE平分NADC,AD=6,BE=2,那么=ABCD的周

长是20.

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质.

【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出NCDE=NCED,再根据等

角对等边的性质可得CE=CD,然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出

cABCD的周长.

【解答】解：；DE平分NADC,

ZADE=ZCDE,

•.口ABCD中，ADIIBC,

ZADE=ZCED,

ZCDE=ZCED,

・•.CE=CD,

.•在。ABCD中，AD=6,BE=2,

.・.AD=BC=6,

/.CE=BC-BE=6-2=4,

・•.CD=AB=4,

/.口ABCD的周长=6+6+4+4=20.

故答案为：20.

【点评】此题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边

的性质，是根底题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键.

20.（2023•无锡）如图，QABCD中，AE_LBD于E,NEAC=30°,AE=3,那么AC的长等

于_1仃

【考点】平行四边形的性质；解直角三角形.

【专题】几何图形问题.

【分析】设对角线AC和BD相交于点O,在直角AAOE中，利用三角函数求得OA的长，

然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得.

【解答】解：••・在直角AAOE中，cosNEAC=四，

0A

OA=-------.....=—^=2-\/3,

cosZ:EACV3

2

又；四边形ABCD是平行四边形，

AC=2OA=4«.

故答案是：44.

【点评】此题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平

分，正确求得OA的长是关键.

21.（2023・福州）如图，在RSABC中,NACB=90。，点D,E分别是边AB,AC的中点,

延长BC到点F,使CF=」BC.假设AB=10,那么EF的长是5.

2

【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理.

【专题】压轴题.

【分析】根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，

可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案.

【解答】解：如图，连接DC.

口£是^ABC的中位线，

DEIIBC,DE」BC，

1.•CF=1BC,

2

DEIICF,DE=CF,

CDEF是平行四边形，

EF=DC.

,/DC是RtAABC斜边上的中线，

DC=,AB=5,

EF=DC=5,

故答案为：5.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半.

22.（2023・资阳）假设一个多边形的内角和是其外角和的3倍，那么这个多边形的边数是一

8.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】任何多边形的外角和是360。，即这个多边形的内角和是3x360。.n边形的内角和是

(n-2).180%如果多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出

多边形的边数.

【解答】解：设多边形的边数为n,根据题意，得

(n-2)*180=3x360,

解得n=8.

那么这个多边形的边数是8.

【点评】多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决.

三.解答题(共8小题)

23.(2023•凉山州)如图,分别以RSABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及

等边△ABE.NBAC=30。，EF_LAB,垂足为F,连接DF.

(1)试说明AC=EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)首先RtZiABC中，由NBAC=30。可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三

角形，EF_LAB,由此得至!]AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE2△BCA,再根

据全等三角形的性质即可证明AC=EF；

(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD,并且AD_LAB,

而EF_LAB,由此得到EFIIAD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平

行四边形.

【解答】证明：⑴：RtAABC中，ZBAC=30°,

AB=2BC,

又△ABE是等边三角形，EF±AB,

AB=2AF

AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

[AF=BC,

IAE=BA'

△AFE之△BCA(HL),

AC=EF；

(2)AACD是等边三角形，

ZDAC=60°,AC=AD,

ZDAB=NDAC+ZBAC=90°

又EF_LAB,

/.EFIIAD,

AC=EF,AC=AD,

・•.EF=AD,

四边形ADFE是平行四边形.

【点评】此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和

等边三角形的性质证明平行四边形.

24.(2023•枣庄)如图，cABCD中，BD±AD,NA=45。，E、F分别是AB,CD上的点，

且BE=DF,连接EF交BD于O.

(1)求证：BO=DO；

(2)假设EF_LAB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时，求AD的长.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【分析】(1)通过证明AODF与△OBE全等即可求得.

(2)由4ADB是等腰直角三角形，得出NA=45°,因为EF_LAB,得出NG=45°,所以△ODG

与4DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2,然后等腰直角三角形的性质即

可求得.

【解答】(1)证明：1•四边形ABCD是平行四边形，

/.DC=AB,DCIIAB,

ZODF=ZOBE,

在^ODF与4OBE中

△ODFT△OBE(AAS)

BO=DO；

(2)解：:BD^AD,

ZADB=90°,

•••ZA=45°,

ZDBA=ZA=45°,

EF±AB,

ZG=ZA=45°,

△ODG是等腰直角三角形，

ABHCD,EFJ_AB,

DF±OG,

OF=FG,△DFG是等腰直角三角形，

△ODF^△OBE(AAS)

OE=OF,

GF=OF=OE,

即2FG=EF,

△DFG是等腰直角三角形，

..DF=FG=1,二DG=V^=DO,

在等腰RT/iADB中，DB=2DO=2«=AD

AD=2M，

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性

质以及平行线分行段定理.

25.(2023•宿迁)如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，AH是边

BC上的高.

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)求证：ZDHF=ZDEF.

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定.

【专题】证明题；几何综合题.

【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFIIAB,

DEIIAC,再根据平行四边形的定义证明即可；

(2)根据平行四边形的对角相等可得NDEF=ZBAC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半可得DH=AD,FH=AF,再根据等边对等角可得nDAH=ZDHA,ZFAH=ZFHA,

然后求出NDHF=NBAC,等量代换即可得到NDHF=ZDEF.

【解答】证明：(1),点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，

DE、EF都是△ABC的中位线，

EFIIAB,DEIIAC,

四边形ADEF是平行四边形；

(2)V四边形ADEF是平行四边形，

ZDEF=NBAC,

•••D,F分别是AB,CA的中点，AH是边BC上的高，

DH=AD,FH=AF,

ZDAH=ZDHA,ZFAH=ZFHA,

ZDAH+ZFAH=NBAC,

ZDHA+ZFHA=ZDHF,

ZDHF=NBAC,

ZDHF=ZDEF.

【点评】此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性

质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性

质并准确识图是解题的关键.

26.(2023•舟山)：如图，在cABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交

AD,BC于E,F两点，连结BE,DF.

(1)求证：△DOE2△BOF；

(2)当NDOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

【专题】几何综合题.

［分析XI)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE2&BOF(ASA)；

(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,

进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED,即可得出答案.

【解答】(1)证明：・・・在。ABCD中，。为对角线BD的中点，

BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在^EOD和^FOB中

"ZED0=Z0BF

'DO=BO，

ZE0D=ZF0B

ADOESABOF(ASA)；

(2)解:当NDOE=90。时，四边形BFDE为菱形，

理由：△DOES△BOF,

OE=OF,

又OB=OD

四边形EBFD是平行四边形，

•••ZEOD=90°,

EF±BD,

四边形BFDE为菱形.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知

识，得出BE=DE是解题关键.

27.(2023•深圳)BD垂直平分AC,ZBCD=ZADF,AF_LAC,

(1)证明四边形ABDF是平行四边形；

(2)假设AF=DF=5,AD=6,求AC的长.

【考点】平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理.

【分析】(1)先证得△ADB2△CDB求得NBCD=ZBAD,从而得到NADF=ZBAD,所以

ABHFD,因为BD_LAC,AF±AC,所以AFHBD,即可证得.

(2)先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得.

【解答】(1)证明：：BD垂直平分AC,

AB=BC,AD=DC,

在^ADB与4CDB中，

'AB=BC

<AD=DC，

DB=DB

△ADB空△CDB(SSS)

ZBCD=ZBAD,

•••ZBCD=ZADF,

ZBAD=ZADF,

ABHFD,

•••BD±AC,AF±AC,

AFIIBD,

四边形ABDF是平行四边形，

(2)解：•.•四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5,

°ABDF是菱形，

AB=BD=5,

AD=6,

设BE=x,那么DE=5-x,

AB2-BE2=AD2-DE2,

即52-X2-62-(5-x)2

解得：x=I,

5

AE=VAB2-BE2=^

/.AC=2AE=&.

5

【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用.

28.