2023中考复习-特殊三角形练习题

1、(2023大连)如图，在AABC中，ZACB=90°,CD1AB,垂足为D,点E

是AB的中点，CD=DE=a,那么AB的长为()

A.2aB.2&aC.3aD.-^-a

3

解：VCD±AB,CD=DE=a,

.,.CE=«a,

,/在△ABC中，ZACB=90°，点E是AB的中点，

/.AB=2CE=2A/^3,

应选B.

2、(2023枣庄)如图，在aABC中，AB=AC,ZA=30°,E为BC延长线上一

点，NABC与NACE的平分线相交于点D,那么ND的度数为()

A.15°B.17.5℃.20°D.22.5°

解：•••NABC的平分线与NACE的平分线交于点D,

.,.Z1=Z2,Z3=Z4,八

AD

VZACE=ZA+ZABC,A/

即N1+N2=N3+N4+NA,/

.•.2N1=2N3+NA,

VZ1=Z3+ZD,RcF

AZD=yZA=yx3O°=15°.应选A.

3、（2023杭州）直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mVn）,过锐角

顶点把该纸片剪成两个三角形，假设这两个三角形都为等腰三角形，那么（）

A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=OC.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0

解：如图，

m2+m2=（n-m）2,

2m2=n2-2mn+m2,

m2+2mn-n2=0.

应选：C.

4、（2023天津）如图，在AA3C中，AB^AC,是AABC的两条中线，P

是AO上一个动点，那么以下线段的长度等于3P+EP最小值的是0

A.BCB.CEC.ADD.AC

解：在A4BC中，AB^AC,AD是AABC的中线，可得点B和点C关于直线

AD对称，连结CE,交AD于点P,此时5P+EP最小，为EC的长，应选B.

5、（2023滨州）如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点,>DA=DC,

BD=BA,那么/8的大小为

A.40°B.36°C.80°

答案：B；解：设NC=x。，由于D4=0C,可得N0AC=NC=x。，由AB=AC

可得NB=NC=x。.ZADB=ZC+ZDAC=2x°,由于8£>=BA,所以NBA。

=NAO8=2x。，根据三角形内角和定理，得“。+产+3产=180。，解得x=36。.所

以NB=36。.【来源:21•世纪・教

6、假设等腰三角形的两边为3和7,那么该等腰三角形的周长为（）

A.10B.13C.17D.13或17

答案：C；解：因为边为3和7,没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要

分类讨论：当3为底时，其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形，周长为17；

当3为腰时，其它两边为3和7,3+3=6<7,所以不能构成三角形，故舍去。二

等腰三角形的周长为17o

7、（2023南充）如图，等边AOAB的边长为2,那么点B的坐标为（）

A.（1,1）B.（V3，1）C.（M，«）D.（1,正）

解：如下图，过B作BCLAO于C,那么

•••△AOB是等边三角形,

.\OC=-AO=1,

2

22=

.—OC中，BC=7OB-OCV3,CAx

AB（1,西，

应选：D.

8、（2023海南）ZSABC的三边长分别为4、4、6,在aABC所在平面内画一条

直线，将4ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，那么这样的

直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6、、彳，

解：如下图：

当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时，者E要三角形.

应选B.B_~'c

9、：如图，在AABC中，D为BC的中点，AD1BC,E为AD上一点，

ZABC=60°,ZECD=40°,那么NABE=（）

A.10°B.15°C.

解：为BC的中点，AD1BC,

ZABC=ZACD.XVZABC=60°,

应选：c.

10>（2023毕节）如图，RtZXABC中,

点，F为CD上一点，KCF=-CD,过点B作BE〃DC交AF的延长线于点E,

3

那么BE的长为0

A.6B.4C.7D.12

解：:.白△ABC中，ZACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点，

1]72

ACD=-AB=4.5.VCF=-CD,/.DF=-CD=-x4.5=3.VBE/7DC,ADF

2333

是△ABE的中位线，BE=2DF=6.应选A.

11、（2023黄石）如图，AABC中，E为BC边的中点，CD1AB,AB=2,AC=1,

DE=—,那么NCDE+NACD=（）

2

A.60°B.75°C.90°D.105°

解：VCD±AB,E为BC边的中点，

，BC=2CE=W，

VAB=2,AC=1,

22222

/.AC+BC=1+（病2=4=2=AB,

.,.ZACB=90°,

VtanZA=-^-=V3,

AC

，ZA=60°,

/.ZACD=ZB=30°,

ZDCE=60°,

VDE=CE,

/.ZCDE=60o,

:.ZCDE+ZACD=90°,

应选C.

12、（2023江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2,其中OA=OB.假

设剪刀张开的角为30。，那么/人=度.

解：VOA=OB,ZAOB=30°,

.,.ZA=-=75°,

2

故答案为：75.

13、（2023湘潭）如图，在RfA43c中，ZC=90°,6。平分NABC交AC于点。，

OE垂直平分A6,垂足为E点，请任意写出一组相等的线段.

【答案】BC=BE或DC=DE

试题分析:利用角平分线性质定理，知BC=BE；利用AfiCDsAgE。，得DC=DE

14、（2023淮安）如图，在Rt^ABC中，NACB=90。，点D,E分别是AB,AC

的中点，点F是AD的中点.假设AB=8,那么EF=.

解：在Rt^ABC中，VAD=BD=4,

.\CD=-AB=4,

2

VAF=DF,AE=EC,

/.EF=-CD=2.

2

故答案为2

15、（2023常德）如图，RtaABE中NA=90。，ZB=60°,BE=10,D是线段AE

上的一动点，过D作CD交BE于C,并使得NCDE=30。，那么CD长度的取值

范围是.

解：当点D与点E重合时，CD=0,

当点D与点A重合时，

VZA=90°,ZB=60°,

...ZE=30°,

/.ZCDE=ZE,NCDB=NB,

；.CE=CD,CD=CB,

.•.CD=-BE=5,

2

.,.0<CD<5,

故答案为：0<CD<5.

16、（2023黄冈）在AABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,

那么AABC的面积为cm2.

解：当NB为锐角时（如图1）,

在RtZ\ABD中，

BD=VAB2-ADN132-122=5cm,

在RtaADC中，/

BD

图1

CD=JAC、-hD展N2。2-122=16cm,

/.BC=21,

ASAABC=-BCAD=-x21xl2=126cm；

22

当NB为钝角时（如图2）,

在RtZXABD中，

BD=VAB2-AD^VlS2-122=5cm,

在RtZ\ADC中，

CD=7AC2-AD^^O2-122=16cm,

/.BC=CD-BD=16-5=11cm,

ASAABC=-BCA£>=-xllxl2=66cm,

22

故答案为：126或66.

17、（2023岳阳）在△ABC中BC=2,AB=2«,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0

有两个相等的实数根，那么AC边上的中线长为.

解：•••关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,

/.A=16-4b=0,

.\AC=b=4,

VBC=2,AB=2«,

/.BC2+AB2=AC2,

.,.△ABC是直角三角形，AC是斜边,

AAC边上的中线长=，AC=2；

2

故答案为：2.

18、（2023北京）如图，在AABC中,AB=AC,ZA=36°,3。平分NABC交AC

于点。.求证：AD=BC.

.解：VAB=AC,ZA=36°

/.ZABC=ZC=-（180°-ZA）=-x（l80°-36°）=72°,

22

XVBD平分/ABC,

/.ZABD=ZDBC=-ZABC=-x72°=36°,

22

ZBDC=ZA+ZABD=36°+36,°=72°,

，ZC=ZBDC,ZA=AB

，AD=BD=BC.

19、（2023恩施）如图，△ABC、ACDE均为等边三角形，连接BD、AE交于

点O,BC与AE交于点P.求证：ZAOB=60°.

解：•.•△ABC和AECD都是等边三角形，

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:.ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即NACD=NBCE,

'AC=BC

在aACD和aBCE中，,NACD=/BCE，

CD=CE

.".△ACD^ABCE（SAS）,

ZCAD=ZCBE,

VZAPO=ZBPC,

/.ZAOP=ZBCP=60o,即NAOB=60°.

20>（2023荆门）3是关于x的方程x2—（加+l）x+2城=0的一个实数根,并,且这

个方程的两个实数根恰好是等腰△A8C的两条边长，那么△ABC的周长为（）

A.7B.10C.11D.10或11

把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0,解得m=6,那么原方程为x?-7x+12=0,

解得xi=3,X2=4,因为这个方程的两个根恰好是等腰4ABC的两条边长，①当

△ABC的腰为4,底边为3时，那么4ABC的周长为4+4+3=11；②当aABC

的腰为3,底边为4时，那么AABC的周长为3+3+4=10.综上所述，该4ABC

的周长为10或11.应选：D.

21、等腰AABC中，ADLBC于点D,KAD=-BC,那么^ABC底角的度数

2

为（）

A.45。或75°B.75°C.45°或15。或75°D.60°

①如图1,点A是顶点时，VAB=AC,AD±BC,，BD=CD,VAD=-BC,

2

，AD=BD=CD,在RtZ\ABD中，ZB=ZBAD=-（180°-90°）=45°；②如图2,

2

点A是底角顶点，且AD在4ABC外部时，•.•AD=，BC,AC=BC,AAD=-AC,

22

.,.ZACD=30°,.,.ZBAC=ZABC=-x30o=15°；③如图3,卢人县应缶怖占

2

D

B

及2

且AD在aABC内部时，VAD=-BC,AC=BC,.，.AD=-AC,.，.ZC=30°,

22

AZBAC=ZABC=-（180°-30°）=75。；综上所述，Z^ABC底角的度数为45。或

2

15。或75。.应选C.

22、如图，在平面直角坐标系中，点A（3,3）,B（0,5）,假设在坐

标轴上找一点C,使得△ABC是等腰三角形，那么这样的点C有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

解法1：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为

腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个.应选D.

解法2：

轴于Ci,交y轴于点C2当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径作

圆A,交y轴于C3,交x轴于C4、C5,当AB=BC时，以点B为圆心，

AB为半径作圆B,交y轴于点C6、C7应选（D）

23、（2023河池）等边4ABC的边长为12,D是AB上的动点，过D作DE1AC

于点E,过E作EFLBC于点F,过F作FGLAB于点G.当G与D重合时，

AD的长是（）

A.3B.4C.8D.9

解：设AD=x,

「△ABC是等边三角形，.•.NA=NB=NC=60。,

,.,DELAC于点E,EF_LBC于点F,FG±AB,

:.ZADF=ZDEB=ZEFC=90°,

AF=2x,

.\CF=12-2x,

/.CE=2CF=24-4x,

.*.BE=12-CE=4x-12,

；.BD=2BE=8x-24,

VAD+BD=AB,

，x+8x-24=12,

；.x=4,，AD=4.应选B.

24、（2023益阳）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,DE是线段AC的

垂直平分线，假设BE=a,AE=b,那么用含a、6的代数式表示△ABC的周长

为.

解：VAB=AC,BE=a,AE=b,,AC=AB=a+b,：DE是於垂

直平分线，，AE=CE=b,，ZECA=ZBAC=36°,YJ\,

：.ZABC=ZACB=72°,AZBCE=ZACB-ZEC/AZ）,

/.ZBEC=180°-ZABC-ZECB=72°,，CE=BC=b,\J：

AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b.春---

25＞在边长为2的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角ACDE,连接BE,那

么BE=o

解：作EF_LBC于F,如图，设DE=CE=a,：4CDE为等腰直角三角

形，/.CD=V2CE=V2a=2,

/.CE=V2

•.•四边形ABCD为正方形,...CB=CD=2,

NECF=45°,

/.CF=EF=1

在RtAEBF中，

BCE=Vio

26、在aABC中，ZABC=60°,AB=8,AC=7,EF为AB垂直平分线，

垂足为E,交直线BC于F,那么CF的长为。

解：如图，作ADLBC于D,：AC=AC=7,ADLBC于D,，CD=CD.=EF

为AB垂直平分线，/.AE=BE=-AB=4,EF±.

2

AZBFE=90°-60°=30°,ABF=2BE=8.RtA=90°,

ZABD=60°,NBAD=30。，/.BD=-AB=4,

2

/.DF=BF-BD=8-4=4.在Rt^ACD中，VZA]

/.CD=VAC2-AD2=五一⑷扬2=],...°D=CD=i,

，CF=CD+DF=1+4=5或C,F=DF-C,D=4-1=3.故答案为5或3.

27、（2023武汉）如图，在aABC中，AB=AC=2b，ZBAC=120°,点D、E

都在边BC上，ZDAE=60°.假设BD=2CE,那么DE的长为.

解：将4ABD绕点A逆时针旋转120。得到AACF,连接EF,过点E作EM1CF

于点M,过点A作ANLBC于点N,如下图.

,.•AB=AC=2^,ZBAC=120°,

，BN=CN,ZB=ZACB=30°.

在RtZ^BAN中，ZB=30°,AB=2«,

/.AN=yAB=^>BN=7